圆的培优专题含解答.docx

1、圆的培优专题含解答一运用辅助圆求角度1、 如图， ABC 内有一点 D, DA = DB = DC，若 DAB = 20 , DAC = 30 ,1贝U 乙 BDC = . ( BDC = 2- BAC = 100 )2、 如图，AE = BE = DE = BC = DC,若 C= 100 ，则 BAD = . ( 50 )3、 如图，四边形 ABCD 中，AB = AC = AD，/ CBD = 20，/ BDC = 30，贝卩乙 BAD = .(厶 BAD = Z BAC + Z CAD = 40 + 60 = 100*)第1题 第2题 第3题解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所

2、对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗!4、 如图，口 ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若 D = 60 ,贝U AEC = . (/ AEC = 2 B = 2 D = 120 )5、 如图，O 是四边形 ABCD 内一点，OA = OB = OC, ABC = ADC = 70 ,贝U DAO + DCO = .(所求=360 - Z ADC 乙 AOC = 150 )6、如图，四边形 ABCD 中， ACB = ADB = 90 , - ADC = 25，则 ABC = ACBD共圆.运用圆周角和圆心角相互转化求角度7、如图，AB为O O的直径，C为AB的中点,D为半圆AB上

3、一点，则 ADC =8、如图，AB为O O的直径,CD过OA的中点E并垂直于OA，则.ABC =9、如图，AB为O O的直径,BC = 3AC，则ABC =解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!10、如图，AB为O O的直径，点 C、D在O O上， BAC = 50，则.ADC = 11、如图，O O的半径为1,弦AB = ，弦 AC = 3 ，则 BOC = 12、如图，PAB、PCD是O O的两条割线，PAB过圆心O,若AC =CD , - P= 30 ,则 BDC = .（设.ADC = x，即可展开解决问题）解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一

4、一等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质!1、 如图，AB是O O的弦，OD_AB，垂足为 C,交O O于点D，点E在O O上，若.BED=30 , O O的半径为4，则弦AB的长是 .略解： OD _AB , AB = 2AC，且.ACO = 90 , . BED = 30 . AOC = 2 BED = 60. OAC = 30 , OC=- OA = 2,贝U AC = 2、3，因此 AB = 4 3.2、 如图，弦 AB垂直于O O的直径CD , OA = 5, AB = 6,贝U BC =

5、 .1略解：直径 CD _ 弦 AB , AE = BE =1 AB=3OE = 52 3 =4，贝U CE= 5+ 4 = 9 BC = - 92 32 =3.10第1题 第2题 第3题3、 如图，O O的半径为 25 , 弦 AB 丄 CD ,垂足为 P, AB = 8, CD = 6,贝U OP= 略解：如图，过点 O作OE_AB , OF_CD，连接OB , OD.则 BE = 2 AB = 4, DF =十 CD = 3,且 OB = OD = 2 5OE = ,(2、5)2 -42 =2 , OF= . (2i5)2-32T1又AB _CD，则四边形 OEPF是矩形，则 OP= ,

6、22 (.11)24、 如图，在O O内，如果 OA = 8, AB = 12, A = B = 60，则O O的半径为 略解：如图，过点 O作OD _ AB，连接OBAD = | AB = 4,因此，BD = 8, OD = 4、3 OB = 4.7 .5、如图，正 ABC 内接于O O, D 是O O 上一点，.DCA = 15 , CD = 10,贝U BC = 略解：如图，连接 OC , OD，则.ODC = . OCD/ ABC 为等边三角形，则 OCA = OCE = 30 ,二 ODC = OCD = 45 OCD是等腰三角形，则 OC = 5、26、如图，O O的直径AB =

7、4, C为AB的中点，E为OB上一点， AEC = 60 , CE的延长线交O O于点D，贝y CD = 略解：如图，连接 OC,贝U OC= 2则 DE = 2CD = 2 .2002 -1502 =100 7 ,所以受影响的时间为 100-7 “107 =10 （时）1、如图，O O的直径AB = 10,弦AC = 6, - ACB的平分线交O O于D,求CD的长.解：如图，连接 AB , BD，在CB的延长线上截取 BE = AC ,连接DE ACD = BCD , AD = BD又乙 CAD = Z EBD , AC = BE CAD EBD ( SAS)CD = DE , ADC =

8、 . BDE/ AB 为O O 的直径，则.ACB = . ADB = 90 BC = 一 102 _62 =8 ; ADC +. CDB = . CDB +. BDE = 90 ，即.CDE = 90 CDE是等腰直角三角形且 CE= 14, CD = 7 22、如图，AB是O O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且MA = MD，若 CM = 2，求 BD 的长.解：如图，连接 AC,贝U AC = BC, . C = 90，即 ABC是等腰直角三角形过点 M 作 MN / AD，则 NMA = MAD则厶CMN也是等腰直角三角形，则 MN = .2 CM乙 AN

