高中数学第三章函数的应用32函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修.docx

1、高中数学第三章函数的应用32函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修2019-2020年高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修复习指导考点一：几类不同增长的函数模型1三种函数模型的性质 函数性质yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐变陡随x增大逐渐变缓随n值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，)上，函数yax(a1)，ylogax(a1)和yxn(n0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上(2)在区间(0，)上随着x的增大，yax(a1)增长速度越

2、来越快，会超过并远远大于yxn(n0)的增长速度，而ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢(3)存在一个x0，使得当xx0时，有logaxxnax.解题指导：三种函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型(3)幂函数模型yxn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n1)时，增长较慢；n值较大(n1)时，增长较快例题：1下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是()Ay50 By1 000xCy2x1 Dyln x解析：指数函数模型增长速度最快，故选C.答案：C2.若x(0，1)，

3、则下列结论正确的是()A2xxlgx B2xlgxxCx2xlgx Dlgxx2x解析：如图所示，由图可知当x(0，1)时，2xxlgx.答案：A考点二：函数模型的应用实例1解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原这些步骤用框图表示如图：2数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述解题指导：1. 用已知函数模型解决问题；2. 建立函数模型解决实际问题.例题：为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米

4、空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为 (a为常数),如图所示.根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室. 答案：（1）（2）0.62. 某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:时间(t)50110250种植成本(Q)150108150(1)

5、根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt;(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. 答案：（1）（2）当 (天)时,西红柿种植成本最低为 (元/102kg)巩固练习一、选择题1下面对函数，g(x)与h(x)在区间(0，)上的衰减情况说法正确的是()A. f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢B. f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快C. f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越

6、来越慢，h(x)衰减速度越来越慢D. f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快2如果一种放射性元素每年的衰减率是8%，那么的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）等于（ ）A. B. C. D. 3三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 ()A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3C. y3，y2，y1 D. y1，y3，y24

7、四人赛跑，假设他们跑过的路程fi(x)(其中i1,2,3,4)和时间x(x1)的函数关系分别是f1(x)x2，f2(x)4x，f3(x)log2x，f4(x)2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是()A. f1(x)x2 B. f2(x)4x C. f3(x)log2x D. f4(x)2x5在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01A. y2x2 B. y (x21)C. ylog2x D. y6某科技股份有

8、限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司xx年全年投入的研发资金为100万无，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是（ ）（参考数据： ）A. 2022年 B. 2023年 C. 2024年 D. 2025年二、解答题7某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：x1.99345.18y0.991.582.012.353.00现有如下5个模拟函数：y0.58x0.16；y2x3.02；yx25.5x8；ylog2x；y1.74请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选_(填序号)8复利

9、是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法某人向银行贷款10万元，约定按年利率7%复利计算利息(1)写出x年后，需要还款总数y(单位：万元)和x(单位：年)之间的函数关系式；(2)计算5年后的还款总额(精确到元)；(3)如果该人从贷款的第二年起，每年向银行还款x元，分5次还清，求每次还款的金额x(精确到元)(参考数据：1.0731.225 0，1.0741.310 8，1.0751.402 551，1.0761.500 730)9根据统计，某机械零件加工厂的一名工人组装第（）件产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）.已知该工人组装第件产品用时小时.（1）求的值

10、；（2）试问该工人组装第件产品比组装第件产品少用多少时间？10在热学中，物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述，如果物体的初始温度是，经过一定时间后，温度将满足，其中是环境温度， 称为半衰期现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡，放在75F的房间内，如果咖啡降到105F需要20分钟，问降温到95F需要多少分钟？（F为华氏温度单位，答案精确到0.1.参考数据： ， ）11某企业生产 ， 两种产品，根据市场调查与预测， 产品的利润与投资关系如图（1）所示； 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示（注：利润和投资单位：万元） （1）分别将 ， 两种产品的利润表示为投资的函数关系

11、式；（2）已知该企业已筹集到 万元资金，并将全部投入 ， 两种产品的生产问怎样分配这 万元投资，才能使该企业获得最大利润?其最大利润约为多少万元?参考答案与解析1C【解析】画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C.因为三个函数都是下凸函数。选C.【点睛】当图像是一条直线的减函数时，是匀减速函数。当图像为上凸的增函数时减小速度是越来越快的。当图像为下凸的减函数时（如本题）减小速度是越来越慢的。2C故选C.3C【解析】从题表格可以看出，三个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 的增长速度最快，呈指数函数变化，变量 的增长速度最慢，对数型函数变化，故选C4D【解析】由函数的增长趋势可知，指数

12、函数增长最快，所以最终最前面的具有的函数关系为，故选D。5B【解析】由题意得，表中数据y随x的变化趋势，函数在(0,+)上是增函数，且y的变化随x的增大越来越快；A中函数是线性增加的函数，C中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；排除A，C.D答案；B中函数y (x21)符合题意。故选：B.6C【解析】设从年后，第年该公司全年投入的研发资金开始超过万元，由题意可得： ，即，两边取对数可得： ，则，即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是年.本题选择C选项.7【解析】画出散点图如图所示由图可知上述点大体在函数ylog2x的图象上，故选择ylog2x可以近似地反映这些数据的规

13、律故填.答案：点睛：本题主要考查了线性相关的概念，散点图，以及函数拟合相关关系的问题，属于中档题，首先根据数据画出散点图，判断变量间的相关关系，其次在拟合选取函数时，主要看函数的单调性，特殊值的适当性，以及图象变化的快慢等等。8(1)详见解析;(2) 140 255元(或14.025 5万元);(3) 24 389元(或2.438 9万元)试题解析：(1)y10(17%)x，定义域为x|xN*(2)5年后的还款总额为y10(17%)5101.07514.025 5.答：5年后的还款总额为140 255元(或14.025 5万元)(3)由已知得x(11.071.0721.0731.074)14.

14、025 5.解得x2.438 9.答：每次还款的金额为24 389元(或2.438 9万元)点睛：应用问题首先要认真细致的审题，逐字逐句的读题，把实际问题转化为数学问题.首先根据提议设出未知数，根据各项造价表示出总造价建立函数模型，根据实际需要写出函数的定义域，当把实际问题转化为数学问题后，再利用数学知识解决函数问题，最后给出实际问题相应的答案.9(1)60；(2) 少用分钟.【解析】试题分析：(1)由题意结合，可得.(2)结合(1)的结论计算可得该工人组装第件产品比组装第件产品少用分钟.该工人组装第件产品比组第节产品少用分钟.点睛：(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时

15、就需要构建分段函数模型(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值1025.9分钟【解析】试题分析：根据题意，先将题目中的条件代入公式，求解就可得到半衰期h的值再利用公式，中， ， ， 代入，求出半衰期h的值，T=95，代入就可解出此时需要多少分钟试题解析：依题意，可令， ， ， 代入式子得：，解得又若代入式子得则 答：降温到95F约需要25.9分钟.11（1）；（2）投入 产品 万元， 产品 万元时，总利润最大值为 万元试题解析：（1） 对于 ，当 时，因为图象过 ，所以 ，当 时，令 ，因图象过 和 ，得 解得 ， ，故 对于 ，易知 （2） 设投入 产品 万元，则投入 产品 万元，利润为 万元若 时，则 ，则投入 产品的利润为 ，投入 产品的利润为 ，则 ，令 ， ，则 ，此时当 ，即 时， 万元；当 时， ，则投入 产品的利润为 ，投入 产品的利润为 ，则 ，令 ， ，则 ，当 时，即 时， 万元；由 ，综上，投入 产品 万元， 产品 万元时，总利润最大值为 万元