圆锥曲线求圆锥曲线方程.docx

1、圆锥曲线求圆锥曲线方程求曲线（或直线）的方程、基础知识:1、 求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等） ，那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件， 主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替） ，从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值， 即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳 理2、 所学方程中字母的几何意义（1） 直线：k

2、:斜率；xo,y :直线所过的定点（2） 圆： a,b :圆心的坐标； r:圆的半径（3） 椭圆：2a :长轴长，焦半径的和； 2b:短轴长；2c :焦距（4） 双曲线：2a :实轴长，焦半径差的绝对值； 2b:虚轴长；2c :焦距注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着 a,b,c展开，通过这些条件也可以求出 a,b,c 的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的） ：c 2b2离心率：e ；通径（焦点弦长的最小值）： 等a a（5 ）抛物线：p：焦准距3、 待定系数法中方程的形式：（1 ）直线与曲线方程通式：直线：y kx m，xmy t圆：x2 y2 DxEyF 0椭圆：2 2

3、标准方程： 一2 每 a b1 ab 02 2y x 、 ，（或一2 2 1 a b 0，视焦点所在轴来决定）a b椭圆方程通式：mx22ny1 m0,n 0双曲线:（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确， 曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。 常见的曲线系方程如若直线l : AxBy0与圆C1 : xDxEyF 0有公共点，则过公共点下：的圆系方程为: 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线2x2a2 y b21渐近线相同的双曲线系方程为:、典型例题:

4、2x2a原点的直线I与椭圆相交于M , N两点，记直线PM , PN的斜率分别为k1,k2，且&k222 X 2即b 1，所以椭圆方程为 y 14答案：D(2 )若斜率为2的直线I过点0,2，且I交椭圆C于P,Q两点,OPOQ，求直线I的(1)求椭圆C的离心率方程及椭圆C的方程解：（1）由椭圆方程可得： A a,0 ,B 0.b ,F c,0AB Va2 b2, BF| Jb2 c2 aQ AB IBFb275a2经检验：当b满足直线与椭圆有两个交点,所以符合条件例3:已知直线丨:kx 1，椭圆2XE :92y2 1 m 0 ，m（1）若无论k为何值,直线I与椭圆E均有公共点，试求 m的取值范

5、围及椭圆离心率 e关于m的函数关系式10（2）当k -10时，直线I与椭圆E相交于A,B两点，与y轴交于点M，若AM13UULT2MB，求椭圆E的方程解：(1 )由l : y kx 1可知直线l过定点0,1Q l与E恒有公共点0,1在椭圆上或椭圆内02 12 1 m 19 m2Q m 9 m3m的范围为m 1,3 U 3,若 m2 9 1 m 3，则 a2 9,b2 m2c a2 b2 9 m2a 3若 m2 9 m 3，则 a2 m2,b2 9c a2 b2 . m2 9c vm 9 e综上所述：e,1 m3 m2 9厂,m(2)由已知可得:1,M 0,1a 3设 A X1,y1 ,B X2

6、,y2uuuu AMX1,1uuiry1 ,mbX2,y2 1uuunUULTX12x2Q AM2MB1 y1 2 y2 1联立直线与椭圆方程可得:x2x32y2m10x2X1X2Q X11，消去6 10xy可得：m9 1 m2輕,X1X2m2 102x2可得:1 m22x210x1 x2x1x210X210m2 109 1 m280,即m2 109 1 m2109m2，整理后可得:10m49 m290x2 y2椭圆方程为19 622例4 :过点A 4,0 ，向椭圆爲1 aab2VABC为正三角形，贝Uab最大时椭圆的方程为2 , 222x 4y .A. 1x B. 8y 14 3832 2m

7、 6 或 m 15 (舍)720m2 10解得:b 0引两条切线，切点分别为B,C，且()2x C.43y2 142xD.83y2 18思路：由题意可知本题确定 a,b值的关键在于ab达到最大值时，a,b的取值，那么需要得到关于a,b的关系（等式或不等式），作出图形可知，若 VABC为正三角形，则AB,AC 的斜率为于，进而能够得到AB,AC的方程。以AB为例：y x 4，与椭圆方程2 20 a2 3b2 16，则考虑利用均值不等式得到0 ab 冬仝，等号成立条件为3334 2 2 2 2 40即 12a b 192a b 36a b 02 2 2 2a 3b，再结合a 3b 16即可求出a,

8、b的值，从而确定椭圆方程解：依图可知:.3AB的方程为yx4 ，联立方程：3.3y4，消去2 2 1 2 2 2 2 y : b x -a x 4 a b，整理后可得.2 2 2 22 23b x a ya b2 2 2a 3b x8ax16a23a2 b2 0Q AB与椭圆相切8a2 24 a23b216a2 3a2 b2 064a4 64a4 12a4b2 192a 2b2 36a2b4答案：D（1）求椭圆C的离心率（2）直线l与以AB为直径的圆0相切，并且被椭圆 C截得的弦长的最大值为 2、,3，求椭 圆C的标准方程2c,由VABF是正三角形2 2 X y解：（1）设椭圆标准方程为 2

9、2 1 a b 0，焦距为a2 b2可得：a 2b，因为a2 b2 c2解得：a : b: c 2:1:-、3（2）由（1）可得椭圆的方程为： x2 4y2 4b2 ,设I与椭圆C的交点为M X1, y1 , N x2, y2若I斜率不存在，可得弦长 MN s/3b若I斜率存在，设I : y kx m，联立方程:y kx m 2 2 2 22 2 2 4k 1 x 8kmx 4 m b 0x2 4y2 4b2MN2b2b 2、3 b .3仝10a 2、3椭圆方程为：2 X2y 1123例6：设椭圆2 2E的方程为x2 y21 ab 0，点0为坐标原点，点A的坐标为 a,0 ，a b 点B的坐标

