微积分第二版课后习题答案.docx
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微积分第二版课后习题答案
微积分第二版课后习题答案
【篇一：
微积分（上册）习题参考答案】
0.1
1.（a）是（b）否（c）是（d）否
2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是
1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{
{2,3,4},{1,2,3,4}.
4.a?
b
5.a?
b
6~15.略。
16.证明：
先证a-（b-c）?
（ab）惹（ac）.若x?
a（b-c），则x蜗a,x①如果x?
c，则x蜗a,
②如果x?
c，则x?
b，所以x?
a
a-（b-c）?
（ab）惹（ac）.
再证a-（b-c）惹（ac）?
a（b-c）.
若x￠?
（ab）惹（ac），则，x￠?
ab或x￠吻ac.
①如果x￠吻ac，有x￠?
c，所以，x￠?
bc，又x￠?
a，于是x￠?
a（b-c）②如果x￠锨ac，x￠?
ab，则有x￠?
a，x￠?
c，x￠?
b，所以，x￠?
bc，于是
x￠?
a（b-c）.因此有（a-b）惹（ac）?
a（b-c）.
综上所述，a-（b-c）=（a-b）惹（ac），证毕.17~19.略。
20.cda.
21.a?
b{（1,u）,（1,v）,（2,u）,（2,v）,（3,u）,（3,v）};
禳1镲
xx?
r,睚
2镲铪
参考答案
禳禳11镲镲
，，a?
d-1,-,0,1,2,3,?
a-c=睚0,-1,-睚
镲镲44铪铪禳1镲
a=睚-1,-,0,1,2,7.
镲4铪
xx危r,1x2}x3，a?
b={，a-b={xx?
r,2x3}.
b-c
b-c;
（ac），因此有b，也有x?
（ab）惹
a2={（1,1）,（1,2）,（1,3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,1）,（3,2）,（3,3）};b2={（u,v）,（u,v）,（v,u）,（v,v）}
22.a={（x,y,z）}x,y,z危?
.0
3
23~25.略。
26.（a）f不是a到b的映射，因为a中元素4没有b中的元素对应；
（b）f不是a到b的映射，因为a中的元素2有两个b内的元素a和e对应；
（c）f是a到b的一个映射；
（d）f是a到b的映射。
27.f1:
a?
b:
f（x）
x＃1,0
y＃1,0
z1}
0,f（y）=0,f（z）=0
f2:
a?
b:
f（x）0,f（y）=0,f（z）=1f3:
a?
b:
f（x）0,f（y）=1,f（z）=0f4:
a?
b:
f（x）0,f（y）=1,f（z）=1f5:
a?
b:
f（x）1,f（y）=0,f（z）=0f6:
a?
b:
f（x）1,f（y）=0,f（z）=1f7:
a?
b:
f（x）1,f（y）=1,f（z）=0f8:
a?
b:
f（x）1,f（y）=1,f（z）=1
共有8种映射
28.（a）此映射为满射，但非单射；（b）此映射双射，其逆映射为f
-1
（y）=y-c；
（c）此映射为双射，其逆映射为f-1:
b?
af-1（x）=
（d）此映射为单射，但非满射，当然不是双射。
29.f:
z?
a，f（x）=2x；f
+
-1
x
；2
x.2
:
a?
z+f-1（x）=
?
当偶数时.?
2+
?
-n+1
当n为奇数时.?
?
2
31.（a）m3n（b）m￡n（c）m=n32.g?
f（a）=b,
g?
f（b）=c,g?
f（c）=c,g?
f（d）=b.g?
f（x）x.
33.g?
f:
a?
c,
34.证明：
因为对xa，必有（x,y）未ab（因为b非空）使p1（x,y）=x，所以p1为满射.同理可证p2为满射。
p1为单射的充要条件是b只有一个元素；p2为单射的充要条件是a只有一个元素。
习题0.2
xx0}1.{.2.xx3或x-1.3.x4kpx（4k+2）p,k?
.
4.xx2.5.严格单调减少.6.严格单调增加.7.单调减少.8.严格单调增加.9.偶函数.10.奇函数.11.奇函数.12.非奇非偶函数.13.证明：
若x11
{}{}
{}
x2，则有f（x1）=
11
，f（x2）=，所以，f（x1）1x1x2
f（x2），因此f是
一对一的.f（x）=
11-1
的反函数为f（y）=，所以，反函数为其自身。
定义域为{x,x10}.
yx
14.f
-1
（x）=-x?
（0,）.
