微积分第二版课后习题答案.docx

1、微积分第二版课后习题答案微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.1 1.（a）是 （b）否 （c）是 （d）否 2.（a）否 （b）否 （c）否 （d）是 （e）否 （f）否 （g）是 （h）否 （i）是 1,2,3,1,2,4,1,3,4, 3. f,1,2,3,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4, 2,3,4,1,2,3,4. 4. a?b 5. a?b 615. 略。 16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x如果x?c，则x蜗a, 如果x?c，则x?b，所以x?a a-(b-c)?(ab)惹(ac).

2、再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c). 若x?(ab)惹(ac)，则，x?ab或x吻ac. 如果x吻ac，有x?c，所以，x?bc，又x?a，于是x?a(b-c) 如果x锨ac，x?ab，则有x?a，x?c，x?b，所以，x?bc，于是 x?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c). 综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 1719. 略。 20. cda. 21. a?b(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v); 禳1镲 xx?r,睚 2镲铪 参考答案 禳禳11镲镲 ， ，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1

3、,-睚 镲镲44铪铪禳1镲 a=睚-1,-,0,1,2,7. 镲4铪 xx危r,1x 2x3，a?b=，a-b=xx?r,2x3. b-c b-c; (ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3); b2=(u,v),(u,v),(v,u),(v,v) 22. a=(x,y,z)x,y,z危?.0 3 2325. 略。 26. (a)f不是a到b的映射，因为a中元素4没有b中的元素对应； （b）f不是a到b的映射，因为a中的元素2有两个b内的元素a和e对应； (c)f是a到b的一个映射； （

4、d）f是a到b的映射。 27. f1:a?b:f(x) x1,0 y1,0 z 1 0,f(y)=0,f(z)=0 f2:a?b:f(x)0,f(y)=0,f(z)=1 f3:a?b:f(x)0,f(y)=1,f(z)=0 f4:a?b:f(x)0,f(y)=1,f(z)=1 f5:a?b:f(x)1,f(y)=0,f(z)=0 f6:a?b:f(x)1,f(y)=0,f(z)=1 f7:a?b:f(x)1,f(y)=1,f(z)=0 f8:a?b:f(x)1,f(y)=1,f(z)=1 共有8种映射 28. (a)此映射为满射，但非单射； （b）此映射双射，其逆映射为f -1 (y)=y-c

5、； (c)此映射为双射，其逆映射为f-1:b?a f-1(x)= （d）此映射为单射，但非满射，当然不是双射。 29. f:z?a， f(x)=2x ； f + -1 x ； 2 x. 2 :a?z+f-1(x)= ?,当偶数时.?2+ ?-n+1 ,当n为奇数时.?2 31.（a）m3n（b）mn （c）m=n 32.g?f(a)=b, g?f(b)=c,g?f(c)=c,g?f(d)=b. g?f(x)x. 33. g?f:a?c, 34. 证明：因为对x a，必有(x,y)未ab（因为b非空）使p1(x,y)=x，所以p1为满射.同理可证p2为满射。 p1为单射的充要条件是b只有一个元素

6、；p2为单射的充要条件是a只有一个元素。 习题0.2 xx01. .2. xx3 或 x-1. 3. x4kpx(4k+2)p,k ?. 4. xx2.5.严格单调减少. 6.严格单调增加. 7.单调减少. 8.严格单调增加.9.偶函数.10.奇函数.11.奇函数. 12.非奇非偶函数. 13.证明：若x11 x2，则有f(x1)= 11 ，f(x2)=，所以，f(x1)1x1x2 f(x2)，因此f是 一对一的. f(x)= 11-1 的反函数为f(y)=，所以，反函数为其自身。定义域为x,x10.yx 14. f -1 (x)=-x?(0, ). 15.证明：若x11x2，则f(x1)=

7、1-x11-x2 ，f(x2)=，反证，如果f(x1)=f(x2)?2x1 1+x21+x1 f(x2)，即f是一对一的. 2x2， 即x1=x2矛盾，所以，f(x1)1由y= 1-y1-x1-x-1 得x=，因此f的反函数为f(x)=，即为其自身，定义域为 1+y1+x1+x1.xx? 16. f -1 (x)=-x (0,1).17.略. 18.提示：按奇函（偶）数定义证明.19.证明：反证，假设f为严格单调增加的偶函数，则对x1x2，有f(x1)f(x2) 另一方面：-x1-x2，所以有f(x1)=f(-x1)f(-x2)=f(x2)，矛盾。 20.非周期函数. 21.略 22. 是。例

