初中数学化简求值专题.docx

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初中数学化简求值专题

初中数学化简求值专题

初中数学化简求值个性化教案

注意：

此类要求的题目，如果没有化简，直接代入求值一分不得！

考点：

①分式的加减乘除运

数学中考化简求值专项练习题

代数式及其化简求值

一、代数式的定义：

代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方…）把数或者表示数的字母连接而成的式子，特别的单独的一个数或者字母也是代数式。

如：

1、学习代数式应掌握什么技能？

掌握代数式的知识，既应会用语言表述代数式的意义，也要会根据语言的意义列出代数式

2、用语言表达代数式的意义一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序.

4、列代数式的实质是理清问题语句的层次，明确运算顺序。

例练：

一个数的1/8与这个数的和；m与n的和的平方与m与n的积的和

3

例练：

用代数式表示出来

（1）x的33倍

（2）x除以y与z的积的商

4

例练：

代数式3a+b可表示的实际意义是

二、代数式的书写格式：

1、数字与数字相乘时，中间的乘号不能用“？

”代替，更不能省略不写。

2、数字与字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，并且数字放在字母的前面。

3、两个字母相乘时，中间的乘号可以省略不写，字母无顺序性如：

4、当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。

5、含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。

6、如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。

如：

甲同学买了5本书，乙同学买了a本书，他们一共买了（5+a）本

7代数式求值步骤：

（1）确定代数式中的字母

（2）确定字母所代表的数

（3）将字母所代表的数带入到字母求解

典型例题代数式求值类型及方法总结

1、直接代入法：

2

例练：

当a=1/2,b=3时求代数式2a+6b-3ab的值

3

例练：

当x=-3时，求代数式2x2+—的值

X

2、先化简再求值

例练：

已知：

m=1/5,n=-1,求代数式3（m2n+mn）-2（m2n-mn）-m2n的值

3、整体代入

例练：

已知：

1121

x+=3,求代数式（x+）+X+6+的值

xxx

例练:

已知当

x=7时，代数式ax5+bx-8=8,求x=7时,—x5

2

b

x

2

8的值.

例练:

若ab=1，求ab的值例练：

已知

11

3,

求2x

3xy

2y的值

a1b1

xy

x

2xy

y

4、归一代入

2a9b2C

例练：

已知a=3b,c=4a求代数式的值

5a6bc

5、利用性质代入

例练：

已知a,b互为相反数，c,d互为倒数，x的绝对值等于1，求代数式a+b+x2-cdx的值

6、取特殊值代入

bccaab

例练：

设a+b+c=0,abc>0,求++的值是A-3B1C3或-1D-3或-1

a冋ic

解决本类问题的关键在于化简，可能是单方向化简然后求值，即通过整式乘除，因式分解化简成一个最简单的代数式，然后代入字母对应的数字解决问题；也可能是双向化简，即从条件和问题同时入手化简。

找到两者对应关系后进行代入求值。

代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切•许多代数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现岀来，化简，进而求值.因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法.下面结合例题逐一介绍.

1•利用因式分解方法求值

2•利用乘法公式求值

3.设参数法与换元法求值

4•利用非负数的性质求值

5•利用分式、根式的性质求值

举例分析

1•利用因式分解方法求值

因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用.

例I己知/十耳=£’求冈刈十IX十1如的值.

分析x的值是通过一个一元二次方程给岀的，若解岀x后，再求值，将会很麻烦•我们可以先将所求的代数式

变形，看一看能否利用已知条件.

解已知条件可变形为3x2+3x-仁0,所以

43243232222

6x+15x+10x=（6x+6x-2x）+（9x+9x-3x）+（3x+3x-1）+1=（3x+3x-1）（2z+3x+1）+仁0+仁1.

说明在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程（或方程组），而要将所

要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答.

例2已知a，b，c为实数，且满足下式：

a2+b2+c2=1，①

求a+b+c的值.

[11

（B+b+e）|

—+——1-—

*b

41iS*al

（i+b+c）

3hc

解将②式因式分解变形如下

所以a+b+c=O或bc+ac+ab=O.若bc+ac+ab=O，贝U（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）=a2+b2+c2=1,

所以a+b+c=±1.所以a+b+c的值为0,1,-1.

说明本题也可以用如下方法对②式变形：

3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形

式.

2•利用乘法公式求值

例3已知x+y=m,x3+y3=n,m^0,求x2+y2的值.

解因为x+y=m,所以m=（x+y）3=x3+y3+3xy（x+y）=n+3m•xy,

分析将x,y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x,y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算岀x+y与xy的值，由此得到以下解法.

22222-解x+6xy+y=x+2xy+y+4xy=（x+y）+4xy3.设参数法与换元法求值

如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数（也叫辅助未知数），以便沟通数量关系,

这叫作设参数法•有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法.

價5已知6i亡~，求；i+y+壬的fM

分析本题的已知条件是以连比形式岀现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式.

解=—=+>有

'x=（a-b）k,y=（b-c）k,z=（c-a）k.