15.证明：
若x11x2，则f（x1）=
1-x11-x2
，f（x2）=，反证，如果f（x1）=f（x2）?
2x1
1+x21+x1
f（x2），即f是一对一的.
2x2，
即x1=x2矛盾，所以，f（x1）1由y=
1-y1-x1-x-1
得x=，因此f的反函数为f（x）=，即为其自身，定义域为
1+y1+x1+x1}.
{xx?
16.f
-1
（x）=-x（0,1）.17.略.18.提示：
按奇函（偶）数定义证明.
19.证明：
反证，假设f为严格单调增加的偶函数，则对x1x2，有f（x1）f（x2）另一方面：
-x1-x2，所以有f（x1）=f（-x1）f（-x2）=f（x2），矛盾。
20.非周期函数.21.略22.是。
例如，f（x）=
11
sin,g（x）=x，在（0,+xx
）皆无界，但f（x）g（x）=sin
1
在x
（0,+）有界.
23.证明：
对m0，存在x0=上无界。
24.f（g（x））=2;
2x
1
x0）=m+1m使f（（0,1），
m+1
，所以f（x）在（0,1）
g（f（x））=2x.
2
骣111
=25.f（f（x））=1-，f（f（f（x））.=），xff（x）xx桫
26.f（x）=arccosu,u=v,27.f（x）=logbu+e，u=
u
2v
2
v=cosw,w=ex+lnx.
122
，wt=1+x，v=s，s=tanx.w
28.f（x）=e,u=-x+2v,v=sinx.
29.f（x）=cotu，u=e，v=wt,w=,t=lnx.
v
1x
1.数列的极限
习题1.1
1.不能，例如取an=（-1）,a=0,e=2,3,4,5,6,?
.2.不能，例如取an=1+（-1）,n=1,2,3,?
a=0.3.能，因为对e0，必存在正整数k，使
nn
1
e.k
4.存在一个e00，对任何n0，总存在n0n，使an0-ae0.5.提示：
利用数列极限定义.
6~11.略。
12.提示：
按极限定义，可取e=
a2
.
13.提示：
利用极限定义，可取e=
a-b
.14.提示：
按极限定义证明.2
15.提示：
利用极限定义.16.反之不一定成立.17.当{yn}无界时，有以下各种情况：
（1）{xnyn}极限仍为零，例如，xn=
1,n2
yn=n,n=1,2,3,?
；1
yn=n,n=1,2,3,?
；n
（2）{xnyn}极限存在，但非零，例如，xn=（3）{xnyn}极限不存在，例如：
xn=
或xn=
1
yn=n2,n=1,2,3,?
n
1n
1+（-1）n,n=1,2,3,?
，yn=轾臌n
2k+1
18.提示：
根据数列与子数列极限之间的关系证明.
11119.利用极限的定义.20.{（2k+1）（-1）}:
1,,,?
,?
.
35
2k+1
21.利用极限的定义.22.根据夹逼定理证明.
23.
（1）1.
（2）1.（3）0.（4）9.（5）0.24.
（1）0.
（2）
31
.（3）0.（4）4.（5）.（6）0.2311a+b
（7）.（8）.（9）-.（10）1.
522
n
n+1
25.不一定，例如：
xn=1+（-1）,yn=1+（-1）26.不一定，例如xn=（-1）,yn=（-1）
n
n+1
n=1,2,3,?
.
n=1,2,3,?
.
27.{xn+yn}必发散。
反证，因为若{xn+yn}收敛，则有yn=（xn+yn）-xn与已知矛盾.
28.不一定，例如xn=1+（-1）,yn=1+（-1）
n
n+1
{yn}收敛，
n=1,2,3,?
.
an（-1）n
=1，例如：
an=,n=1,2,3,?
.29.必有liman+1=a，但不能推出lim
n?
n?
ann+1
30.当pq时，为￥；当p=q时，为
apbq
；当pq时，为0.
【篇二：
微积分2习题答案】
p（x）?
6x3
lim?
3，则p（x）?
?
21．设p（x）是x的多项式，且lim，2x?
0x?
?
xx
?
322
2．limx?
x?
x））?
6x?
2x?
3x↑
x?
?
?
6
?
?
2?
3．lim?
1?
?
?
e3
x?
?
x?
?
x3?
ax?
x?
4
?
a，则有a?
，a?
4，－24．设lim
x?
1x?
1
2sinx
5．设f（x）?
xsin?
，则limf（x）?
2
x?
?
xx
1
x2?
sin3x?
sin
x?
16．lim
x?
033x2
?
x
7．函数y?
的间断点是x?
1
（x?
