圆的培优专题含解答.docx
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圆的培优专题含解答
一运用辅助圆求角度
1、如图，△ABC内有一点D,DA=DB=DC，若DAB=20,DAC=30,
1
贝U乙BDC=.（•BDC="2-■BAC=100）
2、如图，AE=BE=DE=BC=DC,若C=100，则BAD=.（50）
3、如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，/CBD=20，/BDC=30，贝卩
乙BAD=.（厶BAD=ZBAC+ZCAD=40°+60°=100*）
第1题第2题第3题
解题策略：
通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗!
4、如图，口ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若•D=60,
贝UAEC=.（/AEC=2^B=2^D=120）
5、如图，O是四边形ABCD内一点，OA=OB=OC,ABC=ADC=70,
贝UDAO+DCO=.（所求=360-ZADC—乙AOC=150）
6、如图，四边形ABCD中，ACB=■ADB=90,-ADC=25，则ABC=
ACBD共圆.
运用圆周角和圆心角相互转化求角度
7、如图，AB为OO的直径，C为AB的中点,
D为半圆AB上一点，则•ADC=
8、如图，AB为OO的直径,
CD过OA的中点E并垂直于OA，则.ABC=
9、如图，AB为OO的直径,
BC=3AC，则—ABC=
解题策略：
以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径!
10、如图，AB为OO的直径，点C、D在OO上，•BAC=50，则.ADC=
11、如图，OO的半径为1,弦AB=，弦AC=3，则•BOC=12、如图，PAB、PCD是OO的两条割线，PAB过圆心O,若AC=CD,-P=30,
则•BDC=.（设.ADC=x，即可展开解决问题）
解题策略：
在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形一一等腰三角形或直角三角形或等腰
直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！
圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质!
1、如图，AB是OO的弦，OD_AB，垂足为C,交OO于点D，点E在OO上，若.BED
=30,OO的半径为4，则弦AB的长是.
略解：
•••OD_AB,•••AB=2AC，且.ACO=90,
•••.BED=30.AOC=2BED=60
•.OAC=30,OC=-^-OA=2,贝UAC=2、3，因此AB=43.
2、如图，弦AB垂直于OO的直径CD,OA=5,AB=6,贝UBC=.
1
略解：
•••直径CD_弦AB,•AE=BE=1AB=3
•OE=52—3=4，贝UCE=5+4=9
•BC=-9232=3.10
第1题第2题第3题
3、如图，OO的半径为25,弦AB丄CD,垂足为P,AB=8,CD=6,贝UOP=
略解：
如图，过点O作OE_AB,OF_CD，连接OB,OD.
则BE=2AB=4,DF=十CD=3,且OB=OD=25
OE=,（2、、5）2-42=2,OF=•.（2i5）2-32T1
又AB_CD，则四边形OEPF是矩形，则OP=,22（.11）2
4、如图，在OO内，如果OA=8,AB=12,•A=■B=60，则OO的半径为
略解：
如图，过点O作OD_AB，连接OB」AD=|AB=4,因此，BD=8,OD=4、3
•OB=4.7.
5、如图，正△ABC内接于OO,D是OO上一点，.DCA=15,CD=10,贝UBC=略解：
如图，连接OC,OD，则.ODC=.OCD
•/△ABC为等边三角形，则OCA=■OCE=30,二ODC=•OCD=45
•••△OCD是等腰三角形，则OC=5、2
6、如图，OO的直径AB=4,C为AB的中点，E为OB上一点，•AEC=60,CE的延
长线交OO于点D，贝yCD=
略解：
如图，连接OC,贝UOC=2
则DE=2CD=2.2002-1502=100・7,
所以受影响的时间为100--7“10・7=10（时）
1、如图，OO的直径AB=10,弦AC=6,-ACB的平分线交OO于D,求CD的长.
解：
如图，连接AB,BD，在CB的延长线上截取BE=AC,连接DE
••••ACD=■BCD,•••AD=BD
又乙CAD=ZEBD,AC=BE
•△CAD◎△EBD（SAS）
•CD=DE,ADC=.BDE
•/AB为OO的直径，则.ACB=.ADB=90
•BC=一102_62=8;ADC+.CDB=.CDB+.BDE=90，即.CDE=90
•△CDE是等腰直角三角形且CE=14,•CD=72
2、如图，AB是OO的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且
MA=MD，若CM=\2，求BD的长.
