鲁教版七年级数学上第三章勾股定理一章导学案.docx

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鲁教版七年级数学上第三章勾股定理一章导学案

鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.1.1探索勾股定理导学案

【学习目标】

1.体验勾股定理的探索过程,由特例猜想勾股定理,再由特例验证勾股定理.会利用勾股定理解释生活中的简单现象.

2.在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中,发展合情推理能力,体会数形结合思想.在探索勾股定理过程中,发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力.

【学习过程】

一、问题

1.如图,从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索,若这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m,那么需要多长的钢索?

在直角三角形中,任意两条边确定了,另外一条边也就随之确定吗?

三边之间存在着一个特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在着一个特殊的关系.让我们一起去探索吧!

二、活动一

（一）自学指导

观察如图,并回答:

1.图中正方形A中有　　　　个小方格,即A的面积为　　　　个单位.正方形B中有　　　个小方格,即B的面积为　　　个单位.正方形C中有　　　个小方格,即C的面积为　　　个单位. 

2.正方形A,B,C的面积之间有什么关系?

（二）合作探究

1.

（1）在纸上作出若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有什么样的关系?

与同伴交流.

（2）观察图①,图②直角三角形直角边的平方分别是多少?

斜边的平方又是多少?

（图中每个小方格代表1个单位面积）

（3）如图,大正方形:

①分割为四个直角三角形和一个小正方形如图1;

②补成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积如图2;

三、活动二

（一）自学指导

观察如图,并回答:

1.图中正方形A中有　　　　个小方格,即A的面积为　　　　个单位.正方形B中有　　　个小方格,即B的面积为　　　个单位.正方形C中有　　　个小方格,即C的面积为　　　个单位. 

2.正方形A,B,C的面积之间有什么关系?

（二）合作探究

1.

（1）在纸上作出若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三边长的平方之间有什么样的关系?

与同伴交流.

（2）观察图①,图②直角三角形直角边的平方分别是多少?

斜边的平方又是多少?

（图中每个小方格代表1个单位面积）

（3）如图,大正方形:

①分割为四个直角三角形和一个小正方形如图1;

②补成大正方形,用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积如图2;

4、小结

【当堂训练】

1.直角三角形的两直角边为5,12,则三角形的周长为　　　　　. 

2.在△ABC中,∠C=90°,如果AB=17,AC=15,那么△ABC的面积为　　　　. 

3.如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是　　　　cm2. 

3.暑假中,小明和同学们到某海岛去探宝旅游,按照如图所示的路线探宝.他们登陆后先往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北走6km处往东一拐,仅走1km就找到了宝藏,求登陆点到埋宝藏点的直线距离.

4.在Rt△ABC中,∠C=90°.

（1）若已知AC=5,BC=12,求AB的长;

（2）若已知AB=25,AC=20,求BC的长.

5.如图,已知正方形的面积为25,且AC比AB小1,BC的长为（　　）

（A）3（B）4（C）5（D）6

6.设直角三角形的两条直角边分别为a和b,斜边长为c,∠C=90°.若c=34,a∶b=

8∶15,求a和b.

7.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的边长分别是4,9,1,4,则最大正方形E的面积是（　　）

（A）18（B）114（C）194（D）324

8.（2020莱州期中）如图,是一棵“毕达哥拉斯树”.已知正方形M的边长为9,那么四个正方形A,B,C,D面积的和是（　　）

（A）9（B）18（C）40.5（D）81

9.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10cm,正方形A的边长为6cm,B的边长为5cm,C的边长为5cm,则正方形D的面积为（　　）（A）14cm（B）16cm（C）15cm（D）9cm

【基础训练】

1.直角三角形中,一条直角边长为24cm,斜边长为25cm,则另一直角边长为（　　）

（A）7cm（B）12cm（C）16cm（D）49cm

2.直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则下列a,b,c三边关系错误的是（　　）

（A）b2=c2-a2（B）b2=a2-c2（C）a2=c2-b2（D）c2=b2+a2

3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为（　　）

（A）5（B）4（C）10（D）8

4.如图,正方形ABCD的面积为100cm2,△ABP为直角三角形,∠P=90°,且PB=6cm,则AP的长为（　）

（A）10cm（B）6cm（C）8cm（D）无法确定

5.如图所示,图中各正方形内的数字与字母代表其面积,则A的值为　,B的值为　 

6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15.

