鲁教版七年级数学上第三章勾股定理一章导学案.docx

1、鲁教版七年级数学上第三章勾股定理 一章 导学案鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.1.1探索勾股定理 导学案【学习目标】1.体验勾股定理的探索过程,由特例猜想勾股定理,再由特例验证勾股定理.会利用勾股定理解释生活中的简单现象.2.在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中,发展合情推理能力,体会数形结合思想.在探索勾股定理过程中,发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力.【学习过程】一、问题1.如图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索? 在直角三角形中,任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定吗?三边之间存

2、在着一个特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在着一个特殊的关系.让我们一起去探索吧!二、活动一（一）自学指导观察如图,并回答:1.图中正方形A中有个小方格,即A的面积为个单位.正方形B中有个小方格,即B的面积为个单位.正方形C中有个小方格,即C的面积为个单位.2. 正方形A,B,C的面积之间有什么关系?（二）合作探究1.(1)在纸上作出若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有什么样的关系?与同伴交流. (2)观察图,图直角三角形直角边的平方分别是多少?斜边的平方又是多少? (图中每个小方格代表1个单位面积)(3)如图,大正方形:分割为四个直角三

3、角形和一个小正方形如图1;补成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积如图2;三、活动二（一）自学指导观察如图,并回答:1.图中正方形A中有个小方格,即A的面积为个单位.正方形B中有个小方格,即B的面积为个单位.正方形C中有个小方格,即C的面积为个单位.2.正方形A,B,C的面积之间有什么关系? （二）合作探究1.(1)在纸上作出若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有什么样的关系?与同伴交流.(2)观察图,图直角三角形直角边的平方分别是多少?斜边的平方又是多少? (图中每个小方格代表1个单位面积)(3)如图,大正方形:分割为四个直角三角形和一个小正方形如图1;

4、补成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积如图2;4、小结【当堂训练】1.直角三角形的两直角边为5,12,则三角形的周长为.2.在ABC中,C=90,如果AB=17,AC=15,那么ABC的面积为.3.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是 cm2.3.暑假中,小明和同学们到某海岛去探宝旅游,按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8 km,又往北走2 km,遇到障碍后又往西走3 km,再折向北走6 km处往东一拐,仅走1 km就找到了宝藏,求登陆点到埋宝藏点的直线距离.4.在Rt

5、ABC中,C=90.(1)若已知AC=5,BC=12,求AB的长;(2)若已知AB=25,AC=20,求BC的长.5.如图,已知正方形的面积为25,且AC比AB小1,BC的长为( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)66.设直角三角形的两条直角边分别为a和b,斜边长为c,C=90.若c=34,ab=815,求a和b.7. 如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的边长分别是4,9,1,4,则最大正方形E的面积是( )(A)18 (B)114 (C)194 (D)3248.(2020莱州期中)如图,是一棵“毕达哥拉斯树”.已知正方形

6、M的边长为9,那么四个正方形A,B,C,D面积的和是( )(A)9 (B)18 (C)40.5 (D)819.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10 cm,正方形A的边长为6 cm,B的边长为5 cm,C的边长为5 cm,则正方形D的面积为( )(A)14 cm (B)16 cm (C)15 cm (D)9 cm【基础训练】1.直角三角形中,一条直角边长为24 cm,斜边长为25 cm,则另一直角边长为( )(A)7 cm (B)12 cm (C)16 cm (D)49 cm2.直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则下列a,b,c三边关系错误

7、的是( )(A)b2=c2-a2 (B)b2=a2-c2 (C)a2=c2-b2 (D)c2=b2+a23.如图,在ABC中,AB=AC,AD是BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为( ) (A)5 (B)4 (C)10 (D)84.如图,正方形ABCD的面积为100 cm2,ABP为直角三角形,P=90,且PB=6 cm,则AP的长为( )(A)10 cm (B)6 cm (C)8 cm (D)无法确定 5.如图所示,图中各正方形内的数字与字母代表其面积,则A的值为 ,B的值为 6.如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB于点D,AC=20,BC=15.(1)求AB的长;(

8、2)求CD的长. 7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,A=60,D=150,四边形的周长为32,求BC和CD的长度. 【综合训练】8.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( )(A)25 (B)7 (C)5和7 (D)25或79.如图,在RtABC中,AC=6,BC=8,分别以它的三边为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为 .10.如图,AC=3,BC=2,AD=5,求正方形BEFD的面积. 11.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6 cm,BC=8 cm,现将直角边AC沿AD折叠,使点C落在斜边AB上的点E处,试求CD的长. 12.如图,在ABC中,

9、CDAB于点D,AC=13,AB=14,高CD=12,求BC的长. 【提高训练】13.(核心素养数学建模)在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求ABC的面积.某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.1.2勾股定理的验证与应用 导学案【学习目标】1.掌握勾股定理及其验证,并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上,经历勾股定理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.【学习过程】一、复习1.勾股定理的内容是什么?二、自学指导2002年世界数学家大会在