10、为0,b，点M在线段AB上，满足BM2 MA，直线OM的斜率为(1 )求E的离心率e标为7 ,求E的方程2uuuu imr(2)由(1 )中 a: b :c.5:1：2，可设AB：x由 A a,0 ,C 0, b 可得:，设N的对称点N7X0,2解(1)由M在线段AB上和BM 2 MA可得：BM 2MAQ A a,0 , B 0,bKomb3b5uuu 1 uuu2 uuu2 12a10OM OB-OAa, b2a333 33a 、一 5ba:b: c5 :1:2c 2e ； 52乜5依题意可得:5b2例7：已知椭圆E :二 a2 y b2的半焦距为c ,原点0到经过两点 c,0 , 0,b的

11、直线的距离为c2(1 )求椭圆的离心率(2)如图，AB是圆M : x若椭圆E经过A,B两点，求椭圆E的方程5的一条直径,解：(c,0 , 0,b 的bxcy bc 0dobcb2c2bc 1c2b22c可得:c2 3a2 4(2)由(1)可得:2:1: .32x椭圆方程为：r4b22yb2x2 4y24 b22由圆方程 x 2 y5可得:2,1,r102设 A X1，y1 ,B X22x1 x22AB| 2r.10x2 4AB ,10X1设 AB: y1，联立方程:y k x x2 4y21 4k2 x12 消去y可得:4b4b2，整理后可得:28k 1 2k x 4 1 2k4b2X28k

12、1 2k1 4k2X24 1 2k 2 4b21 4k28k1 2k 44k2X1X28 2 b2ABX2 212x-i x2 4x1x2Q AB10 b2 2,10b2b2 3x2椭圆方呈为：石2y32x例8:已知双曲线a0,b 0的两个焦点为FnF2，其中一条渐近线方程为y x b N ，P为双曲线上一点，且满足 OP 5，若PFj , F1F2 , PF2成等比数列,则双曲线C的方程为 解：Q PF1 , F1F2 , PF2成等比数列2 2F1F2I PF1 PF2 4c PF|PF2b由渐近线方程y x b N 可知：a 2，不妨设P在右支上2PF1 PF2 2a 42 2 9即 O

13、P2 8 3c2 8 3 a2 b220 3b2OP即 PF1 PF2 8c 16203b2 25 b253由bN可知b 1双曲线方程为：专y2 1答案：x2 2 1T y 1小炼有话说：AB2AC22AD2BD中线定理：已知AD为VABC中底边BC的中线，则有ABADBD2 ADBD cosADB同理，在VADC中，有:2由余弦定理可知:，证明如下：在VADB中,可得:ABii: yAC2 ADBD2CD ，即ABACADBD（2014，福建）已知双曲线2E ：Xia2 y_ b20,b0的两条渐近线分别为2x， l2 : y 2x（2）如图，O为坐标原点，动直线（1 ）求双曲线E的离心率l

14、分别交直线li,l2于A,B两点（A,B分别在第一、四象限），且VOAB的面积恒为 8,试探究：是否存在总与直线 有一个公共点的双曲线 E若存在，求出双曲线E的方程； 说明理由解：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为 y -xa2 b 2a c2 a2 b2 5a2(2)若直线l不与x轴垂直，设l : y mx t, A Xi, yi ,BX2,y2联立方程:x my ty 2xXiyiti 2m2ti 2m，同理可得my t2xXiyiti 2m 2ti2m设直线I与x轴交于C t,0S/OAB2 |OC| |yi1y2 即 2 t2ti 2m2ti 2mt24m2由直线I与渐近线的交点A,

15、B分别在第一、四象限可知:i 4m2 0t21 4m2由(i)可得双曲线方程为:2 x2a2土 i4a联立I与双曲线方程:x my t4x2 y2 4 a24m2i y28mty4 t2因为I与双曲线相切8mt 2 i6t24m2整理可得：4m1 4m24m2所以a2 4双曲线方程为:x22 yi6存在一个总与I相切的双曲线E，其方程为x22yi62x例i0：已知A,B分别为曲线C :令ay2 i与x轴的左,两个交点，直线I过点B且与x轴垂直，P为I上异于点B的点，且P在第一象限，连结 AP与曲线C交于点MQpo莎J右(1)若曲线C为圆，且BP，求弦AM的长(2)设N是以BP为直径的圆与线段B

16、M的交点，若O,N,P三点共线，求曲线C的方程解：(1)若曲线C为圆，则可知aC : x2y2 11,0 ,B 1,0 ,P2；3亍1 1AP的方程：yif3x 3ydo AP12 32AMdo AP.3(2)由已知可得:a,0 ,Ba,0，设直线AP : y ka,2ak联立直线与椭圆方程可得:2 x2 ax2 k2 xa2，整理后可得:2 2 2 3 21 a k x 2a k可知该方程的两根为:Xaa，xm，由韦达定理可得:XaXm4| 2 2a k a2 21 a kxMa a3k2yM k Xm a2ak2 21 a k，即a a3k2 2ak2 2， 21 a k 1 a kQO,N,P共线，且BP为圆的直径OPBMuuu uuuuOP BM 0uuu uuuuQOP a,2ak ,BM2a3k2 2ak1 a2k2,1 a2k2uuu uuuu3 22a k2ak12ak 小OP BMa 一12 2a k02| 2 ua k4 2 2. 22a k4a k0 ,即2a4k2 4a2k2 0 解得：a .22 21 a2k2x2 2曲线C的方程： y 1椭圆方程为4