所以x+y+z=（a-b）k+（b-c）k+（c-a）k=0.

2

z

孑的值

xyz1abc

例6:

已知abc，壬Tz

分祈咏略召召的值人手.哄虑到魁W中召+三=L^1平方，在平方之■二虽•台岀现1些交叉项，但能从bC

巧•卜已傩帚件热予輙下直我们界翔襪元法求解

解令-=U.T'=V>—=Wh于是条件变为a£>c

u+v+w=1,①

1+J+1=qh②

、廿*由②有

UV+VW+WU=0,UVW

所以w+vw+wu=0.

把①两边平方得u2+v2+W+2（uv+vw+wu）=1,

222

即

所以u+v+w=1，

删^=7T7S

x"-2返』存-2忌，+玄-城的值.

分析若直接代入曲值廿貳廿算量较尢为此可先将2击二分甘脊理化，建醱玮后再求簞.

解因加■斗湮-冉+施聊

XE不=屈.

两边平方有

Ea-2+1=0.同毘Bk-a/2=73r可得

—'7所以

愿式=X4（xa-r乐-1）十姒/-2需5t+l）+k-，亞

=x"'0+x-D+5（~^/2=VJ.

4•利用非负数的性质求值

若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用.

例8若x2-4x+|3x-y|=-4,求y*的值.

分析与解x,y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解.

__222

因为x-4x+|3x-y|=-4，所以x-4x+4+|3x-y|=0，即（x-2）+|3x_y|=0.

解之得

x2

所以y=6=36.

例9未知数x，y满足

（x2+y2）m2-2y（x+n）m+y2+n2=0，其中mn表示非零已知数，求x，y的值.

分析与解两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式.

将已知等式变形为nix2+niy2-2mxy-2mny+y?

+n2=0，

（m2x2-2mxy+y）+（m2y2-2mny+ri）=0，即（mx-y）2+（my-n）2=0.

=0,

因为m护工所臥y算=上丁*

5•利用分式、根式的性质求值

分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明.例10已知xyzt=1，求下面代数式的值：

1111

斗**.

I+s+xj;+sys1+y++yitI*i+a+zb:

]+1+ik-tey

分析直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变.

解根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为零的式子，分式的值不变•利用已知条件，可将前

例11

己如b>$当"鸽戊求

的值.

三个分式的分母变为与第四个相同.

Li

1tx

_■

1-*■k+zyt4对4ayt4

t

]*y亠jrz羊yzt

1

诙+tzy斗1+t

同理1*2*Z：

+2tK

ta/+1+1*tx

分析计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂•因为这样一来，原式的对称性就被破坏

了.这里所言的对称性是扌巨分孑七分母的刑式相近.JaU与Jit-黑的期式也相近・我們应当荒分利用

这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算.

（h+3侖

同样（但请注意算术根！

）

将①，②代入原式有

（b+1）掲|b-lpjaf卜■面弋—J"?

十］十〔

（b+l）Va|b-llVa十1Vb2+1

Cb+l）+|b-1|7b+l>-|b^l|卜当时?

恰当K时

般题型

入求值.

9、先化简，再求值:

一+1）」_，其中x=2.

20、

21、

22、

24、

25、

26、

算.

3

x-3

先化简下列式子，

#r24

（I

x-22-x

10、先化简，再求值:

11、

12、

先化简，再求值:

13、先化简，再求值:

※^14、先化简（一x

x5

x21-9，其中x=,1043

再从2,-2,1,0,

x

x21

符合题意的x的值代入求值.

15、先化简，

16、先化简，

17、先化简。

18、先化简，

再求值:

再求值:

再求值:

再求值:

探19、先化简再计算:

化简，求值:

m2

先化简，再求值:

23.先化简分式

x

先化简再求值

-1中选择一个合适的数进行计

2x

（-】-2）,其中x=2.

x

2x

x

2

a

~2~a6a9

（弋

x1

2a

a21

1

1+x—2

x21

xx

，然后从不等组

25

皂一®，其中a

2a6

x2x212a1

十）

x1

a2

2

aa

，其中x

—7,其中「-

2x

x2—2x+1廿出l

-x2—4，其中x=—5

2x1，其中

23的解集中，选取一个你认为

12

x是一元二次方程x22x20的正数根.

2m1

m21

（m

其中m=.3

2）化简:

fl）

x26x9

2

x

2a

2x

化间厂MI'

2abb2

（ab）

a

-1

「一，其中；-

丄,再取恰的x的值代入求值•

x1

-其中a=.3+1

a2a1

—丁二［，其结果是c

先化简，再求值：

（二?

2—2）十x^，其中—4.

27、

28、

29、

30、

31、

32.

33、

34、

35.

36、

39、

先化简，再求值:

先化简，再求值:

先化简，再求值:

先化简，再求值:

2x

（1）（a

先化简,

x2+4X+4x+2

x2—16

（空

x2

（三

a1

（2a1

（厂

2x—8

亠

x2

&）

1a

1

厂

玄-2

a）

b2b

a

再求值:

7.x

化简:

__

先化简，再求值:

先化简

40先化简，

x2+2x+1

x2—1

2时，求

1a

1-a2

x—1

2

x

x1

-互，其中x=2.

x+4

，其中x,34.

x4

，其中a.2

其中a,2

x21

计算

2

—，其中

1a

1.

