多种方法证明勾股定理.docx
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多种方法证明勾股定理
多种方法证明勾股定理
【证法1】（课本上的证明方法）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等。
即
，整理得
。
【证法2】（中国古代数学家邹元治的证明）
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。
把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上。
∵RtΔHAE≌RtΔEBF,
∴∠AHE=∠BEF。
∵∠AEH+∠AHE=90o,
∴∠AEH+∠BEF=90o。
∴∠HEF=180o―90o=90o。
∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2。
∵RtΔGDH≌RtΔHAE,
∴∠HGD=∠EHA。
∵∠HGD+∠GHD=90o,
∴∠EHA+∠GHD=90o。
又∵∠GHE=90o,
∴∠DHA=90o+90o=180o。
∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于
.
∴。
∴
。
【证法3】（三国时期赵爽的证明）
以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。
把这四个直角三角形拼成如图所示形状。
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB。
∵∠HAD+∠HAD=90o，
∴∠EAB+∠HAD=90o，
∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2。
∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90o。
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于
。
∴。
∴
.
【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于。
把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上。
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE=∠BEC。
∵∠AED+∠ADE=90o,
∴∠AED+∠BEC=90o。
∴∠DEC=180o―90o=90o。
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于。
又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,
∴AD∥BC。
∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于。
∴。
∴
。
【证法5】（今安徽省宣城市宣州区清代数学家梅文鼎的证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c。
把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。
过C作AC的延长线交DF于点P。
∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED，
∵∠EGF+∠GEF=90°，
∴∠BED+∠GEF=90°，
∴∠BEG=180o―90o=90o。
又∵AB=BE=EG=GA=c，
∴ABEG是一个边长为c的正方形。
∴∠ABC+∠CBE=90o。
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD。
∴∠EBD+∠CBE=90o。
即∠CBD=90o。
又∵∠BDE=90o，∠BCP=90o，
BC=BD=a。
∴BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
∴
。
【证法6】（今杭州清代数学家项明达的证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c。
再做一个边长为c的正方形。
把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上。
过点Q作QP∥BC，交AC于点P。
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N。
∵∠BCA=90o，QP∥BC，
∴∠MPC=90o，
∵BM⊥PQ，
∴∠BMP=90o，
∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90o.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o，
∴∠QBM=∠ABC，
又∵∠BMP=90o，∠BCA=90o，BQ=BA=c，
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA。
同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF。
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）。
【证法7】（古希腊的数学家欧几里得的证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结
BF、CD.过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点L.。
∵AF=AC，AB=AD，
∠FAB=∠GAD，
∴ΔFAB≌ΔGAD，
∵ΔFAB的面积等于，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，
∴矩形ADLM的面积=
。
同理可证，矩形MLEB的面积=
。
∵正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积，
∴
，即
。
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。
在ΔADC和ΔACB中，
∵∠ADC=∠ACB=90o，
∠CAD=∠BAC，
∴ΔADC∽ΔACB.
AD∶AC=AC∶AB，
即
。
同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有。
∴，即
。
【证法9】（西周朝代杨作玫的证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。
把它们拼成如图所示的多边形。
过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R。
过B作BP⊥AF，垂足为P。
过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H。
∵∠BAD=90o，∠PAC=90o，
∴∠DAH=∠BAC。
又∵∠DHA=90o，∠BCA=90o，
AD=AB=c，
∴RtΔDHA≌RtΔBCA。
∴DH=BC=a，AH=AC=b。
由作法可知，PBCA是一个矩形，
所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=
CA=b，AP=a，从而PH=b―a。
∵RtΔDGT≌RtΔBCA,
RtΔDHA≌RtΔBCA。
∴RtΔDGT≌RtΔDHA。
∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA。
又∵∠DGT=90o，∠DHF=90o，
∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o，
∴DGFH是一个边长为a的正方形。
∴GF=FH=a.TF⊥AF，TF=GT―GF=b―a.
∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）。
用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
①
∵=，
，
∴=。
②
把②代入①，得
==。
∴。
【证法10】（今江苏苏州市元和县古代数学家李锐的证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c。
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上。
用数字表示面积的编号（如图）。
∵∠TBE=∠ABH=90o，
∴∠TBH=∠ABE.
又∵∠BTH=∠BEA=90o，
BT=BE=b，
∴RtΔHBT≌RtΔABE。
∴HT=AE=a。
∴GH=GT―HT=b―a。
又∵∠GHF+∠BHT=90o，
∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90o，
∴∠GHF=∠DBC。
∵DB=EB―ED=b―a，
∠HGF=∠BDC=90o，
∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即
。
过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90o，可知∠ABE
=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM。
又RtΔHBT≌RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM，即。
由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE。
∵∠AQM+∠FQM=90o，∠BAE+∠CAR=90o，
∠AQM=∠BAE，
∴∠FQM=∠CAR。
又∵∠QMF=∠ARC=90o，QM=AR=a，
∴RtΔQMF≌RtΔARC，即。
∵，，，
又∵，，，
∴
=
=，
即。
【证法11】（利用切割线定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。
如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a。
因为∠BCA=90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B的切线。
由切割线定理，得
=
=
=
，
即
，
∴
。
?
【证法12】（利用多列米定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）。
过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆。
根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
，
∵AB=DC=c，AD=BC=a，
AC=BD=b，
∴
，即
，
∴
。
?
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c。
作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r。
∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，
∴
=
=r+r=2r,
即
，
∴
。
∴
，
即
，
∵，
∴，
又∵
==
==
，
∴
，
∴
，
∴
，∴
.
【证法14】（利用反证法证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D。
假设
，即假设
，则由
=
=
可知
，或者
.即AD：
AC≠AC：
AB，或者BD：
BC≠BC：
AB。
在ΔADC和ΔACB中，
∵∠A=∠A，
∴若AD：
AC≠AC：
AB，则
∠ADC≠∠ACB。
在ΔCDB和ΔACB中，
∵∠B=∠B，
∴若BD：
BC≠BC：
AB，则
∠CDB≠∠ACB.
又∵∠ACB=90o，
∴∠ADC≠90o，∠CDB≠90o。
这与作法CD⊥AB矛盾.所以，
的假设不能成立。
∴
。
【证法15】（英国古代数学家辛卜松的证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c。
作边长是a+b的正方形ABCD。
把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为
=
。
∴
∴
。
?
【证法16】（中国清朝数学家陈杰的证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c。
做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上。
用数字表示面积的编号（如图）。
在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，则AD=c。
∵EM=EH+HM=b+a,ED=a，
∴DM=EM―ED=
―a=b。
又∵∠CMD=90o，CM=a，
∠AED=90o，AE=b，
∴RtΔAED≌RtΔDMC。
∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c。
∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180o。
∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90o，
∴∠ADC=90o。
∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形。
∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90o，
∴∠BAF=∠DAE。
连结FB，在ΔABF和ΔADE中，
∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，
∴ΔABF≌ΔADE。
∴∠AFB=∠AED=90o，BF=DE=a。
∴点B、F、G、H在一条直线上。
在RtΔABF和RtΔBCG中，
∵AB=BC=c，BF=CG=a，
∴RtΔABF≌RtΔBCG.
∵
，
，
，
，
∴
=
=
=
。
∴
。
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