8、如，f(x)= 11 sin,g(x)=x，在(0,+ xx )皆无界，但f(x)g(x)=sin 1 在x (0,+ )有界. 23.证明：对m0，存在x0=上无界。 24. f(g(x)=2; 2x 1 x0)=m+1m使f( (0,1)， m+1 ，所以f(x)在(0,1) g(f(x)=2x. 2 骣111 =25. f(f(x)=1-， f(f(f(x). =)，x ff(x)xx桫 26. f(x)=arccosu,u=v,27. f(x)=logbu+e，u=u 2v 2 v=cosw,w=ex+lnx. 122 ，wt=1+x，v=s，s=tanx. w 28. f(x)=e,

9、u=-x+2v,v=sinx. 29. f(x)=cotu，u=e，v=wt,w=,t=lnx. v 1x 1. 数列的极限 习题1.1 1.不能，例如取an=(-1),a=0,e=2,3,4,5,6,?. 2.不能，例如取an=1+(-1),n=1,2,3,?,a=0. 3.能，因为对e0，必存在正整数k，使 nn 1 e. k 4.存在一个e00，对任何n0，总存在n0n，使an0-a e0. 5.提示：利用数列极限定义. 611. 略。 12.提示：按极限定义，可取e= a2 .13.提示：利用极限定义，可取e= a-b . 14.提示：按极限定义证明. 2 15.提示：利用极限定义.1

10、6.反之不一定成立. 17.当yn无界时，有以下各种情况： （1）xnyn极限仍为零，例如，xn= 1,n2 yn=n,n=1,2,3,?； 1 ,yn=n,n=1,2,3,?； n （2）xnyn极限存在，但非零，例如，xn=（3）xnyn极限不存在，例如：xn= 或 xn= 1 ,yn=n2,n=1,2,3,? n 1n 1+(-1)n,n=1,2,3,? ，yn=轾臌n 2k+1 18.提示：根据数列与子数列极限之间的关系证明. 11119.利用极限的定义. 20. (2k+1)(-1):1,?,?. 35 2k+1 21.利用极限的定义. 22.根据夹逼定理证明. 23.（1）1. （

11、2）1.（3）0.（4）9. （5）0. 24. （1）0. （2） 31 . （3）0.（4）4. （5）.（6）0. 2311a+b （7）. （8）.（9）-. （10）1. 522 n n+1 25.不一定，例如：xn=1+(-1),yn=1+(-1)26.不一定，例如xn=(-1),yn=(-1) n n+1 ,n=1,2,3,?. ,n=1,2,3,?. 27. xn+yn必发散。反证，因为若xn+yn收敛，则有yn=(xn+yn)-xn 与已知矛盾. 28.不一定，例如xn=1+(-1),yn=1+(-1) n n+1 yn收敛， ,n=1,2,3,?. an(-1)n =1，例

12、如：an=,n=1,2,3,?. 29.必有liman+1=a，但不能推出lim n?n?ann+1 30.当pq时，为￥；当p=q时，为 apbq ；当pq时，为0.【篇二：微积分2习题答案】p(x)?6x3 lim?3，则p(x)?21设p(x)是x的多项式，且lim，2x?0x?xx ?322 2limx?x?x)? 6x?2x?3x x?6 ?2? 3lim?1? e3 x?x? x3?ax?x?4 ?a，则有a? ，a?4，2 4设lim x?1x?1 2sinx 5设f(x)?xsin?，则limf(x)? 2 x?xx 1 x2?sin3x?sin x? 1 6lim x?033

13、x2 ?x 7函数y?的间断点是x?1 (x?1)(x?2) 1 8为使函数f?x?tanx在点x?0处连续，应补充定义f?0?x3 ?x?x?0在x?0处连续，则参数k? e?3 9设函数y?(1?x)?x?0?k ?x?ax?0 10函数f(x)?x在点x?0处连续，则a? 2 ?e?1x?0 二、单项选择题 1设xn?0，且limxn存在，则limxn n? n? x3 2 ?0?0 ?0?0 2极限lime x?1 1? ?1 不存在0 3lim(1?x) 1 ? x?0x?x ?1?1 e； e；e?1；e?1 ? 1x ?limxsin x?3 的连续区间是_ x?1x?2?,?2

14、?2,?1?1,? ?3,? ?,?2?2,? ?,?1?1,? x?x?1 5函数y?的不连续点有 ?x?1x?1 4y? 2个 3个 4个 4个以上 6下列函数中，.当x?0时，与无穷小量x相比是高阶无穷小量的是_；是等价无穷小量的是_ ， 2 1?cosx x?x xsin2x7当x?0时，sinx与|x|相比是 高阶无穷小量 低阶无穷小量 同阶但不等价的无穷小量 等价无穷小量 ? 8当x?0时，1?cos2x与x2相比是 高阶无穷小量同阶但不等价的无穷小量 低阶无穷小量 等价无穷小量 ?sin3x?,x?0 9设f?x? 为连续函数，则k =_ x ?kx?0? 1 3 0 3 10函