解：
如图，连接AC,贝UAC=BC,.C=90，即△ABC是等腰直角三角形
过点M作MN//AD，则NMA=MAD
则厶CMN也是等腰直角三角形，则MN=.2CM
•乙ANC=ZMBD=135,
又MA=MD,•.D=.NMA=.MAD
•△AMN◎△BMD（AAS）
BD=MN=2
3、如图，AB为OO的直径，点N是半圆的中点，点C为AN上一点，NC=■.3.
求BC—AC的值.
解：
如图，连接AN,BN，则△ABN是等腰直角三角形
在BC上截取BD=AC，连接DN
•/AN=BN,CAN=DBN,AC=BD
•△ACN◎△BDN（SAS）
•CN=DN,CNA=DNB,
•••厶CND=ZCNA+ZAND=ZADN+乙DNB=90，即△CND是等腰直角三角形
•CD=.2NC=,6,
•BC—AC=BC—BD=CD=、、6
4、如图，点A、B、C为OO上三点，AC二BC，点M为BC上一点，CE_AM于E,
AE=5,ME=3,求BM的长.
解：
如图，在AM上截取AN=BM，连接CN,CM.
•/AC=BC,•••AC=BC,又/A=ZB
•••△ACN◎△BCM（SAS）
•CN=CM，又CE_AM
•NE=ME=3,
BM=AN=AE—NE=2
5、如图，在OO中，P为BAC的中点，PD_CD,CD交OO于A，若AC=3,AD=1,求AB的长.
解：
如图，连接BP、CP,贝UBP=CP,.B=.C
过点P作PE_AB于点E，又PD—CD
•BEP=CDP
•••△BEP也厶CDP（AAS）
BE=CD=3+1=4,PE=PD
连接AP,贝URt△AEP也Rt△ADP（HL）,贝UAE=AD=1
•AB=AE+BE=5
6、如图，AB是O的直径，MN是弦，AE—MN于E,BF—MN于F,AB=10,MN=8.
求BF—AE的值.
解:
vAE_MN,BF_MN，贝UAE//BF，•/A=ZB
如图，延长EO交BF于点G,
贝U•AOE=BOG,AO=BO
•△AOE◎△BOG（AAS）,贝UOE=OG
过点O作OH—MN,FG=2OH,HN=4
连接ON，贝UON=5,OH=■52-42=3，贝UBG—AE=FG=6.
1、如图，OO是厶BCN的外接圆，弦AC_BC，点N是AB的中点，.BNC=60,
亠BN»+
求BC的值•
解：
如图，连接AB，贝UAB为直径，••••BNA=90
连接AN，则BN=AN，则△ABN是等腰直角三角形
J2
•-BN=AB;又/BAC=■BNC=60,
解：
如图，作直径AE，连接DE,则/ADE=90
3、如图，AB为OO的直径，C为OO上一点，D为CB延长线上一点，且ZCAD=45
•EF=CG,CE//DG，则ECB=CDG=CAE
•△ACEDCG（AAS）,贝UCE=CG=EF
（2）略解:
AC=CD=、4262=2.13.
2
4、如图，AB为OO的直径，CD_AB于点D,CD交AE于点F,AC=CE.
（1）
EH=AH=1AE=4
求证：
AF=CF;
（2）若OO的半径为5，AE=8,求EF的长
（1）证：
如图，延长CD交OO于点G,连接AC
•.•直径ABICG,贝UAG=AC=CE
•••.CAE=■ACG，贝UAF=CF
（2）解：
如图，连接OC交AE于点H，则OC_AE,
OH=..52-42=3，贝UCH=5-3=2
设HF=X，贝VCF=AF=4—X
22233
则x2=（4-x）,•x，即HF=—
22
11
•EF=
2
5、如图，在OO中，直径CD—弦AB于E,AM—BC于M，交CD于N，连接AD.
（1）求证：
AD=AN;
3
h
丿
（2）若AB=4*2,ON=1,求OO的半径.
（1）证：
TCD_AB,AM_BC
—C+—CNM=•-C+—B=90
•匚B=ZCNM,
又B=D,AND=CNM
••D=■AND，即AD=AN
（2）解：
•••直径CD_弦AB，则AE=2、Q
又AN=AD，贝UNE=ED
如图，连接OA，设OE=x，贝UNE=ED=x1
OA=OD=2x1
•x2（2，2）2=（2x1）2，则x=1
•OO的半径OA=3
1、在OO中，弦AB_CD于E,求证：
AOD+BOC=证：
如图，连接AC,
•/AB_CD，则.CAB+.ACD=90
又.AOD=2ACD,BOC=2・BAC
•••.AOD+.BOC=180.
222
2、在OO中，弦AB—CD于点E,若OO的半径为R，求证：
AC+BD=4R.