1）（x?
2）
1
8．为使函数f?
x?
?
?
tanx在点x?
0处连续，应补充定义f?
0?
?
x3
?
x?
x?
0在x?
0处连续，则参数k?
e?
39．设函数y?
?
（1?
x）?
x?
0?
k
?
x?
ax?
0
10．函数f（x）?
?
x在点x?
0处连续，则a?
2
?
e?
1x?
0
二、单项选择题
1．设xn?
0，且limxn存在，则limxn②
n?
?
n?
?
x3
2
①?
0②?
0③?
0④?
02．极限lime
x?
1
1?
③
①?
②1③不存在④03．lim（1?
x）
1
?
④
x?
0x?
?
x
?
1?
1
①e；②e；③e?
1；④e?
1
?
1x
?
limxsin
x?
3
的连续区间是__________________②
x?
1x?
2①?
?
?
?
2?
?
?
?
2,?
1?
?
?
?
1,?
?
?
②?
3,?
?
?
③?
?
?
?
2?
?
?
?
2,?
?
?
④?
?
?
?
1?
?
?
?
1,?
?
?
x?
x?
1
5．函数y?
的不连续点有③
?
x?
1x?
1
4．y?
①2个②3个③4个④4个以上
6．下列函数中，.当x?
0时，与无穷小量x相比是高阶无穷小量的是___________；是等价无穷小量的是__________________①，②
2
①1?
cosx②x?
x③
x④sin2x
7．当x?
0时，sinx与|x|相比是②
①高阶无穷小量②低阶无穷小量③同阶但不等价的无穷小量④等价无穷小量
?
8．当x?
0时，1?
cos2x与x2相比是②①高阶无穷小量②同阶但不等价的无穷小量
③低阶无穷小量④等价无穷小量
?
sin3x?
?
x?
0
9．设f?
x?
?
?
为连续函数，则k=_______________②x
?
kx?
0?
①1②－3③0④3
10．函数f?
x?
在点x0处有定义是f?
x?
当x?
x0时极限存在的④①充分但非必要条件②必要但非充分条件
③充分必要条件④既非充分又非必要条件
11．当x?
0时，下列函数中比x高阶的无穷小量是②
①x?
sinx②x?
sinx③ln1?
x④ln?
1?
x?
12．当x?
0时，下列函数中为无穷小量的是②①x?
sin
1111
②x?
sin③?
sinx④?
sinxxxxx
13．当x?
?
时，下列函数中为无穷小量的是③
1111
②x?
sin③?
sinx④?
sinxxxxx
14．设在某个极限过程中函数f?
x?
与g?
x?
均是无穷大量，则下列函数中哪一个也必是无穷
①x?
sin
大量③①f?
x?
?
g?
x?
②f?
x?
?
g?
x?
③f?
x?
?
g?
x?
④
x?
x0
x?
x0
f?
x?
?
b，limf?
x?
?
c，则函数f?
x?
在点x0处连续的充分必要15．设f?
x0?
?
a，lim?
?
条件是④
①a?
b②a?
c③b?
c④a?
b?
c
f?
x?
gx?
x2?
1x1
?
1?
16．x?
1是f（x）?
?
x?
1e
?
0?
x?
1的④x?
1
①连续点②跳跃间断点③可去间断点④无穷间断点
三、求下列极限
1．lim（x?
1?
x）?
lim
x?
?
?
22
1x?
1?
x
2
x?
?
?
?
0
2．lim（x?
1?
x）?
?
?
x?
?
?
3．lim（x?
2x?
2?
x?
?
?
2
x2?
2x?
2）
4x
2
?
lim
x?
?
?
x?
2x?
2?
x?
2x?
2
2
?
lim
4
1?
2222
?
2?
?
?
2xxxx
x?
?
?
?
2
4．lim?
arctanx?
arcsin?
?
0
?
x?
?
?
1?
x?
7（x?
1）2?
（2x?
1）2?
（3x?
1）2?
?
?
（10x?
1）2
5．lim（?
）
x?
?
2（10x?
1）（11x?
1）
nnn
?
2?
?
?
2）6．lim（2
n?
?
n?
1n?
2n?
n
nnn
?
2?
?
?
2[解]记xn?
2n?
1n?
2n?
nnnnnnn
?
2?
?
?
2?
xn?
2?
2?
?
?
2因为2
n?
nn?
nn?
nnnnnn?
xn?
1，由于lim?
1，所以由夹逼定理，得limxn?
1即
n?
?
n?
?
n?
1n?
1
n?
7．设lim?
?
