初中数学化简求值专题.docx

1、初中数学化简求值专题初中数学化简求值专题初中数学化简求值个性化教案注意：此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！考点：分式的加减乘除运数学中考化简求值专项练习题代数式及其化简求值一、 代数式的定义：代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或者表示数的 字母连接而成的式子，特别的单独的一个数或者字母也是代数式。如：1、 学习代数式应掌握什么技能？掌握代数式的知识，既应会用语言表述代数式的意义，也要会根据语言的意义列出代数式2、 用语言表达代数式的意义一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序.4、列代数式的实质是理清问题语句的层次，明确运算顺序。例练：一个数的1/8与这个数

2、的和；m与n的和的平方与 m与n的积的和3例练：用代数式表示出来（1） x的3 3倍 （2） x除以y与z的积的商4例练：代数式3a+b可表示的实际意义是 二、 代数式的书写格式：1、 数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“ ？ ”代替，更不能省略不写。2、 数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面。3、 两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性如：4、 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。5、 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。6、 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数 式是带

3、加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。如：甲同学买了 5本书，乙同学买了 a本书，他们一共买了（ 5+a ）本7代数式求值步骤：（1 ）确定代数式中的字母（2 ）确定字母所代表的数（3 ）将字母所代表的数带入到字母求解典型例题代数式求值类型及方法总结1、 直接代入法：2例练：当a=1/2 , b=3时求代数式 2a+6b-3ab的值3例练：当x=-3时，求代数式2x2+的值X2、 先化简再求值例练：已知： m=1/5,n=-1,求代数式 3（m2n+mn）-2（m2n-mn）-m2n 的值3、 整体代入例练：已知：1 1 2 1x+ =3,求代数式(x+ ) +X+6+ 的值

4、x x x例练:已知当x=7 时，代数式 ax5+bx-8=8,求 x=7 时,x52bx28的值.例练:若ab=1，求 a b 的值例练：已知1 13,求2x3xy2y的值a 1 b 1x yx2xyy4、 归一代入2a 9b 2C例练：已知 a=3b,c=4a求代数式 的值5a 6b c5、 利用性质代入例练：已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值等于1，求代数式a+b+x2-cdx的值6、 取特殊值代入b c c a a b例练：设 a+b+c=0,abc 0,求 + + 的值是 A -3 B 1 C 3 或-1 D-3 或-1a冋ic解决本类问题的关键在于化简，可能是单方向化

5、简然后求值，即通过整式乘除，因式分解化简成一个 最简单的代数式，然后代入字母对应的数字解决问题；也可能是双向化简，即从条件和问题同时入手 化简。找到两者对应关系后进行代入求值。代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切许多代数式 是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式 的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现岀来，化简，进而求 值.因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法.下面结合例题逐一介绍.1利用因式分解方法求值2利用乘法公式求值3.设参数法与换元法求值4利用非负数的性质求

6、值5利用分式、根式的性质求值举例分析1 利用因式分解方法求值因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用.例I己知/十耳=求冈刈十IX十1如的值.分析x的值是通过一个一元二次方程给岀的，若解岀 x后，再求值，将会很麻烦我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件.解已知条件可变形为3x2+3x-仁0,所以4 3 2 432 32 2 2 26x +15x +10x =(6x +6x -2x )+(9x +9x -3x)+(3x +3x-1)+1=(3x +3x-1)(2z +3x+1)+仁0+仁1 .说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能

7、避免解方程 (或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答.例2已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，求a+b+c的值.1 1(B + b+e)|+ 1-* b41 iS * al(i+b +c)3hc解将式因式分解变形如下所以 a+b+c=O 或 bc+ac+ab=O .若 bc+ac+ab=O，贝U (a+b+c) 2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a 2+b2+c2=1,所以a+b+c= 1 .所以a+b+c的值为0, 1, -1.说明本题也可以用如下方法对式变形：3拆成1+1+1，最终都是将式变形为两个式

8、子之积等于零的形式.2利用乘法公式求值例 3 已知 x+y=m, x3+y3=n, m 0,求 x2+y2的值.解 因为 x+y=m,所以 m=(x+y) 3=x3+y3+3xy(x+y)=n+3m xy,分析 将x, y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中 x, y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算岀 x+y与xy的值，由此得到以下解法.2 2 2 2 2 - 解 x +6xy+y =x +2xy+y +4xy=(x+y) +4xy 3.设参数法与换元法求值如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系,这叫作设参数法有时也可把代

9、数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法.價5已知 6 i 亡，求；i+y+壬的fM分析本题的已知条件是以连比形式岀现，可引入参数 k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式.解 = = + 有 x = (a -b)k , y = (b -c)k , z = (c -a)k .所以 x+y+z=(a -b)k + (b -c)k+(c -a)k=0 .2z孑的值x y z 1 a b c例6 :已知a b c ，壬 T z分祈咏略召召的值人手.哄虑到魁W中 召+三=L1平方，在平方之二虽台岀现1些交叉项，但能从 b C巧卜已傩帚件热予輙下直我们界翔襪元法求解解令-=U. T