10、我国北京召开,投影显示本届世界数学家大会的会标:会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,它既标志着中国古代的数学成就,又像一只转动的风车,欢迎来自世界各地的数学家们!三、合作探究1.今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形.(1)在一张硬纸板上画4个如图所示全等的直角三角形.并把它们剪下来.(2)用这4个直角三角形拼一拼,摆一摆,看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形,你能利用它说明勾股定理吗? 2.拼出了如图所示的图形,中间是一个边长为c的正方形.要利用这个图说明勾股定理,我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即

11、可. 大正方形面积可以表示为 ,又可以表示为 .3.例题 我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m.10 s后,汽车与他相距 500 m.你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 4.议一议前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系.那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢?5.归纳小结【当堂训练】1.一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为()(A)3米 (B)4米 (C)5米 (D)6米2.某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏,现在要在相对角的顶点间加固一条木板,则木

12、板的长应取米.3.有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼,其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行,另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行,它们离开港口一个半小时后相距海里.4.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm,求这个三角形的面积.5.受台风影响,一棵高18 m的大树断裂,树的顶部落在离树根底部6 m处,这棵树折断后有多高?6.如图是硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为c,和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图;(2)由此图证明勾股定理.7. 如图,用四个全等的直角三角形(直角边为a

13、,b,斜边为c)拼成了3个正方形,正方形的边长分别为a,b,c,请你利用图形验证勾股定理.8.为了推广城市绿色出行,梅江区交委准备在AB路段建设一个共享单车停放点,该路段附近有两个广场C和D,如图所示,CAAB于点A,DBAB于点B,AB=1 700 m,CA=1 200 m,DB=500 m,试问这个单车停放点E应建在距点A多远处,才能使它到两广场的距离相等?9.如图,OC为AOB的平分线,CMOB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为 .10.如图,校园内有两棵树,相距8米,一棵树高13米,另一棵树高7米,一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少飞( )(A)8米 (B)9

14、米 (C)10米 (D)11米【基础训练】1.如图所示,工人师傅砌墙安门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,若CE=120 cm,CF=50 cm,那么选取的木条EF的长度至少为( ) (A)130 cm (B)150 cm (C)170 cm (D)200 cm2.如图,一个长为6.5米的梯子,一端放在离墙角2.5米处,另一端靠墙,则梯子顶端离墙角有( )(A)3米 (B)4米 (C)5米 (D)6米 3.下列选项中,不能用来验证勾股定理的是( )4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为 mm.5.在北京召开

15、的国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图.其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.如果直角三角形的直角边分别为a,b(ab),斜边为c,那么小正方形的面积可以表示为 6.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m,当他把绳子的下端拉开5 m后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高.7.(2019巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE直线m于点E,BD直线m与点D.(1)求证:EC=BD;(2)若设AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.【综合训练】8.如图(1)是我国古

16、代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图(2)所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是( )(A)72 (B)52 (C)80 (D)769.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为( )(A)9 (B)6 (C)4 (D)310.(2020济宁附中)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D是线段BC上的一个动点(不与B,C重合

17、),若线段AD的长为整数,则AD的长度为( )(A)3 (B)3或4或5 (C)3或4 (D)3或5 11.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为BC=0.7米,顶端距离地面AC=2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面AD=2米,求小巷的宽度.12.如图,在四边形ABCD中,A=90,AB=4 cm,AD=2 cm,BC=CD,E是AB上的一点,若沿CE折叠,则B,D两点重合,求AED的面积.13.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”,在RtABC中,ACB=90,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列

18、问题:(1)根据图形验证勾股定理;(2)如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求(a+b)2的值.【提高训练】14.如图,在ABC中,AB=30,BC=25,AC=25,求ABC的面积.鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.2一定是直角三角形吗 导学案【学习目标】1.掌握直角三角形的判别条件,并能进行简单应用.进一步发展数感,增加对勾股数的直观体验,培养从实际问题抽象出数学问题的能力,建立数学模型.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形,并会辨析哪些问题应用哪个结论.2.让学生经历“探究归纳验证”的数学思想,并学会自主学习的方法.【学习过程】一、自学指导1.观察如图,用数格子的方法判断

19、图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2.总结: 2.下面的三组数分别是一个三角形的三边a,b,c.5,12,13;7,24,25;8,15,17;(1)这三组数都满足a2+b2=c2吗?(2)分别用每组数为三边作三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.二、合作探究今后我们可以利用“三角形三边a,b,c满足a2+b2=c2时,三角形为直角三角形”来判断三角形的形状,同时也可以作为判定两条直线是否垂直的方法.1.如图,在正方形ABCD中,有几个直角三角形,你是

20、如何判断的?与同伴交流. 2.如果将直角三角形的三条边扩大相同的倍数,得到的三角形还是直角三角形吗?填写下表,并验证你所填的数是否满足“勾股数”.2倍3倍3,4,56,8,105,12,1315,36,398,15,177,24,253. 例1已知:a2+b2=c2,求证:(ka)2+(kb)2=(kc)2.4.例2一个零件的形状如图1所示,按规定,这个零件中A和DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗? 5.归纳小结【当堂训练】1.以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是()(A)8,15,17 (B)4,5,6 (C)5,8,10 (D)8,39,402