2006，求?
?
n?
?
n?
（n?
1）?
[解]原式左端?
lim
n?
?
n?
?
?
?
?
1?
?
1?
1?
?
?
?
n1?
1?
?
?
o?
?
?
n?
1?
?
1?
?
?
?
n?
n?
?
?
?
?
?
n?
?
?
n?
1
?
lim?
（?
?
?
?
1）
n?
?
?
?
1?
?
?
n?
?
1?
?
?
o?
?
?
n?
?
n?
?
?
由于极限存在，故?
?
?
?
1。
1200511?
1?
?
，?
?
?
?
1?
?
?
2006?
?
?
200620062006?
四、分析题
|sinx|
1．讨论极限lim
x?
0x|sinx||sinx|
?
1lim?
?
1，故原极限不存在。
[解]因为lim，
x?
0?
x?
0?
xxx2?
1
2．求y?
2的间断点，并判别间断点的类型。
x?
3x?
2
x2?
1x2?
12
?
?
2，lim2?
?
[解]因为x?
3x?
2?
（x?
1）（x?
2），而lim2
x?
1x?
3x?
2x?
2x?
3x?
2
因此有间断点：
x?
1为可去间断点，x?
2为无穷间断点。
.
1
3．求函数y?
6x?
的连续区间，若有间断点，试指出间断点的类型。
x
[解]函数的连续区间为（?
?
0）?
（0,?
?
），点x?
0为函数的第二类无穷间断点。
n?
?
?
lim
n?
4．讨论函数f（x）?
lim?
?
x?
1?
?
t?
xt?
1?
?
tx?
t
tx?
t
的连续性。
t令y?
x?
t
t?
1x?
t
x
x?
yx?
t?
?
x?
1?
?
[解]f（x）?
lim?
lim?
1?
y?
y（x?
1）?
ex?
1?
?
lim?
1?
?
?
t?
xt?
1t?
xy?
0t?
1?
?
?
?
在点x?
1处没有定义，是间断点，故f（x）的连续区间为（?
?
1）?
（1,?
?
），点x?
1为f（x）的第二类无穷间断点。
?
cosxx?
0
在点x?
0处的连续性。
?
x?
1x?
0f（x）?
limcosx?
1，limf（x）?
lim（x?
1）?
1[解]?
lim?
?
?
?
5．讨论函数f（x）?
?
x?
0
x?
0
x?
0
x?
0
∴f（x）在点x?
0处连续性。
?
a?
a?
x
x?
0?
?
x6．设函数y?
f?
x?
?
?
（a?
0）
cosx?
x?
0?
?
x?
2
（1）当a取何值时，点x?
0是函数f?
x?
的间断点？
是何种间断点？
（2）当a取何值时，函数f?
x?
在?
?
?
，?
?
?
上连续？
为什么？
1cosx1
f（x）?
lim?
，[解]
（1）在点x?
0处，f（0）?
，lim?
?
x?
0x?
02x?
22
a?
a?
x11
limf（x）?
lim?
lim?
?
x?
0?
x?
0?
x?
0xa?
a?
x2a
f（x）?
limf（x），所以点x?
0是f?
x?
的跳跃间当a?
0且a?
1时，由于lim?
?
x?
0
x?
0
断点。
f（x）?
limf（x）?
f（0），则f?
x?
在点x?
0处连续。
（2）当a?
1时，由于lim?
?
又因为在（?
?
0）或（0,?
?
）上，f?
x?
为初等函数，所以连续。
故当a?
1时，函数f?
x?
在?
?
?
，?
?
?
上连续。
x?
0
x?
0
?
1
?
x?
1x?
0?
?
0?
x?
17．设函数y?
f?
x?
?
?
x
?
?
a1?
x?
4?
?
（1）求函数f?
x?
的定义域；
（2）讨论函数f?
x?
在点x?
0处的极限是否存在？
为什么？
（3）a为何值时，函数f?
x?
在点x?
1处连续？
并求函数f?
x?
的连续区间；
（4）画出函数y?
f?
x?
的图形。
[解]
（1）df?
（?
?
?
1）?
（?
1,4]
1
f（x）?
limx?
0，所以limf（x）不存在?
1，lim
x?
0x?
0?
x?
0?
x?
0x?
0x?
1
f（x）?
limx?
1，limf（x）?
lima?
a，（3）在点x?
1处，f
（1）?
a，lim?
?
?
?
f（x）?
lim
（2）因为lim?
?
f（x）?
limf（x）?
f
（1），所以，当a?
1时，lim即函数f?
x?