证：
•••AB_CD，则.CAB+.ACD=90
如图，作直径AM，连接CM
则三ACM=ZACD+ZDCM=90
•/CAB=ZDCM,
•-BC=DM
•CM=BD
22
•/AC2+CM2=AM
•AC2+BD2=4R23、在OO中，弦AB—CD于点E,若点M为AC的中点，求证ME—BD.
证：
如图，连接ME，并延长交BD于点F
•••AB—CD，且点M为AC的中点
•ME为RtAAEC斜边上的中线
•AM=ME
•乙A=AEM=乙BEF
又B=C,A+C=90
••BEF+B=90，即BFE=90
•ME—BD.
1
4、在OO中，弦AB_CD于点E,若ON_BD于N，求证：
ON=—AC.
2
证：
如图，作直径BF，连接DF,
贝UDF_BD，又ON_BD,
•••ON//FD，又OB=OF
1
•ON=-DF
2
连接AF，贝UAF_AB，又CD_AB
•AF//CD
•••AC=FD，贝UAC=FD
1
--ON=—AC
2
5、在OO中，弦AB_CD于点E,若AC=BD,ON_BD于N,OM_AC于M.
（1）
求证：
ME//ON;
（2）求证：
四边形OMEN为菱形.
证：
（1）如图，延长ME交OD于点F
•AM=EM,
.A=■AEM=BEF
又B=C,A+C=90
•B+BEF=90，则BFE=90
•MF_BD，又ON—BD
•MF//ON
（2）由
（1）知MF//ON，同理可证OM//NE,
•四边形OMEN是平行四边形
•/AC=BD,•OM=ON
•四边形OMEN为菱形.
一圆与内角平分线问题往往与线段和有关，实质是对角互补的基本图形
1、如图，OOABC的外接圆，弦CD平分.ACB，-ACB=90.
求证：
CA+CB=.2CD.
证：
如图，在CA的延长线上截取AE=BC,连
•/CD平分/ACB，•••AD=BD
•△CDE是等腰直角三角形，则CA+CB=CE=、、2CD.
2、如图，OOABC的外接圆，弦CD平分•ACB，-ACB=120，求一CD的值
解：
如图，在CA的延长线上截取AE=BC，
•/CD平分乙ACB，•AD=BD
又/DAE=乙DBC，AE=BC
•△DAE◎△DBC（SAS）
•CD=DE，又/ACD=60
•△CDE是等边三角形
“CA+CB
CD=CE=CA+BC，即-CD=1
3、如图，过0、M（1,1）的动圆O01交y轴、X轴于点解：
如图，过点M作ME_y轴，MF_X轴，连AM、
由M（1，1）知：
四边形OFME是正方形
.••OE=OF=4，EM=FM，又乙MBF=乙MAE，
•△AEM◎△BFM（AAS），贝UAE=BF
•OA+OB=AE+OE+OF—BF=8.
6、如图，A（4,0）,B（0,4）,OO1经过A、B、O三点,
PB—PA…
求—的值•
解：
如图，在BP上截取BC=AP
•••A（4,0）,B（0,4），则OA=OB=4又/OAP=ZOBC
•△OAPOBC（SAS）
点这P为OA上动点（异于0、A）
•••OC=OP，且NCOP=AOB=90:
则PBPOPA=PO=血.
切线与一个圆答案：
1、70;2、20;3、80;4、120;5、130;6、45
1、如图，AD切OO于A,BC为直径，若ZACB=20，则ECAD=.
2、如图，AP切OO于P,PB过圆心，B在OO上，若.ABP=35，则.APB=.
3、如图，PA、PB为OO的切线，C为ACB上一点，若.BCA=50，则.APB=
9、如图，O01和002外切于D,AB过点D，右—A02D=100,C为优弧BD上任一点,
则・DCB=答案：
7、140;&40;9、50（过点D作两圆的切线）
1、如图，在OO的内接△ACB中，乙ABC=30,AC的延长线与过点D的切线BD交于
点D，若OO的半径为1,BD//OC，贝UCD=.（CD=-—）
3
2、如图△ABC内接于OO,AB=BC,过点A的切线与OC的延长线交于D,■BAC=75,
CD=，贝UAD=.（AD=3）3、如图，OOBCD的外接圆，过点C的切线交BD的延长线于A,■ACB=75,
-ABC=45，则DB的值为.（CDi2）
4、如图，AB为OO的直径，弦DC交AB于E,过C作OO的切线交DB的延长线于M,
若AB=4,ADC=45,M=75，则CD=.（CD=2,3）
5、如图，等边△ABC内接于OO,BDBOO于B,AD—BD于D,AD交OO于E,OO
的半径为1,贝UAE=.（AE=1）
6、如图，△ABC中，/C=90,BC=5,OO与ABC的三边相切于D、E、F,若OO的
半径为2,则厶ABC的周长为.（C=30）
7、如图，△ABC中，/C=90,AC=12,BC=16,点O在AB上，OO与BC相切于D,
1、如图，AB为OO的直径，C为AE的中点，CD丄BE于D
（1）判断DC与OO的位置关系，并说明理由；
（2）若DC=3,0O的半径为5，求DE的长.