（1）求AB的长;

（2）求CD的长.

7.如图,在四边形ABCD中,AB=AD=8,∠A=60°,∠D=150°,四边形的周长为32,求BC和CD的长度.

【综合训练】

8.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（　　）

（A）25（B）7（C）5和7（D）25或7

9.如图,在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,分别以它的三边为直径作三个半圆,则阴影部分的面积为　　. 

10.如图,AC=3,BC=2,AD=5,求正方形BEFD的面积.

11.如图所示,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿AD折叠,使点C落在斜边AB上的点E处,试求CD的长.

12.如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=13,AB=14,高CD=12,求BC

的长.

【提高训练】

13.（核心素养—数学建模）在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.

某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照他们的解题思路完成解答过程.

鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.1.2勾股定理的验证与应用导学案

【学习目标】

1.掌握勾股定理及其验证,并能应用勾股定理解决一些实际问题.

2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上,经历勾股定理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

【学习过程】

一、复习

1.勾股定理的内容是什么?

二、自学指导

2002年世界数学家大会在我国北京召开,投影显示本届世界数学家大会的会标:

会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形,它既标志着中国古代的数学成就,又像一只转动的风车,欢迎来自世界各地的数学家们!

三、合作探究

1.今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理,请你利用自己准备的四个全等的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形.

（1）在一张硬纸板上画4个如图所示全等的直角三角形.并把它们剪下来.

（2）用这4个直角三角形拼一拼,摆一摆,看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形,你能利用它说明勾股定理吗?

2.拼出了如图所示的图形,中间是一个边长为c的正方形.要利用这个图说明勾股定理,我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可.

大正方形面积可以表示为,又可以表示为.

3.[例题]我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400m.10s后,汽车与他相距500m.你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?

4.议一议

前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系.那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢?

5.归纳小结

【当堂训练】

1.一个高3米,宽4米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为（　）

（A）3米（B）4米（C）5米（D）6米

2.某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏,现在要在相对角的顶点间加固一条木板,则木板的长应取　　　　米. 

3.有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼,其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行,另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行,它们离开港口一个半小时后相距　　　　海里. 

4.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12cm和10cm,求这个三角形的面积.

5.受台风影响,一棵高18m的大树断裂,树的顶部落在离树根底部6m处,这棵树折断后有多高?

6.如图是硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为c,和一个边长为c的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.

（1）画出拼成的这个图形的示意图;

（2）由此图证明勾股定理.

7.如图,用四个全等的直角三角形（直角边为a,b,斜边为c）拼成了3个正方形,正方形的边长分别为a,b,c,请你利用图形验证勾股定理.

8.为了推广城市绿色出行,梅江区交委准备在AB路段建设一个共享单车停放点,该路段附近有两个广场C和D,如图所示,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,AB=1700m,CA=1200m,

DB=500m,试问这个单车停放点E应建在距点A多远处,才能使它到两广场的距离相等?

9.如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为　　.

10.如图,校园内有两棵树,相距8米,一棵树高13米,另一棵树高7米,一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少飞（　　）

（A）8米（B）9米（C）10米（D）11米

【基础训练】

1.如图所示,工人师傅砌墙安门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,若CE=120cm,CF=50cm,那么选取的木条EF的长度至少为（　　）

（A）130cm（B）150cm（C）170cm（D）200cm

2.如图,一个长为6.5米的梯子,一端放在离墙角2.5米处,另一端靠墙,则梯子顶端离墙角有（　　）

（A）3米（B）4米（C）5米（D）6米

3.下列选项中,不能用来验证勾股定理的是（　　）

4.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中的尺寸（单位:

mm）,计算两圆孔中心A和B的距离为　　mm. 