10、= V = Wh于是条件变为 a cu+v+w=1,1+J + 1=qh 、廿* 由有UV + VW + WU =0, UVW所以 w +vw +wu =0.把两边平方得 u2+v2+W+2(uv+vw+wu)=1 ,2 2 2即所以 u +v +w=1，删 = 7T7Sx -2返存-2忌，+玄-城的值.分析若直接代入曲值廿貳 廿算量较尢 为此可先将2击二 分甘脊理化，建醱玮后再求簞.解因加斗湮-冉+施聊X E不=屈.两边平方有Ea -2+ 1 = 0. 同毘Bk-a/2 = 73r可得7 所以愿式=X4(xa -r乐-1)十姒/ -2需5t + l) +k -，亞=x 0 + x- D+ 5

11、(/2 = VJ.4利用非负数的性质求值若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用.例 8 若 x2-4x+|3x -y|= -4,求 y* 的值.分析与解x, y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以 利用非负数的性质求解._ 2 2 2因为 x-4x+|3x-y|=-4，所以 x -4x + 4 + |3x-y|=0，即(x -2) +|3x _y|=0 .解之得x 2所以 y =6 =36.例9未知数x，y满足(x 2+ y2)m2-2y(x+n)m+y 2+n2=0，其中m n表示非零已知数，求 x，y的值.

12、分析与解 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和 为零的形式.将已知等式变形为 nix2+niy2-2mxy-2mny+y?+n2=0，(m2x2-2mxy+y )+(m2y2-2mny+ri)=0，即 (mx-y) 2+(my-n)2=0.=0,因为m护工所臥y 算=上丁*5利用分式、根式的性质求值分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明. 例10已知xyzt=1 ，求下面代数式的值：1111 斗 * * .I + s + xj; + sys 1 + y + + yit I * i + a +

13、 zb: +1 + ik - tey分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变.解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变利用已知条件，可将前例11己如b$当鸽戊求的值.三个分式的分母变为与第四个相同.L i1 tx_ 1 -* k + zy t 4 对 4 ayt 4t* y 亠 jrz 羊 yzt1诙 +tzy 斗 1+ t同理 1 * 2 * Z： + 2tKta/ + 1 +1 * tx分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂因为这样一来，原式的对称性就被破坏了.这里所言的对称性是 扌巨分孑七分母的刑式相近.Ja

14、 U与Jit -黑的期式也相近我們应当荒分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算.(h + 3 侖同样（但请注意算术根！）将，代入原式有(b + 1)掲 |b- lpja f 卜 面弋J?十 十(b +l)Va |b - llVa 十 1 Vb2 + 1Cb + l)+|b - 1| 7b + l-|bl| 卜当时? 恰当K时般题型入求值.9、先化简，再求值: 一+1）_，其中 x=2 .20、21、22、24、25、26、算.3x-3先化简下列式子，# r2 4( I x -2 2 -x10、先化简，再求值:11、12、先化简，再求值:13、先化简，再求值: 14、先化简（一xx

15、5x21-9，其中 x = ,1043再从 2 , - 2 , 1 , 0 ,xx2 1符合题意的x的值代入求值.15、先化简，16、先化简，17、先化简。18、先化简，再求值:再求值:再求值:再求值:探19、先化简再计算:化简，求值:m2先化简，再求值:23.先化简分式x先化简再求值-1中选择一个合适的数进行计2x(-】-2),其中 x=2.x2xx2a2 a 6a 9(弋x 12aa2 111 + x2x2 1x x，然后从不等组25皂一，其中a2a 6x 2 x2 1 2a 1十)x 1a22a a，其中x7,其中-2xx2 2x+1 廿出 l-x2 4 ，其中 x= 52x 1 ，其中

16、2 3的解集中，选取一个你认为12x是一元二次方程 x2 2x 2 0的正数根.2m 1m2 1(m其中m= . 32）化简:fl )x2 6x 92x2a2x化间厂M I 2ab b2 (a b)a- 1 一 ，其中；-丄,再取恰的x的值代入求值x 1-其中 a= . 3+1a 2a 1丁二，其结果是c先化简，再求值：（二?2 2）十x，其中 4.27、28、29、30、31、32.33、34、35.36、39、先化简，再求值:先化简，再求值:先化简，再求值:先化简，再求值:2x(1) (a先化简,x2 + 4X + 4 x+ 2x2 16(空x 2(三a 1(2a 1(厂2x 8亠x 2&