15、数f?x?在点x0处有定义是f?x?当x?x0时极限存在的 充分但非必要条件 必要但非充分条件 充分必要条件既非充分又非必要条件 11当x?0时，下列函数中比x高阶的无穷小量是 x?sinx x?sinxln1?x ln?1?x? 12当x?0时，下列函数中为无穷小量的是 x?sin 1111 x?sin?sinx ?sinx xxxx 13当x?时，下列函数中为无穷小量的是 1111 x?sin?sinx ?sinx xxxx 14设在某个极限过程中函数f?x?与g?x?均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷 x?sin 大量 f?x?g?x? f?x?g?x? f?x?g?x? x?x

16、0 x?x0 f?x?b，limf?x?c，则函数f?x?在点x0处连续的充分必要15设f?x0?a，lim? 条件是 a?ba?c b?c a?b?c f?x? gx?x2?1x1 ?1? 16x?1是f(x)?x?1e ?0? x?1的 x?1 连续点 跳跃间断点可去间断点无穷间断点 三、求下列极限 1lim(x?1?x)?lim x? 22 1x?1?x 2 x? ?0 2lim(x?1?x)? x? 3lim(x?2x?2? x? 2 x2?2x?2) 4x 2 ?lim x? x?2x?2?x?2x?2 2 ?lim 4 1? 2222 ?2?2xxxx x? ?2 4lim?arc

17、tanx?arcsin?0 ? x? ?1?x?7(x?1)2?(2x?1)2?(3x?1)2?(10x?1)2 5lim（?） x?2(10x?1)(11x?1) nnn ?2?2)6lim(2 n?n?1n?2n?n nnn ?2?2解 记xn?2 n?1n?2n?nnnnnnn ?2?2?xn?2?2?2因为 2 n?nn?nn?nnnnnn?xn?1，由于lim?1，所以由夹逼定理，得limxn?1 即 n?n?n?1n?1 n? 7设lim?2006，求?,? n?n?(n?1)? 解 原式左端?lim n? n? ? ? ?1?1?1?n1?1?o?n?1?1?n?n?n? n?1

18、 ?lim?（?1） n?1?n?1?o?n? ?n? 由于极限存在，故?1。 1200511?1?，?1? ?2006 ? 200620062006? 四、分析题 |sinx| 1讨论极限lim x?0x|sinx|sinx| ?1lim?1，故原极限不存在。 解 因为lim， x?0?x?0?xxx2?1 2求y?2的间断点，并判别间断点的类型。 x?3x?2 x2?1x2?12 ?2，lim2? 解 因为x?3x?2?(x?1)(x?2)，而lim2 x?1x?3x?2x?2x?3x?2 因此有间断点：x?1为可去间断点，x?2为无穷间断点。. 1 3求函数y?6x?的连续区间，若有间断

19、点，试指出间断点的类型。 x 解 函数的连续区间为(?,0)?(0,?)，点x?0为函数的第二类无穷间断点。 n? ?lim n? 4讨论函数f(x)?lim? ?x?1? ?t?xt?1? tx?t tx?t 的连续性。 t令y?x?t t?1x?t x x?yx?t?x?1? 解 f(x)?lim?lim?1?y?y(x?1)?ex?1 ?lim?1?t?xt?1t?xy?0t?1? 在点x?1处没有定义，是间断点，故f(x)的连续区间为(?,1)?(1,?)，点x?1为f(x)的第二类无穷间断点。?cosxx?0 在点x?0处的连续性。 ?x?1x?0f(x)?limcosx?1，lim

20、f(x)?lim(x?1)?1 解 ?lim? 5讨论函数f(x)? x?0 x?0 x?0 x?0 f(x)在点x?0处连续性。 ?a?a?x x?0?x6设函数y?f?x? （a?0） cosx?x?0?x?2 （1）当a取何值时，点x?0是函数f?x?的间断点？是何种间断点？ （2）当a取何值时，函数f?x?在?，?上连续？为什么？ 1cosx1 f(x)?lim?， 解（1）在点x?0处，f(0)?，lim? x?0x?02x?22 a?a?x11 lim f(x)?lim?lim? x?0?x?0?x?0xa?a?x2a f(x)?limf(x)，所以点x?0是f?x?的跳跃间当a?

