高中数学第三章函数的应用32函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修.docx
《高中数学第三章函数的应用32函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第三章函数的应用32函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修.docx(13页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
高中数学第三章函数的应用32函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修
2019-2020年高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用破题致胜复习检测新人教A版必修
复习指导
考点一:
几类不同增长的函数模型
1.三种函数模型的性质
函数
性质
y=ax(a>1)
y=logax
(a>1)
y=xn
(n>0)
在(0,+∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
图象的变化
随x增大逐
渐变陡
随x增大逐
渐变缓
随n值
而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但增长速度不同,且不在同一个“档次”上.
(2)在区间(0,+∞)上随着x的增大,y=ax(a>1)增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.
(3)存在一个x0,使得当x>x0时,有logax<xn<ax.
解题指导:
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型.
(2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型.
(3)幂函数模型y=xn(n>0),则可以描述增长幅度不同的变化:
n值较小(n≤1)时,增长较慢;n值较大(n>1)时,增长较快.
例题:
1.下列函数中,随着x的增大,增长速度最快的是( )
A.y=50 B.y=1000x
C.y=2x-1D.y=
lnx
解析:
指数函数模型增长速度最快,故选C.
答案:
C
2.若x∈(0,1),则下列结论正确的是( )
A.2x>x
>lgxB.2x>lgx>x
C.x
>2x>lgxD.lgx>x
>2x
解析:
如图所示,由图可知当x∈(0,1)时,2x>x
>lgx.
答案:
A
考点二:
函数模型的应用实例
1.解决函数应用问题的基本步骤
利用函数知识和函数观点解决实际问题时,一般按以下几个步骤进行:
(一)审题;
(二)建模;(三)求模;(四)还原.
这些步骤用框图表示如图:
2.数学模型
就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题,得出关于实际问题的数学描述.
解题指导:
1.用已知函数模型解决问题;2.建立函数模型解决实际问题.
例题:
为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为(a为常数),如图所示.
根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)从药物释放开始,求每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室.
答案:
(1)
(2)0.6
2.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:
元/102kg)与上市时间t(单位:
天)的数据如下表:
时间(t)
50
110
250
种植成本(Q)
150
108
150
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系:
Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=a·logbt;
(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
答案:
(1)
(2)当
(天)时,西红柿种植成本最低为
(元/102kg)
巩固练习
一、选择题
1.下面对函数,g(x)=与h(x)=在区间(0,+∞)上的衰减情况说法正确的是( )
A.f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越快,h(x)衰减速度越来越慢
B.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越慢,h(x)衰减速度越来越快
C.f(x)衰减速度越来越慢,g(x)衰减速度越来越慢,h(x)衰减速度越来越慢
D.f(x)衰减速度越来越快,g(x)衰减速度越来越快,h(x)衰减速度越来越快
2.如果一种放射性元素每年的衰减率是8%,那么的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)等于()
A.B.C.D.
3.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:
x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1715
3645
6655
y2
5
29
245
2189
19685
177149
y3
5
6.10
6.61
6.985
7.2
7.4
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )
A.y1,y2,y3B.y2,y1,y3
C.y3,y2,y1D.y1,y3,y2
4.四人赛跑,假设他们跑过的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A.f1(x)=x2B.f2(x)=4xC.f3(x)=log2xD.f4(x)=2x
5.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下面一组实验数据(见下表):
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
A.y=2x-2B.y=(x2-1)
C.y=log2xD.y=
6.某科技股份有限公司为激励创新,计划逐年增加研发资金投入,若该公司xx年全年投入的研发资金为100万无,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长10%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是()(参考数据:
)
A.2022年B.2023年C.2024年D.2025年
二、解答题
7.某学校开展研究性学习活动,一组同学获得了下面的一组试验数据:
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下5个模拟函数:
①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;③y=x2-5.5x+8;④y=log2x;⑤y=+1.74
请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选________(填序号).
8.复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金,再计算下一期利息的一种计算利息的方法.某人向银行贷款10万元,约定按年利率7%复利计算利息.
(1)写出x年后,需要还款总数y(单位:
万元)和x(单位:
年)之间的函数关系式;
(2)计算5年后的还款总额(精确到元);
(3)如果该人从贷款的第二年起,每年向银行还款x元,分5次还清,求每次还款的金额x(精确到元).
(参考数据:
1.073=1.2250,1.074=1.3108,1.075=1.402551,1.076=1.500730)
9.根据统计,某机械零件加工厂的一名工人组装第()件产品所用的时间(单位:
分钟)为
(为常数).已知该工人组装第件产品用时小时.