9、C = Z MBD = 135 ,又 MA = MD , . D = . NMA = . MAD AMN BMD (AAS )BD = MN = 23、如图，AB为O O的直径，点N是半圆的中点，点 C为AN上一点，NC = . 3 .求BC AC的值.解：如图，连接 AN , BN，则 ABN是等腰直角三角形在BC上截取BD = AC，连接DN/ AN = BN , CAN = DBN , AC = BD ACN BDN ( SAS)CN = DN , CNA = DNB ,厶CND = Z CNA + Z AND = Z ADN +乙DNB = 90 ，即 CND是等腰直角三角形CD =

10、. 2 NC = ,6 ,BC AC = BC BD = CD =、64、如图，点 A、B、C为O O上三点，AC二BC，点M为BC上一点，CE_AM于E,AE = 5, ME = 3,求 BM 的长.解：如图，在 AM上截取 AN = BM，连接CN , CM./ AC =BC , AC = BC,又 / A = Z B ACN BCM (SAS)CN = CM，又 CE_AMNE = ME = 3,BM = AN = AE NE = 25、如图，在O O中，P为BAC的中点，PD_CD , CD交O O于A，若AC = 3, AD = 1 , 求AB的长.解：如图，连接 BP、CP,贝U

11、BP= CP, . B = . C过点P作PE _AB于点E，又PD CD BEP = CDP BEP也厶 CDP (AAS )BE = CD = 3+1 = 4, PE= PD连接 AP,贝 U Rt AEP 也 Rt ADP ( HL ),贝 U AE = AD = 1 AB = AE+BE = 56、如图，AB 是 O 的直径，MN 是弦，AEMN 于 E, BF MN 于 F, AB = 10, MN = 8.求BF AE的值.解: v AE _ MN , BF _ MN，贝U AE / BF，/ A = Z B如图，延长EO交BF于点G,贝U AOE = BOG , AO = BO

12、AOE BOG (AAS ),贝U OE = OG过点 O 作 OHMN , FG = 2OH , HN = 4连接 ON，贝U ON = 5, OH = 52 -42 =3，贝U BG AE = FG = 6.1、如图，O O是厶BCN的外接圆，弦 AC_BC，点N是AB的中点，.BNC = 60 ,亠 BN +求BC的值解：如图，连接 AB，贝U AB为直径， BNA = 90连接AN，则BN = AN，则 ABN是等腰直角三角形J2- BN = AB ;又 / BAC = BNC = 60 ,解：如图，作直径 AE，连接DE,则/ ADE = 903、如图，AB为O O的直径，C为O O

13、上一点，D为CB延长线上一点，且 Z CAD = 45 EF = CG, CE / DG，则 ECB = CDG = CAE ACE DCG (AAS ),贝U CE = CG = EF(2)略解:AC = CD =、42 62 =2.13.24、如图，AB为O O的直径，CD_AB于点D, CD交AE于点F, AC=CE.(1)EH = AH = 1 AE=4求证：AF = CF;(2)若O O的半径为5，AE = 8,求EF的长(1 )证：如图，延长 CD交O O于点G,连接AC.直径 AB I CG,贝U AG = AC =CE . CAE = ACG，贝U AF = CF(2)解：如图

14、，连接 OC交AE于点H，则OC_AE ,OH = .52 -42 =3，贝U CH = 5- 3= 2设 HF = X，贝V CF = AF = 4 X2 2 2 3 3则 x 2 =(4 -x) , x ，即 HF =2 211 EF =25、如图，在O O中，直径 CD 弦AB于E, AM BC于M，交CD于N，连接 AD.(1)求证：AD = AN ;3h丿(2)若 AB = 4*2 , ON = 1,求O O 的半径.(1)证：T CD _ AB , AM _ BCC + CNM = - C+ B = 90匚 B = Z CNM ,又 B = D, AND = CNM D = AND

15、，即 AD = AN(2)解：直径 CD _ 弦 AB，则 AE = 2、Q又 AN = AD，贝U NE = ED如图，连接 OA，设OE = x，贝U NE = ED = x 1OA = OD = 2x 1 x2 (2，2)2 =(2x 1)2，则 x=1 O O的半径OA = 31、在O O 中，弦 AB_CD 于 E,求证： AOD + BOC = 证：如图，连接AC,/ AB _CD，则.CAB + . ACD = 90又.AOD = 2 ACD , BOC = 2 BAC . AOD + . BOC = 180 .2 2 22、在O O中，弦AB CD于点E,若O O的半径为R，求