5.在北京召开的国际数学家大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》.其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示.如果直角三角形的直角边分别为a,b（a>b）,斜边为c,那么小正方形的面积可以表示为　

6.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当他把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,求旗杆的高.

7.（2019巴中）如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.

（1）求证:

EC=BD;

（2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.

【综合训练】

8.如图

（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图

（2）所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是（　　）

（A）72（B）52（C）80（D）76

9.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（　　）

（A）9（B）6（C）4（D）3

10.（2020济宁附中）如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D是线段BC上的一个动点（不与B,C重合）,若线段AD的长为整数,则AD的长度为（　　）

（A）3（B）3或4或5（C）3或4（D）3或5

11.如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为BC=0.7米,顶端距离地面AC=2.4米.若梯子底端位置保持不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面A′D=2米,求小巷的宽度.

12.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AB=4cm,AD=2cm,BC=CD,E是AB上的一点,若沿CE折叠,则B,D两点重合,求△AED的面积.

13.现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题:

（1）根据图形验证勾股定理;

（2）如果大正方形的面积是10,小正方形的面积是2,求（a+b）2的值.

【提高训练】

14.如图,在△ABC中,AB=30,BC=25,AC=25,求△ABC的面积.

鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.2一定是直角三角形吗导学案

【学习目标】

1.掌握直角三角形的判别条件,并能进行简单应用.进一步发展数感,增加对勾股数的直观体验,培养从实际问题抽象出数学问题的能力,建立数学模型.会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形,并会辨析哪些问题应用哪个结论.

2.让学生经历“探究—归纳—验证”的数学思想,并学会自主学习的方法.

【学习过程】

一、自学指导

1.观察如图,用数格子的方法判断图中两个三角形的三边关系是否满足a2+b2=c2.

总结:

2.下面的三组数分别是一个三角形的三边a,b,c.

①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17;

（1）这三组数都满足a2+b2=c2吗?

（2）分别用每组数为三边作三角形,用量角器量一量,它们都是直角三角形吗?

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.

二、合作探究

今后我们可以利用“三角形三边a,b,c满足a2+b2=c2时,三角形为直角三角形”来判断三角形的形状,同时也可以作为判定两条直线是否垂直的方法.

1.如图,在正方形ABCD中,有几个直角三角形,你是如何判断的?

与同伴交流.

2.如果将直角三角形的三条边扩大相同的倍数,得到的三角形还是直角三角形吗?

填写下表,并验证你所填的数是否满足“勾股数”.

2倍

3倍

3,4,5

6,8,10

5,12,13

15,36,39

8,15,17

7,24,25

3.[例1]已知:

a2+b2=c2,求证:

（ka）2+（kb）2=（kc）2.

4.[例2]一个零件的形状如图1所示,按规定,这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量得这个零件各边尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗?

5.归纳小结

【当堂训练】

1.以下列各组数为边长,能构成直角三角形的是（　　）

（A）8,15,17（B）4,5,6（C）5,8,10（D）8,39,40

2.若△ABC的三边a,b,c满足（a-b）（a2+b2-c2）=0,则△ABC是（　　）

（A）等腰三角形（B）直角三角形

（C）等腰直角三角形（D）等腰三角形或直角三角形

3.已知:

在△ABC中,三条边长分别为a,b,c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1（n>1）.试判断△ABC的形状.

4.

5.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足|c2-a2-b2|+（a-b）2=0,则△ABC的形状是

6.下列各组数据中,是勾股数的是（　　）

（A）4,5,6（B）12,16,20（C）-10,24,26（D）2.4,4.5,5.1

7.给出下列四个说法:

①由于0.6,0.8,1不是勾股数,所以以0.6,0.8,1为边长的三角形不是直角三角形;②由于以0.5,1.2,1.3为边长的三角形是直角三角形,所以0.5,1.2,1.3是勾股数;③若a,b,c是勾股数,且c最大,则一定有a2+b2=c2;④若三个整数a,b,c是直角三角形的三边长,则2a,2b,2c一定是勾股数,其中正确的是（　　）

（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④

【基础训练】

1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　）

（A）30,40,50（B）7,12,13（C）5,9,12（D）3,4,6

2.已知三角形的三边长分别为5,13,12,则三角形的面积为（　　）

（A）30（B）60（C）78（D）不能确定

3.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是（　）

4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且（a+b）（a-b）=c2,则（　　）

（A）∠A为直角（B）∠C为直角

（C）∠B为直角（D）△ABC不是直角三角形

5.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为（　　）

（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）以上答案都不对

6.若一个三角形的三边之比为3∶4∶5,且周长为24cm,则它的面积为　　cm2. 