17、)1 a1厂玄-2a)b2 ba再求值:7.x化简:_先化简，再求值:先化简40先化简，x2+ 2x + 1x2 12时，求1 a1-a2x 12xx 1-互，其中x= 2.x+ 4，其中 x , 3 4 .x 4，其中a . 2其中a ,2x2 1计算2，其中1 a1.(3)(a再选一个合适的2x 1的值.x 1再把x取一个尔最喜欢的数代入求直:41、先化简，再选择一个你喜欢的数代入求值。42、先化简，再求值： 二 一43、先化简：（宀亠）代入求值.，其中X2 4x2 4x 4 x 2x）2011a a+1ao+1 佑+1)，其中尤=V5 - 1.再从1, 2, 3中选一个你认为合适的数作为

18、 a的值44、先化简，再求值.（x+1） 2+x （x - 2）.其中1 y* * 2x+l jt -145、（2011?常德）先化简，再求值，（十7 + ）十 _，其中x=2 .46、先将代数式（x2 x） 1化简，再从1, 1两数中选取一个适当的数作为 x的值代入求x 1值.47、先化简再求值:X）十已_竺，其中x=tan60 - 1. ar+2 沪亠448、先化简，再求值：-一空2 4 349.先化简，再求值：（2x y刊 2x 4xy 4y50、先化简分式：（a为a的值代入求值.51、先化简，再求值:其中x所取的值是在-52、先化简，再求值：53、先化简，再求值:54、先化简,探55、

19、已知56、先化简代入求值.（X4),其中 x=3.x(x4xy2v xW3内的一个整数.2x 2x 12x1 -爲)2再求代数式身xx、 y满足方程组2x2x2y x），其中再从-3、 - - 3、2、- 2中选一个你喜欢的数作丄）其中，x=.2+1a=sin60 .3x1 的值，其中,x 3y 3 8y 14x=52先将 一xy x 化简，再求值。x y x y4x 4，后从2 xw 2卩亠2 小m 2m58、化简，求值:m57、先化简，再求值:探59、先化简，再求代数式x 260、化简：（一2x 2x61、计算：-aa a62、先化简，再求值:63、先化简再求值:的范围内选取一个合适的整数

20、作为 x的值，其中 x=2 , y= - 1 .-(m m 11 m 1,其中 m= 3x2 2x 12x1 的值，其中 x=tan60 -tan45 0x 1x 14x4a2 12x2x4）a24x 42x2x2aa 316 ,其中 x 2 、24xx，其中xx3 6x2 9xx2 2x乂，其中x= 6.V64、先化简再求值： 1 厂a I探65、先化简，再求值:66、先化简，再求值:67、先化简，再求值:探68、先化简，再求值:69、化简2a 1(a探70、先化简再求值:71、先化简:入求值。a 1(a72、先化简，再求值:73、化简：-一yx 3y探74、先化简，再求值:较难竞赛题型a2

21、 4a + 4-a2 a ，其中 a = 2 +，2 .a +2a J ，其中a为整数且一a 1a+ 2 a2 2a+ 12x22xy y，其中x3v av 2.x2 2xx2 41)(12x2(x2)，其中x 2xa2 1 a1)14x4)22x 2x，其中(tan45 -cos30 )2a 1a2 4a2 2a 1a2 4a 4a 1其中a满足a21并从0, 1 , 2中选一个合适的数作为a的值代x2 2x 1x2 1，其中x=26xy 9y3x 4x2 12yyx 2 x 4V 2 ，其中x是不等式组 x2 2x 1 2x 51. = 厂屯音，求2“矽+丹的直2 .已知 x+y=a ,

22、x2+y2=b2,求 x4+y4的值.3 .已知 a-b+c=3 , a2+b2+c2=29, a3+b3+c3=45,求 ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) 的值.乩如果二讥裁旳值 z y r5 .设 a+b+c=3m,求(m-a) 3+(m-b) 3+(m-c) 3-3(m-a)(m-b)(m -c)的值.0的整数16*己知工=j求*塔-H-g + 2的值.1, yZy z2, zxyzx则x的值为13、已知3,7.己知24（厉+ 1）初/一小试求宀1渊值.12、若 y-xzxzxyxyz p 则p p2 p3的彳值为yzyzxzx，则 的值为y2 28 已知 13x -6xy+y -4x+1=0,求(x+y)13 x10 的值.9、设 a bc20,求；2a2 bcb22 c的值.2b2ac 2c2 ab10、已知：axby cz 1，求一11111 1 11 1 1的值4 a1 b41 c44 4 41 x 1 y 1 z11、若 abc0，a b b c 且c a，则（ab)(bc)(c a)c ababc的值是b，则x2y 3xy2x18、已知x2 3x 1 0,则 2 的值为 x x 1教研部建议:教研部签字： 日期： 年 月 日