21、.若ABC的三边a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则ABC是()(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形3.已知:在ABC中,三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n1).试判断ABC的形状.4.5.已知a,b,c是ABC的三边长,且满足|c2-a2-b2|+(a-b)2=0,则ABC的形状是 6.下列各组数据中,是勾股数的是( )(A)4,5,6 (B)12,16,20 (C)-10,24,26 (D)2.4,4.5,5.17.给出下列四个说法:由于0.6,0.8,1不是勾股数,所以以0.6,0.8,1为边

22、长的三角形不是直角三角形;由于以0.5,1.2,1.3为边长的三角形是直角三角形,所以0.5,1.2,1.3是勾股数;若a,b,c是勾股数,且c最大,则一定有a2+b2=c2;若三个整数a,b,c是直角三角形的三边长,则2a,2b,2c一定是勾股数,其中正确的是( )(A) (B) (C) (D)【基础训练】1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )(A)30,40,50 (B)7,12,13 (C)5,9,12 (D)3,4,62.已知三角形的三边长分别为5,13,12,则三角形的面积为( )(A)30 (B)60 (C)78 (D)不能确定3.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,2

23、4,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )4.在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则( )(A)A为直角 (B)C为直角(C)B为直角 (D)ABC不是直角三角形5.如图,正方形网格中的ABC,若小方格边长为1,则ABC的形状为( )(A)直角三角形 (B)锐角三角形(C)钝角三角形 (D)以上答案都不对6.若一个三角形的三边之比为345,且周长为 24 cm,则它的面积为 cm2.7.如图,在ABC中,点D是BC边上的点,已知AB=15,AD=12,AC=20, BD=9,求CD的长.【综合训练】8.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,

24、C是小正方形的顶点,则ABC的度数为( )(A)90 (B)60 (C)45 (D)309.已知ABC中,AB=4,BC=3,那么当AC2= 时,ABC是直角三角形.10.如图,在边长为1的正方形组成的网格中,有AB,CD,EF,GH四条线段,端点都在格点上,你能选取其中三条线段能组成一个直角三角形吗?请说明理由.11.如图,在ABC中,AC=4 cm,BC=10 cm,BC边上的中线AD=3 cm,求ABD的面积.12.如图所示的一块地,ADC=90,AD=12 m,CD=9 m,AB=39 m,BC=36 m,求这块地的面积.【提高训练】13.分析下列各组勾股数:当n=2时,a=22=4,

25、b=22-1=3,c=22+1=5;当n=3时,a=23=6,b=32-1=8,c=32+1=10;当n=4时,a=24=8,b=42-1=15,c=42+1=17;根据你发现的规律写出:(1)当n=10时的勾股数;(2)用含n的代数式表示符合上述特点的勾股数,并加以说明.鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.3勾股定理应用举例 导学案【学习目标】1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.学会观察图形,勇于探索图形间的关系,培养学生的空间观念.2.在将实际问题抽象成几何图形过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学建模的思想.【学习过程】一、自学指

26、导1.如图,有一个圆柱,它的高等于12 cm,底面上圆的周长等于18 cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?(的值取3)(1)同学们可自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?(2)如图,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗?(3)蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?二、合作探究1.李叔叔想要检测如图所示雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺.(1)你能替他想办法完成任务吗?(2)李叔叔

27、量得边AD长是30 cm,边AB长是40 cm,点B,D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗?(3)小明随身只有一个长度为20 cm的刻度尺,他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗?边BC与边AB呢?2.例1有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少?3.例2 如图,某隧道的截面是一个半径为4.2 m的半圆形,一辆高3.6 m、宽3 m的卡车能通过该隧道吗?4.归纳小结【当堂训练】1.甲、乙两位探险者,到沙漠进行探险.某日早晨8

28、:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进.上午10:00,甲、乙两人相距多远?2.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少?3.如图,是一个滑梯示意图.若将滑道AC水平放平刚好与AB一样长,已知滑梯的高度CE=3 m,CD=1 m,试求滑道AC的长.4.欲登12米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5米,至少需多长的梯子?5.(2020广饶期中)如图,圆柱的底面周长是14 cm,圆柱高为24 cm,一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B,需要爬行的最短距离是 .6.如图是一个棱长为

29、6的正方体木箱,点Q在上底面的棱上,AQ=2,一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q,则蚂蚁爬行的最短路程是 .7.如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm,底面周长为10 cm,在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3 cm的点A处,求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长.8.如图,已知某学校A与直线公路BD相距AB=3 000 米,且与该公路上一个车站D相距5 000米,现要在公路边建一个超市C,使之与学校A及车站D的距离相等,那么该超市与车站D的距离是多少米?9.小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5 m远

30、的水底,竹竿高出水面0.5 m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为( )(A)2 m (B)2.5 m (C)2.25 m (D)3 m 【基础训练】1.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm,3 cm和1 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短路线长( ) (A)13 cm (B)12 cm (C)10 cm (D)9 cm2.如图,圆柱的高BC为20 cm,底面周长是32 cm,一只蚂蚁从点A爬到点P处吃食,且PC=BC,则最短路线长为( )(A)20 cm (B)13 cm (C