16、证：AC + BD = 4R .证： AB _CD，则.CAB + . ACD = 90如图，作直径 AM，连接CM则三 ACM = Z ACD + Z DCM = 90 / CAB = Z DCM ,- BC = DMCM = BD2 2/ AC2+ CM2= AMAC2+ BD2= 4R2 3、在O O中，弦AB CD于点E,若点M为AC的中点，求证 ME BD.证：如图，连接 ME，并延长交BD于点F AB CD，且点M为AC的中点ME为RtAAEC斜边上的中线AM = ME乙 A = AEM =乙 BEF又 B = C, A + C= 90 BEF + B= 90 ，即 BFE = 9

17、0 ME BD.14、在O O中，弦 AB _ CD于点E,若ON _ BD于N，求证：ON = AC.2证：如图，作直径 BF，连接DF,贝U DF _ BD，又 ON _ BD ,ON / FD，又 OB = OF1ON = - DF2连接 AF，贝U AF _ AB，又 CD _ ABAF / CD AC =FD，贝U AC = FD1-ON = AC25、在O O 中，弦 AB _ CD 于点 E,若 AC = BD , ON _ BD 于 N, OM _ AC 于 M.(1)求证：ME/ON ;(2)求证：四边形 OMEN为菱形.证：(1)如图，延长 ME交OD于点F AM = EM

18、,. A = AEM = BEF又 B = C, A + C = 90 B + BEF = 90 ，则 BFE = 90 MF _ BD，又 ON BD MF / ON(2)由(1)知 MF / ON，同理可证 OM / NE ,四边形OMEN是平行四边形/ AC = BD , OM = ON四边形OMEN为菱形.一圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形1、如图，O O ABC的外接圆，弦 CD平分.ACB，- ACB = 90 .求证：CA + CB = .2 CD.证：如图，在 CA的延长线上截取 AE = BC,连/ CD 平分 / ACB， AD = BD CDE

19、是等腰直角三角形，则 CA + CB = CE = 、2 CD.2、如图，O O ABC的外接圆，弦 CD平分 ACB，- ACB = 120，求一CD 的值解：如图，在 CA的延长线上截取 AE = BC，/ CD 平分乙 ACB， AD = BD又/ DAE =乙 DBC，AE = BC DAE DBC ( SAS)CD = DE，又/ ACD = 60 CDE是等边三角形“ CA+CBCD = CE = CA + BC，即-CD = 13、如图，过0、M（1,1）的动圆O 01交y轴、X轴于点 解：如图，过点 M作ME _ y轴，MF _ X轴，连 AM、由M (1，1)知：四边形 OF

20、ME是正方形.OE = OF = 4，EM = FM，又乙 MBF =乙 MAE， AEM BFM (AAS )，贝U AE = BFOA + OB = AE + OE+ OF BF = 8.6、如图，A （4,0） , B（0,4） , O O1 经过 A、B、O 三点,PB PA 求 的值解：如图，在BP上截取BC = AP A (4,0) , B(0, 4)，则 OA = OB = 4 又/ OAP = Z OBC OAPOBC (SAS)点这P为OA上动点（异于0、A）OC = OP，且 N COP = AOB = 90 :则 PBPOPA = PO =血.切线与一个圆 答案：1、70

21、 ; 2、20 ; 3、80 ; 4、120 ; 5、130 ; 6、451、 如图，AD切O O于A , BC为直径，若 Z ACB = 20，则E CAD = .2、 如图，AP切O O于P, PB过圆心，B在O O上，若.ABP = 35，则.APB = .3、 如图，PA、PB为O O的切线，C为ACB上一点，若.BCA = 50，则.APB = 9、如图，O 01和0 02外切于D, AB过点D，右A0 2D = 100 , C为优弧BD上任一点,则DCB = 答案：7、140 ; & 40 ; 9、50 （过点D作两圆的切线）1、 如图，在O O的内接 ACB中，乙ABC = 30

22、 , AC的延长线与过点 D的切线BD交于点 D，若O O 的半径为 1 , BD /OC，贝U CD = . ( CD =-)32、 如图 ABC内接于O O, AB = BC,过点A的切线与 OC的延长线交于 D, BAC = 75 ,CD =，贝U AD = . (AD = 3) 3、如图，O O BCD的外接圆，过点 C的切线交BD的延长线于 A, ACB = 75 ,-ABC = 45，则 DB 的值为 . (CD i 2 )4、 如图，AB为O O的直径，弦 DC交AB于E,过C作O O的切线交 DB的延长线于 M ,若 AB = 4 , ADC = 45 , M = 75，则 C