21、0且a?1时，由于lim? x?0 x?0 断点。 f(x)?limf(x)?f(0)，则f?x?在点x?0处连续。 （2）当a?1时，由于lim? 又因为在(?,0)或(0,?)上，f?x?为初等函数，所以连续。 故当a?1时，函数f?x?在?，?上连续。 x?0 x?0 ?1 ?x?1x?0? 0?x?1 7设函数y?f?x?x ?a1?x?4? （1）求函数f?x?的定义域； （2）讨论函数f?x?在点x?0处的极限是否存在？为什么？ （3）a为何值时，函数f?x?在点x?1处连续？并求函数f?x?的连续区间； （4）画出函数y?f?x?的图形。 解（1）df?(?,?1)?(?1,4

22、1 f(x)?limx?0，所以limf(x)不存在 ?1，lim x?0x?0?x?0?x?0x?0x?1 f(x)?limx?1，limf(x)?lima?a， （3）在点x?1处，f(1)?a，lim?f(x)?lim （2）因为lim? f(x)?limf(x)?f(1)，所以，当a?1时，lim即函数f?x?在点x?1处连续。 ? 此时，f?x?的连续区间为：(?,?1)?(?1,4 （4）略 五、证明题 1证明方程x?7x?4在区间(1,2)内至少有一个实根。 5 证 设f(x)?x?7x?4，f(x)在1,2上连续， 5 x?1 x?1x?1 x?1 x?1 x?1 又f(1)?

23、10?0，f(2)?14?0，由零点定理知，在(1,2)内至少存在一点?，使得f(?)?0，即?5?7?4?0，故方程x?7x?4在区间(1,2)内至少有一 个实根。 2证明：方程x?2sinx?k（k?0）至少有一个正根。 证 设f(x)?x?2sinx?k?c0,?) 因为f(0)?k?0，f(k?3)?3?2sin(k?3)?0 故由零点定理知，?(0,k?3)，使得f(?)?0，所以方程x?2sinx?k至少有一正根。 3证明方程x?asinx?2（a?0）至少有一个正根，并且不超过a?2。 证设f(x)?x?asinx?2，下面分两种情形来讨论： 情形1 若 sin(a?2)?1，则

24、因为a?0，故a?2是方程x?asinx?2（a?0）的正根，并且不超过a?2。 情形2 若sin(a?2)?1，则因a?0，故f(a?2)?a1?sin(a?2)?0， 5 f(0)?2?0，又因f(x)在0,a?2上连续，故由零点定理知， ?(0,a?2)，使得f(?)?0，因此?是方程x?asinx?2（a?0）的正根，并且不超过a?2。 4设n为正整数，函数f(x)在0,n上连续，且f(0)?f(n)，证明存在数a,a?1?0,n，使得f(a)?f(a?1)。 证 若n?1，即f(0)?f(1)，取a?0，a?1?1?0,1，结论成立。f(x)在0,n?1上连续，因为 f(0)?f(1

25、)?f(n?1) ?f(1)?f(0)?f(2)?f(1)?f(3)?f(2)?f(n)?f(n?1) ?f(n)?f(0)?0 则n个实数f(0),f(1),?,f(n?1)全部为零或同时有正数与负数， （1）若这些数全部为零，即f(0)?f(1)?f(n?1)?0，则结论成立。 （2）若这些数中有正数与负数，即有某个f(i)?0,f(j)?0,(i?j,0?i,j?n?1)于是由零点定理可知，在i与j之间存在一点a（显然a,a?1?0,n），使得 f(a)?0，即 f(a)?f(a?1) #【篇三：微积分上册部分课后习题答案】txt习题五 （a）1求函数 f x ，使 f x x 23 x

26、 ，且 f 1 0 .解： f x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x c 3 2 1 5 23 f 1 0 6 c 0 c 3 2 6 1 5 23 f x x3 x 2 6 x 3 2 6 12一曲线 y f x 过点（0，2），且其上任意点的斜率为 x 3e x ，求 f x . 2 1解： f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x c 4 f 0 2 3 c 2 c 1 1 2 f x x 3e x 1 4 23已知 f x 的一个原函数为 e x ，求 f xdx . 2 2解： f x e x 2 xe x f xdx 2 f x c 2 xe x

27、 c dx4一质点作直线运动，如果已知其速度为 3t 2 sin t ，初始位移为 s0 2 ，求 s 和 t 的函 dt数关系.解： s t 3t 2 sin t s t t 3 cos t cs 0 2 1 c 2 c 1 s t t 3 cos t 15设 ln f x 1 ，求 f x . 1 x2解： ln f x 1 ln f x arctan x c1 1 x2 f x earctan x c1 cearctan x c gt 0 1 16求函数 f x ，使 f x e 2 x 5 且 f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解： f x e x 5 f x ln x 1

28、 arcsin x e 2 x 5 x c 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0 0 0 0c 0 c 2 2 1 2x 1 f x ln x 1 arcsin x e 5x 2 27求下列函数的不定积分 x x2 dt（1） dx （2） x a t 1 x2 1 x m n（3） x dx （4） dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x（5） x 2 1 dx （6） sin x cos x dx 1 cos 2 x cos 2 x （7） dx （8） dx sin x cos x 1 cos 2 x sin （10） cos 2 sin 2 x dx cos 2 x x（9） 2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1 sin e e （13） 8x dx （14） 10 x dx e x x e-x （15） x dx （16） e x 2 x 1 3x dx 1 x 1 x