多种方法证明勾股定理.docx

1、多种方法证明勾股定理多种方法证明勾股定理【证法1】（课本上的证明方法）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等。即，整理得 。【证法2】（中国古代数学家邹元治的证明）以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上。 RtHAE RtEBF, AHE = BEF。 AEH + AH

2、E = 90o, AEH + BEF = 90o。 HEF = 180o90o= 90o。 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2。 RtGDH RtHAE, HGD = EHA。 HGD + GHD = 90o, EHA + GHD = 90o。又 GHE = 90o, DHA = 90o+ 90o= 180o。 ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于. 。 。【证法3】（三国时期赵爽的证明）以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。 把这四个直角三角形拼成如图所示形状。 RtDAH RtABE, HDA =

3、 EAB。 HAD + HAD = 90o， EAB + HAD = 90o， ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2。 EF = FG =GH =HE = ba ,HEF = 90o。 EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于。 。 .【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b 为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 。把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上。 RtEAD RtCBE, ADE = BEC。 AED + ADE = 90o, AED + BEC = 90o。 DEC = 180o90o

4、= 90o。 DEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于 。又 DAE = 90o, EBC = 90o, ADBC。 ABCD是一个直角梯形，它的面积等于 。 。 。【证法5】（今安徽省宣城市宣州区清代数学家梅文鼎的证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c。把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过C作AC的延长线交DF于点P。 D、E、F在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =180o90o= 90o。又 AB = BE = EG = GA

5、 = c， ABEG是一个边长为c的正方形。 ABC + CBE = 90o。 RtABC RtEBD, ABC = EBD。 EBD + CBE = 90o。 即 CBD= 90o。又 BDE = 90o，BCP = 90o，BC = BD = a。 BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则, 。【证法6】（今杭州清代数学家项明达的证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c。再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上。过点Q作QPBC，交AC于点P。

6、过点B作BMPQ，垂足为M；再过点F作FNPQ，垂足为N。 BCA = 90o，QPBC， MPC = 90o， BMPQ， BMP = 90o， BCPM是一个矩形，即MBC = 90o. QBM + MBA = QBA = 90o，ABC + MBA = MBC = 90o， QBM = ABC，又 BMP = 90o，BCA = 90o，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA。同理可证RtQNF RtAEF。从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）。【证法7】（古希腊的数学家欧几里得的证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上

7、，连结BF、CD. 过C作CLDE，交AB于点M，交DE于点L.。 AF = AC，AB = AD，FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面积等于 ，GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半， 矩形ADLM的面积 =。同理可证，矩形MLEB的面积 =。 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积， ，即 。【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CDAB，垂足是D。 在ADC和ACB中， ADC = ACB = 90o，CAD = BAC， ADC ACB.ADAC = ACA

8、B，即 。同理可证，CDB ACB，从而有 。 ，即 。【证法9】（西周朝代杨作玫的证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（ba），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形。 把它们拼成如图所示的多边形。 过A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R。 过B作BPAF，垂足为P。 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H。 BAD = 90o，PAC = 90o， DAH = BAC。又 DHA = 90o，BCA = 90o，AD = AB = c， RtDHA RtBCA。 DH = BC = a，AH = AC = b。由作法可知， PBCA 是一个

9、矩形，所以 RtAPB RtBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = ba。 RtDGT RtBCA ,RtDHA RtBCA。 RtDGT RtDHA 。 DH = DG = a，GDT = HDA 。 又 DGT = 90o，DHF = 90o，GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90o， DGFH是一个边长为a的正方形。 GF = FH = a . TFAF，TF = GTGF = ba . TFPB是一个直角梯形，上底TF=ba，下底BP= b，高FP=a +（ba）。用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 = ， = 。

10、把代入，得= = 。 。【证法10】（今江苏苏州市元和县古代数学家李锐的证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c。 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上。 用数字表示面积的编号（如图）。 TBE = ABH = 90o， TBH = ABE.又 BTH = BEA = 90o，BT = BE = b， RtHBT RtABE。 HT = AE = a。 GH = GTHT = ba。又 GHF + BHT = 90o，DBC + BHT = TBH + BHT = 90o， GHF = DBC。 DB = EBED =

11、 ba，HGF = BDC = 90o， RtHGF RtBDC. 即 。过Q作QMAG，垂足是M. 由BAQ = BEA = 90o，可知 ABE= QAM，而AB = AQ = c，所以RtABE RtQAM 。又RtHBT RtABE. 所以RtHBT RtQAM， 即 。 由RtABE RtQAM，又得QM = AE = a，AQM = BAE。 AQM + FQM = 90o，BAE + CAR = 90o，AQM = BAE， FQM = CAR。又 QMF = ARC = 90o，QM = AR = a， RtQMF RtARC， 即 。 ， ， ，又 ， ， ， = = ，即

12、。【证法11】（利用切割线定理证明）在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c。如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD = BE = BC = a。因为BCA = 90o，点C在B上，所以AC是B 的切线。由切割线定理，得= ，即， 。?【证法12】（利用多列米定理证明）在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c（如图）。过点A作ADCB，过点B作BDCA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆。根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有， AB = DC = c，AD = BC = a

13、，AC = BD = b， ，即 ， 。?【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在RtABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c。作RtABC的内切圆O，切点分别为D、E、F（如图），设O的半径为r。 AE = AF，BF = BD，CD = CE， = = r + r = 2r,即 ， 。 ，即 ， ， ，又 = = = = ， ， ， ， .【证法14】（利用反证法证明）如图，在RtABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CDAB，垂足是D。 假设，即假设 ，则由=可知 ，或者 . 即 AD：ACAC：AB，或者 BD：BCBC：AB

14、。在ADC和ACB中， A = A， 若 AD：ACAC：AB，则ADCACB。在CDB和ACB中， B = B， 若BD：BCBC：AB，则CDBACB.又 ACB = 90o， ADC90o，CDB90o。这与作法CDAB矛盾. 所以，的假设不能成立。 。【证法15】（英国古代数学家辛卜松的证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c。作边长是a+b的正方形ABCD。把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =。 , 。?【证法16】（中国清朝数学家陈杰的证明）设直角三角形两

15、直角边的长分别为a、b（ba），斜边的长为c。做两个边长分别为a、b的正方形（ba），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上。用数字表示面积的编号（如图）。在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c。 EM = EH + HM = b + a , ED = a， DM = EMED = a = b。又 CMD = 90o，CM = a，AED = 90o， AE = b， RtAED RtDMC。 EAD = MDC，DC = AD = c。 ADE + ADC+ MDC =180o。ADE + MDC = ADE + EAD = 90o， ADC = 90o。 作ABDC，CBDA，则ABCD是一个边长为c的正方形。 BAF + FAD = DAE + FAD = 90o， BAF=DAE。连结FB，在ABF和ADE中， AB =AD = c，AE = AF = b，BAF=DAE， ABF ADE。 AFB = AED = 90o，BF = DE = a。 点B、F、G、H在一条直线上。在RtABF和RtBCG中， AB = BC = c，BF = CG = a， RtABF RtBCG. ， ， ， ， = = = 。 。jiangsushengsiyangxianlikouzhongxueshenzhengzhong 收集整理 排版