7.如图,在△ABC中,点D是BC边上的点,已知AB=15,AD=12,AC=20,BD=9,求CD的长.

【综合训练】

8.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为（　　）

（A）90°（B）60°（C）45°（D）30°

9.已知△ABC中,AB=4,BC=3,那么当AC2=　　时,△ABC是直角三角形. 

10.如图,在边长为1的正方形组成的网格中,有AB,CD,EF,GH四条线段,端点都在格点上,你能选取其中三条线段能组成一个直角三角形吗?

请说明理由.

11.如图,在△ABC中,AC=4cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=3cm,求△ABD的面积.

12.如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.

【提高训练】

13.分析下列各组勾股数:

当n=2时,a=2×2=4,b=22-1=3,c=22+1=5;

当n=3时,a=2×3=6,b=32-1=8,c=32+1=10;

当n=4时,a=2×4=8,b=42-1=15,c=42+1=17;

…

根据你发现的规律写出:

（1）当n=10时的勾股数;

（2）用含n的代数式表示符合上述特点的勾股数,并加以说明.

鲁教版七年级数学上第三章勾股定理3.3勾股定理应用举例导学案

【学习目标】

1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题.学会观察图形,勇于探索图形间的关系,培养学生的空间观念.

2.在将实际问题抽象成几何图形过程中,提高学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学建模的思想.

【学习过程】

一、自学指导

1.如图,有一个圆柱,它的高等于12cm,底面上圆的周长等于18cm.在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物,沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?

（π的值取3）

（1）同学们可自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?

（2）如图,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?

你画对了吗?

（3）蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?

二、合作探究

1.李叔叔想要检测如图所示雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB,但他随身只带了卷尺.

（1）你能替他想办法完成任务吗?

（2）李叔叔量得边AD长是30cm,边AB长是40cm,点B,D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗?

（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺,他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗?

边BC与边AB呢?

2.[例1]有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边,那么它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的水深和这根芦苇的长度各是多少?

3.[例2]如图,某隧道的截面是一个半径为4.2m的半圆形,一辆高3.6m、宽3m的卡车能通过该隧道吗?

4.归纳小结

【当堂训练】

1.甲、乙两位探险者,到沙漠进行探险.某日早晨8:

00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走.1时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进.上午10:

00,甲、乙两人相距多远?

2.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少?

3.如图,是一个滑梯示意图.若将滑道AC水平放平刚好与AB一样长,已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m,试求滑道AC的长.

4.欲登12米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5米,至少需多长的梯子?

5.（2020广饶期中）如图,圆柱的底面周长是14cm,圆柱高为24cm,一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B,需要爬行的最短距离是　　. 

6.如图是一个棱长为6的正方体木箱,点Q在上底面的棱上,AQ=2,一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q,则蚂蚁爬行的最短路程是　　.

7.如图,透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm的点A处,求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长.

8.如图,已知某学校A与直线公路BD相距AB=3000米,且与该公路上一个车站D相距5000米,现要在公路边建一个超市C,使之与学校A及车站D的距离相等,那么该超市与车站D的距离是多少米?

9.小明准备测量一段河水的深度,他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,则河水的深度为（　　）

（A）2m（B）2.5m（C）2.25m（D）3m

【基础训练】

1.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短路线长（　　）

（A）13cm（B）12cm（C）10cm（D）9cm

2.如图,圆柱的高BC为20cm,底面周长是32cm,一只蚂蚁从点A爬到点P处吃食,且PC=

BC,则最短路线长为（　　）

（A）20cm（B）13cm（C