（3）

（a

再选一个合适的

2x1

的值.

x1

再把x取一个尔最喜欢的数代入求直:

41、先化简，再选择一个你喜欢的数代入求值。

42、先化简，再求值：

二一

43、先化简：

（宀「亠）—

代入求值.

，其中

X24

x24x4x2

x）

2011aa+1

a^o+1佑+1）

，其中尤=V5-1

.再从1,2,3中选一个你认为合适的数作为a的值

44、先化简，再求值.（x+1）2+x（x-2）.其中

1y**2x+ljt-1

45、（2011?

常德）先化简，再求值，（十7+•）十•_，其中x=2.

46、先将代数式（x2x）1化简，再从—1,1两数中选取一个适当的数作为x的值代入求

x1

值.

47、先化简再求值:

———X）十已_竺」，其中x=tan60-1.ar+2沪亠4

48、先化简，再求值：

-一空

243

49.先化简，再求值：

（2xy刊2

x4xy4y

50、先化简分式：

（a

为a的值代入求值.

51、先化简，再求值:

其中x所取的值是在-

52、先化简，再求值：

53、先化简，再求值:

54、先化简,

探55、已知

56、先化简

代入求值.

（X

4）,其中x=3.

x

（x

4xy

2vxW3内的一个整数.

2

x2x1

2

x

<1-爲）

2

再求代数式身

x

x、y满足方程组

2

x

—2

x

2yx），其中

再从-3、•--3、

2、-2中选一个你喜欢的数作

丄）其中，x=.2+1

a=sin60.

3x

1

的值，其中,

x3

y38y14’

x=5

2

先将一xy—x^化简，再求值。

xyxy

4x4

，后从—2

—卩亠

2小

m2m

58、化简，求值:

m

57、先化简，再求值:

探59、先化简，再求代数式

x2

60、化简：

（一2

x2x

61、计算：

-a』

aa

62、先化简，再求值:

63、先化简再求值:

的范围内选取一个合适的整数作为x的值

，其中x=2,y=-1.

-（m

’m1

1——

m1

其中m=3

x22x1

2

x

1

的值，其中x=tan60°-tan450

x1

x1

4x

4

a21

2

x

2

x

4）

a2

4x4

2

x

2

x

2a

a3

16,其中x2、2

4x

x，其中x

x36x29x

x22x

乂，其中

x=—6.

V~

64、先化简再求值：

1—厂

a—I

探65、先化简，再求值:

66、先化简，再求值:

67、先化简，再求值:

探68、先化简，再求值:

69、化简^2

a1

（a

探70、先化简再求值:

71、先化简:

入求值。

a—1

（a

72、先化简，再求值:

73、化简：

-一y

x3y

探74、先化简，再求值:

较难竞赛题型

a2—4a+4

-a2—a，其中a=2+，‘2.

a+2aJ，其中a为整数且一

a—1

a+2a2—2a+1

2x

2

2xyy

，其中x

3vav2.

x22x

x24

1）

（1

2x

2

（x

2），其中

x2x

a21a

1）

1

4x

4）

2

~^2~

x2x

，其中

（tan45°-cos30°）

2a1

a24

a22a1

a24a4

a1

其中a满足a2

1

并从0,1,2中选一个合适的数作为

a的值代

x22x1

x21

，其中x=2

6xy9y

3x4

x21

2y

y

x2x4

V2，其中x是不等式组x22x12x5

1.=厂屯音，求2“」矽+丹的直

2.已知x+y=a,x2+y2=b2,求x4+y4的值.

3.已知a-b+c=3,a2+b2+c2=29,a3+b3+c3=45,求ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）的值.

乩如果二讥裁旳值zyr

5.设a+b+c=3m,求（m-a）3+（m-b）3+（m-c）3-3（m-a）（m-b）（m-c）的值.

0的整数

1

6*己知工=j求*塔-H-g+2的值.

1,yZ

yz

2,z

xy

zx

则x的值为

13、已知

3,

7.己知2』4（厉+1）」初/一小试求宀1渊值.

12、若y-

x

z

x

z

x

y

x

y

zp则pp2p3的彳值为

y

z

y

z

x

z

x

，则的值为

y

22

8•已知13x-6xy+y-4x+1=0,求（x+y）13•x10的值.

9、设ab

c

2

0,求；

2a2bc

b2

2c

的值.

2b2

ac2c

2ab

10、已知：

ax

bycz1，求一

1

1

1

1

111

111的值

4a

1b4

1c4

444

1x1y1z

11、若abc

0，

abbc且

ca

，则（a

b）（b

c）（ca）

ca

b

abc

的值是

b，则x

2y3xy

2

x

18、已知x23x10,则——2—的值为

xx1

教研部建议:

教研部签字：

日期：

年月日