23、D = . (CD = 2,3 )5、 如图，等边 ABC内接于O O, BD BO O于B, AD BD于D, AD交O O于E,O O的半径为1,贝U AE = . (AE = 1)6、如图， ABC中，/ C= 90 , BC = 5,O O与ABC的三边相切于 D、E、F,若O O的半径为2,则厶ABC的周长为 . ( C= 30)7、如图， ABC 中，/ C = 90 , AC = 12, BC = 16,点 O 在 AB 上，O O 与 BC 相切于 D,1、如图，AB为O O的直径，C为AE的中点，CD丄BE于D(1)判断DC与O O的位置关系，并说明理由；(2)若DC = 3

24、,0 O的半径为5，求DE的长.解：(1) DC是O O的切线，理由如下：如图，连接 OC, BC，则 N ABC = Z CBD = Z OCB OC / BD，又 CD 丄 BE OC _ CD，又OC为O O的半径 DC是O O的切线(2)如图，过 O作OF_BD，则四边形 OFDC是矩形，且 BE = EF - OF= CD = 3， DF = OC = 5，EF= BF = - 52 -32 4， DE = DF EF= 12、如图，AB为O O的直径，D是BC的中点，DEAC交AC的延长线于E，O O的切线 BF交AD的延长线于点F.(1)求证：DE为O O的切线；(2)若DE =

25、 3，O O的半径为5，求DF的长(1)证：显然， CAD = OAD = ODAOD / AE，又 DE _ AC，OD _ DE，又OD为O O半径DE为O O的切线(2 )解：如图，过点 O作OG_AC，贝U OGDE是矩形，即 OG = DE = 3，DE = OD = 5AG = .52 -32 =4，贝y AE = 5 + 4= 9, - 92 32 =3.10连接 BD，贝U BD AD， BD = ,102 (3 .10)： 10设 DF = X，则 X2 0 10)2 = BF = (x 310)2 -102， DF = X = 0 .3、如图，四边形 ABCD内接于O O,

26、 BD是O O的直径，AE _ CD于E, DA平分.BDE.(1)求证：AE是O O的切线；(2)若 AE = 2, DE = 1,求 CD 的长.(1 )证：如图，连接 0A，则.ADE =. ADO = . OAD OA / CD , 又 AE _ CD OA _ AE，又OA为O O的半径 AE是O O的切线(2)解：如图，过点 O作OF丄CD,贝U CD = 2DF，且四边形OFEA是矩形EF = OA = OD，OF = AE = 2设 DF = X，贝U OD = EF= X 12 2 2 x 2 =(x 1)， x=1.5CD = 2CF = 2x =34、如图，AE 是O O

27、 的直径，DF BO O 于 B，AD DF 于 D，EF DF 于 F.(1)求证：EF + AD = AE ;(2)若EF = 1，DF = 4,求四边形 ADFE的周长.(1 )证：如图，连接 CE,则四边形CDFE是矩形连接OB交CE于点G,/ DF是O O的切线 OB _ DF , OB _CE BG = CD = EF, OG / AC，又 AO = OE AC = 2OGEF + AD = AC + CD + EF= 2OG+ 2BG = 2OB = AE.(2)解：显然 CE = DF = 4, CD = EF = 1设 AC = x，贝U AD = x 1, AE = x 2

28、2 2 2x 4 =(x 2)，贝y X=3，贝y AC = 3, AD = 4, AE = 5四边形CDFE的周长为14.1、如图，已知点 A是O O上一点，半径 0C的延长线与过点 A的直线交于点 B, OC = BC,1AC = - OB.2(1)求证：AB是O 0的切线；(2)若.ACD = 45 , 0C = 2,求弦CD的长.(1)证：T OC = 0B ,1 AC为OAB的OB边上的中线，又 AC = - OB2 OAB是直角三角形，且 OAB = 90，又AB是O O的切线(2)解：显然，OA = OC =人。，即厶OAC是等边三角形乙 AOC = 60，/ D = 30如图，

29、过点A作AE _ CD于点E, ACD = 45 , AEC是等腰直角三角形，AE = CE = 2 AC = OC 2 , DE = . 3AE = ,62 22、如图，PA、PB 切O O 于 A、B,点 M 在 PB 上，且 OM / AP , MN AP 于 N.(1)求证：OM = AN ; (2)若O O的半径r =3 , PA = 9，求OM的长.(1 )证：如图，连接 OA ,T PA为O O的切线，OA _ AP，又 MN _ APOA / MN，又 OM /AP ,四边形 OANM 是矩形，即 OM = AN(2 )解：如图，连接 OB,t PB、PA为O O的切线 OBM = MNP = 90 , PB = PA= 9 / OM/AP,. OMB = P,又 OB = OA = MN , OBM MNP (AAS )