(1)求的值;
(2)试问该工人组装第件产品比组装第件产品少用多少时间?
10.在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,如果物体的初始温度是,经过一定时间后,温度将满足,其中是环境温度,称为半衰期.现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡,放在75F的房间内,如果咖啡降到105F需要20分钟,问降温到95F需要多少分钟?
(F为华氏温度单位,答案精确到0.1.参考数据:
,)
11.某企业生产,两种产品,根据市场调查与预测,产品的利润与投资关系如图
(1)所示;产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图
(2)所示(注:
利润和投资单位:
万元).
(1)分别将,两种产品的利润表示为投资的函数关系式;
(2)已知该企业已筹集到万元资金,并将全部投入,两种产品的生产.问怎样分配这万元投资,才能使该企业获得最大利润?
其最大利润约为多少万元?
参考答案与解析
1.C
【解析】画出三个函数的图像如下图,由图像可知选C.因为三个函数都是下凸函数。
选C.
【点睛】
当图像是一条直线的减函数时,是匀减速函数。
当图像为上凸的增函数时减小速度是越来越快的。
当图像为下凸的减函数时(如本题)减小速度是越来越慢的。
2.C
故选C.
3.C
【解析】从题表格可以看出,三个变量都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量的增长速度最快,呈指数函数变化,变量的增长速度最慢,对数型函数变化,
故选C
4.D
【解析】由函数的增长趋势可知,指数函数增长最快,所以最终最前面的具有的函数关系为,故选D。
5.B
【解析】由题意得,表中数据y随x的变化趋势,函数在(0,+∞)上是增函数,
且y的变化随x的增大越来越快;
∵A中函数是线性增加的函数,C中函数是比线性增加还缓慢的函数,D中函数是减函数;
∴排除A,C.D答案;
∴B中函数y=(x2-1)符合题意。
故选:
B.
6.C
【解析】设从年后,第年该公司全年投入的研发资金开始超过万元,
由题意可得:
,即,
两边取对数可得:
,
则,即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元年年份是年.
本题选择C选项.
7.④
【解析】画出散点图如图所示.
由图可知上述点大体在函数y=log2x的图象上,故选择y=log2x可以近似地反映这些数据的规律.故填④.
答案:
④
点睛:
本题主要考查了线性相关的概念,散点图,以及函数拟合相关关系的问题,属于中档题,首先根据数据画出散点图,判断变量间的相关关系,其次在拟合选取函数时,主要看函数的单调性,特殊值的适当性,以及图象变化的快慢等等。
8.
(1)详见解析;
(2)140255元(或14.0255万元);(3)24389元(或2.4389万元).
试题解析:
(1)y=10·(1+7%)x,定义域为{x|x∈N*}.
(2)5年后的还款总额为y=10×(1+7%)5=10×1.075=14.0255.
答:
5年后的还款总额为140255元(或14.0255万元).
(3)由已知得x(1+1.07+1.072+1.073+1.074)=14.0255.
解得x=2.4389.
答:
每次还款的金额为24389元(或2.4389万元).
点睛:
应用问题首先要认真细致的审题,逐字逐句的读题,把实际问题转化为数学问题.首先根据提议设出未知数,根据各项造价表示出总造价建立函数模型,根据实际需要写出函数的定义域,当把实际问题转化为数学问题后,再利用数学知识解决函数问题,最后给出实际问题相应的答案.
9.
(1)60;
(2)少用分钟.
【解析】试题分析:
(1)由题意结合,可得.
(2)结合
(1)的结论计算可得该工人组装第件产品比组装第件产品少用分钟.
该工人组装第件产品比组第节产品少用分钟.
点睛:
(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型.
(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.
10.25.9分钟
【解析】试题分析:
根据题意,先将题目中的条件代入公式,求解就可得到半衰期h的值.再利用公式,中,,,代入,求出半衰期h的值,T=95,代入就可解出此时需要多少分钟.
试题解析:
依题意,可令,,,代入式子得:
,解得
又若代入式子得
则
∴
答:
降温到95F约需要25.9分钟.
11.
(1);
(2)投入产品万元,产品万元时,总利润最大值为万元
试题解析:
(1)对于,当时,因为图象过,所以,
当时,令,因图象过和,得
解得,,故
对于,易知.
(2)设投入产品万元,则投入产品万元,利润为万元.
若时,则,则投入产品的利润为,投入产品的利润为,则,令,,
则,此时当,即时,万元;
当时,,则投入产品的利润为,投入产品的利润为,则,令,,
则,当时,即时,万元;
由,
综上,投入产品万元,产品万元时,总利润最大值为万元.