在点x?
1处连续。
?
?
此时，f?
x?
的连续区间为：
（?
?
?
1）?
（?
1,4]
（4）略五、证明题
1．证明方程x?
7x?
4在区间（1,2）内至少有一个实根。
5
[证]设f（x）?
x?
7x?
4，f（x）在[1,2]上连续，
5
x?
1
x?
1x?
1
x?
1
x?
1
x?
1
又f
（1）?
?
10?
0，f
（2）?
14?
0，由零点定理知，在（1,2）内至少存在一点?
，
使得f（?
）?
0，即?
5?
7?
?
4?
0，故方程x?
7x?
4在区间（1,2）内至少有一
个实根。
2．证明：
方程x?
2sinx?
k（k?
0）至少有一个正根。
[证]设f（x）?
x?
2sinx?
k?
c[0,?
?
）
因为f（0）?
?
k?
0，f（k?
3）?
3?
2sin（k?
3）?
0
故由零点定理知，?
?
?
（0,k?
3），使得f（?
）?
0，所以方程x?
2sinx?
k至少有一正根。
3．证明方程x?
asinx?
2（a?
0）至少有一个正根，并且不超过a?
2。
[证]设f（x）?
x?
asinx?
2，下面分两种情形来讨论：
情形1若sin（a?
2）?
1，则因为a?
0，故a?
2是方程x?
asinx?
2（a?
0）的正根，并且不超过a?
2。
情形2若sin（a?
2）?
1，则因a?
0，故f（a?
2）?
a[1?
sin（a?
2）]?
0，
5
f（0）?
?
2?
0，又因f（x）在[0,a?
2]上连续，故由零点定理知，
?
?
?
（0,a?
2），使得f（?
）?
0，因此?
是方程x?
asinx?
2（a?
0）的正根，并且不超过a?
2。
4．设n为正整数，函数f（x）在[0,n]上连续，且f（0）?
f（n），证明存在数a,a?
1?
[0,n]，使得f（a）?
f（a?
1）。
[证]若n?
1，即f（0）?
f
（1），取a?
0，a?
1?
1?
[0,1]，结论成立。
f（x）在[0,n?
1]上连续，因为
f（0）?
f
（1）?
?
?
f（n?
1）
?
[f
（1）?
f（0）]?
[f
（2）?
f
（1）]?
[f（3）?
f
（2）]?
?
?
[f（n）?
f（n?
1）]
?
f（n）?
f（0）?
0
则n个实数f（0）,f
（1）,?
f（n?
1）全部为零或同时有正数与负数，
（1）若这些数全部为零，即f（0）?
f
（1）?
?
?
f（n?
1）?
0，则结论成立。
（2）若这些数中有正数与负数，即有某个f（i）?
0,f（j）?
0,（i?
j,0?
i,j?
n?
1）于是由零点定理可知，在i与j之间存在一点a（显然a,a?
1?
[0,n]），使得
f（a）?
0，即f（a）?
f（a?
1）###
【篇三：
《微积分》上册部分课后习题答案】
txt>习题五（a）1．求函数fx，使f′xx23x，且f10.解：
f′xx25x615fxx3x26xc321523f106c0c3261523fxx3x26x32612．一曲线yfx过点（0，2），且其上任意点的斜率为x3ex，求fx.21解：
fxx3ex212fxx3exc4f023c2c112fxx3ex14∫23．已知fx的一个原函数为ex，求f′xdx.22解：
fxex′2xex∫f′xdx2fxc2xexcdx4．一质点作直线运动，如果已知其速度为3t2sint，初始位移为s02，求s和t的函dt数关系.解：
st3t2sintstt3costcs021c2c1stt3cost
15．设lnfx′1，求fx.1x2解：
lnfx′1lnfxarctanxc11x2fxearctanxc1cearctanxcgt0116．求函数fx，使f′xe2x5且f00.1x1x2111解：
fxex5fxlnx1arcsinxe2x5xc1x1x2211f0000c0c2212x1fxlnx1arcsinxe5x227．求下列函数的不定积分xx2∫∫dt
（1）dx
（2）xat1x21∫∫xmn（3）xdx（4）dx21x411sin2x（5）∫x21dx（6）∫sinxcosxdx1cos2x∫∫cos2x
（7）dx（8）dxsinxcosx1cos2x∫sin（10）cos2sin2xdx∫cos2xx（9）22dxxcosx2cos2x12x1∫sin∫ee
（13）∫8xdx（14）∫10xdxexxe-x（15）∫xdx∫（16）ex2x13xdx1x1x
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