13标量场的梯度.docx

1、13标量场的梯度l = iJU1. 3标量场的梯度一、方向导数1 方向导数的定义方向导数表征标量场空间中，某点处场值 沿特定方向变化的规律。dudl方向导数的物理意义穿I%是标量场“（M）在点处沿肪向对距离的变化率1） 罟1%0，标量场在点M。沿了方向是增加的；2） 罟ImO,标量场在点陆沿丁方向是减小的；3） 瓠。=0,标量场“在点M。沿了方向无变化。方向导数与选取的考察方向有关。一 lim （M） 况（M） 牡=起&2.方向导数的计算公式设一个标量函数u (x, y, z),若函数u在点P可微，贝!| u在点P沿任意方向1的方向导数为dudldu dx Fdx dldu dy dy dld

2、u dz dz dl设了方向的方向余弦是coscos/?,COS/,即dudl则方向导数的计算公式为du du ducos a + cos p + cos y dx dy dz二、标量场的梯度标量场在什么方向上变化率最大？其最大的变 化率是多少？ n梯度标量场U沿指定方向的变化率就是标量场在该方 向的方向导数du .du 一 du 一 du 一 一 一 =( Cx H H Cz) (COS OCCx + COS DCy COS VCz) dl dx dy dz 哈密顿算符l=.矢量一服从矢量运算的规则；算子一代表一种微分运算，服从微分运算规则;1)本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量函数时

3、 才代委一种运算。5 V-A VxA2)只对它后边的量起运算作用。不能随便交换的位置。du du _ du _ du _ _ 十 _ =( Cx H y H Cz) (COS OCCx + COS pCy + COS 卩0乙) dl dx dy dzz d d 0 _、 V =(ex +ex + ej dx x dy y dz zzdx dy dz f dlt dll dll V It C x H C y F CVw = graduQu -=gradu ei =1 gradu II ei I cos 9 dl语 1=1 du)=1 gradu I cos 0 dl梯度的定义：在空间某点的任意方

4、向上，方向导数有无穷多个， 其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。max式中：爲是场量U变化率最大的方向上的单位矢量。梯度的性质*标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数*标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率*标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场增加最快的方向=1*标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于 梯度在该方向投影直角坐标系中柱坐标系中gradu = Vu = ex球坐标系中等温线分布du - du 一 du H y F z dx dy dz7 du - 1 du - dugradu = u = ep 一 + e(p + 冬一dp p d(p dz了 du - 1 du -

5、 1 dugradu yU Cr h co f c(p dr r dO rsinO d(p2.梯度的基本运算公式1)VC = O (C为常数)2)V(Cw)二 CVw3)V(wv) = Vw Vv4)V (wv) = wVv + vVw5)VF(w) =6)V(-) = 4(vVw-wVv)v v2 dF dF7)VF(,v) =Vw + Vvdu dv式中：c为常数；况，卩为坐标变量函数；3.梯度的重要性质VxVw 三0高度场的梯度与过该点的 等高线垂直；数值等于该点位移的最大变 化率；指向地势升高的方向。例2电位场的梯度图2 电位场的梯度电位场的梯度与过该点的 等位线垂直;数值等于该点的最大方向导数;指向电位增加的方向。产生场的场源所在的空间位置点称为源点，记为（H,y或卩场所在的空间位置点称为场点, 记为（x, y,刃或7源点到场点的距离为R=r-r从源点指向场点的矢量为例3 求K K表示对（兀,y,z）运算,表示对（0,z）运算。dR 一莎+5dR _ dR一 + e7 一dy z dzdRx-xrdR y-yfdR _ z zdx一 RdyRdz RNR卫PR =RRR1RV=RF I3R2*飞一r I3号心“）吩务吩务鲁V/W = /WV = V = -|