13标量场的梯度.docx
《13标量场的梯度.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《13标量场的梯度.docx（11页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
13标量场的梯度
l=i
JU
1.3标量场的梯度
一、方向导数
1•方向导数的定义
方向导数表征标量场空间中，某点处场值沿特定方向变化的规律。
du
~dl
方向导数的物理意义
穿I%是标量场“（M）在点处沿肪向对距离的变化率
1）罟1%>0，标量场"在点M。
沿了方向是增加的；
2）罟Im'O,标量场"在点陆沿丁方向是减小的；
3）瓠。
=0,标量场“在点M。
沿了方向无变化。
方向导数与选取的考察方向有关。
一lim"（M）—况（M°）牡=起—&—
2.方向导数的计算公式
设一个标量函数u（x,y,z）,若函数u在点P可微，贝!
|u在点P沿任意方向1的方向导数为
du
~dl
dudx
F
dxdl
dudydydl
dudzdzdl
设了方向的方向余弦是coscos/?
COS/,即
du
~dl
则方向导数的计算公式为
dududu
——cosa+——cosp+——cosydxdydz
二、标量场的梯度
标量场在什么方向上变化率最大？
其最大的变化率是多少？
n梯度
标量场U沿指定方向的变化率就是标量场在该方向的方向导数
du.du一du一du一一一
=（CxHHCz）•（COSOCCx+COSDCyCOSVCz）dldxdydz'
哈密顿算符
l=.
'矢量一服从矢量运算的规则；
算子一代表一种微分运算，服从微分运算规则;
1）▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量函数时才代委一种运算。
5V-AVxA
2）只对它后边的量起运算作用。
不能随便交换▽的位置。
dudu_du_du__十_
=（CxH€yHCz）•（COSOCCx+COSpCy+COS卩0乙）dldxdy'dz
—zdd0_、V=（——ex+——ex+——ejdxxdyydzz
z
dxdydz
「fdlt〜dll〜dllVIt—CxHCyFC
Vw=gradu
Qu->
——=gradu・ei=1graduIIeiIcos9dl
语1=1du
）—=1graduIcos0dl
梯度的定义：
在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。
max
式中：
爲是场量U变化率最大的方向上的单位矢量。
梯度的性质
*标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数
*标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率
*标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场
增加最快的方向
=1
*标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于梯度在该方向投影
直角坐标系中
柱坐标系中
gradu=Vu=ex
球坐标系中
等温线分布
du-du一du
H€yF€z
dxdydz
7「du-1du-du
gradu=\u=ep一+e（p+冬一
dppd（pdz
了「du-1du-1du
gradu—yU—Crhcofc（p
drrdOrsinOd（p
2.梯度的基本运算公式
1）VC=O（C为常数）
2）V（Cw）二CVw
3）V（w±v）=Vw±Vv
4）V（wv）=wVv+vVw
5）VF（w）=
6）V（-）=4（vVw-wVv）
vv2dFdF
7）VF（^,v）=——Vw+——Vv
dudv
式中：
c为常数；况，卩为坐标变量函数；
3.梯度的重要性质
VxVw三0
高度场的梯度与过该点的等高线垂直；
数值等于该点位移的最大变化率；
指向地势升高的方向。
例2电位场的梯度
图2电位场的梯度
电位场的梯度与过该点的等位线垂直;
数值等于该点的最大方向导数;
指向电位增加的方向。
产生场的场源所在的空间位置
点称为源点，记为（H,y⑺或卩
场所在的空间位置点称为场点,记为（x,y,刃或7
源点到场点的距离为R=\r-r
从源点指向场点的矢量为
例3求
KK
▽表示对（兀,y,z）运算,▽'表示对（0』',z'）运算。
dR一
莎+5
dR_dR
一+e7一
dyzdz
dR
x-xr
dR
y-yf
dR_z~z
dx
一R
dy
R
dz~R
NR卫
PR=
—►
R
R
R
1
R
V—=
R
FI3
R2
*飞一
rI3
号心“）吩务吩务鲁
V/W=/WV^=
升级会员 