解：
（1）DC是OO的切线，理由如下：
如图，连接OC,BC，则NABC=ZCBD=ZOCB
•••OC//BD，又CD丄BE•••OC_CD，又OC为OO的半径
•DC是OO的切线
（2）如图，过O作OF_BD，则四边形OFDC是矩形，且BE=EF
•-OF=CD=3，DF=OC=5，
EF=BF=-52-324，•DE=DF—EF=1
2、如图，AB为OO的直径，D是BC的中点，DE—AC交AC的延长线于E，OO的切线BF交AD的延长线于点F.
（1）求证：
DE为OO的切线；
（2）若DE=3，OO的半径为5，求DF的长
（1）证：
显然，■CAD=■OAD=■ODA
•OD//AE，又DE_AC，
•OD_DE，又OD为OO半径
•DE为OO的切线
（2）解：
如图，过点O作OG_AC，贝UOGDE是矩形，即OG=DE=3，DE=OD=5
•AG=.52-32=4，贝yAE=5+4=9,•-9232=3.10
连接BD，贝UBD—AD，•BD=,102—（3.10）^：
：
10
设DF=X，则X2010）2=BF=（x310）2-102，•DF=X=—^0.
3、如图，四边形ABCD内接于OO,BD是OO的直径，AE_CD于E,DA平分.BDE.
（1）求证：
AE是OO的切线；
（2）
若AE=2,DE=1,求CD的长.
（1）证：
如图，连接0A，则.ADE=.ADO=.OAD
•••OA//CD,又AE_CD
•••OA_AE，又OA为OO的半径
•AE是OO的切线
（2）解：
如图，过点O作OF丄CD,贝UCD=2DF，且四边形OFEA是矩形
EF=OA=OD，OF=AE=2
设DF=X，贝UOD=EF=X1
222
•x2=（x1），•x=1.5
CD=2CF=2x=3
4、如图，AE是OO的直径，DFBOO于B，AD—DF于D，EF—DF于F.
（1）
求证：
EF+AD=AE;
（2）若EF=1，DF=4,求四边形ADFE的周长.
（1）证：
如图，连接CE,则四边形CDFE是矩形
连接OB交CE于点G,
•/DF是OO的切线
•OB_DF,OB_CE•BG=CD=EF,OG//AC，又AO=OE
•AC=2OG
•EF+AD=AC+CD+EF=2OG+2BG=2OB=AE.
（2）解：
显然CE=DF=4,CD=EF=1
设AC=x，贝UAD=x1,AE=x2
222
•x4=（x2），贝yX=3，贝yAC=3,AD=4,AE=5
•四边形CDFE的周长为14.
1、如图，已知点A是OO上一点，半径0C的延长线与过点A的直线交于点B,OC=BC,
1
AC=-OB.
2
（1）求证：
AB是O0的切线；
（2）若.ACD=45,0C=2,求弦CD的长.
（1）证：
TOC=0B,
1
•••AC为OAB的OB边上的中线，又AC=-OB
2
•
△OAB是直角三角形，且•OAB=90，又
•AB是OO的切线
（2）解：
显然，OA=OC=人。
，即厶OAC是等边三角形
•乙AOC=60，•/D=30
如图，过点A作AE_CD于点E,
••••ACD=45,•△AEC是等腰直角三角形，
•AE=CE=—2AC=—^OC―2,DE=■.3AE=,6
22
2、如图，PA、PB切OO于A、B,点M在PB上，且OM//AP,MN—AP于N.
（1）求证：
OM=AN;
（2）若OO的半径r=3,PA=9，求OM的长.
（1）证：
如图，连接OA,TPA为OO的切线，
•OA_AP，又MN_AP
•OA//MN，又OM//AP,
•四边形OANM是矩形，即OM=AN
（2）解：
如图，连接OB,tPB、PA为OO的切线
•OBM=MNP=90,PB=PA=9•/OM//AP,.・.・OMB=P,又OB=OA=MN,•△OBMMNP（AAS）
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