圆锥曲线求圆锥曲线方程.docx
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圆锥曲线求圆锥曲线方程
求曲线（或直线）的方程
、基础知识:
1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较
多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要
素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数
运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参
与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。
可以说两个方向各有侧重，
一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理
2、所学方程中字母的几何意义
（1）直线：
k:
斜率；xo,y°:
直线所过的定点
（2）圆：
a,b:
圆心的坐标；r:
圆的半径
（3）椭圆：
2a:
长轴长，焦半径的和；2b:
短轴长；2c:
焦距
（4）双曲线：
2a:
实轴长，焦半径差的绝对值；2b:
虚轴长；2c:
焦距
注：
在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着a,b,c展开，通过这些条件也可以求出a,b,c的值，从而确定曲线方程。
例如（椭圆与双曲线共有的）：
c2b2
离心率：
e；通径（焦点弦长的最小值）：
等
aa
（5）抛物线：
p：
焦准距
3、待定系数法中方程的形式：
（1）直线与曲线方程通式：
①直线：
ykxm
，x
myt
②圆：
x2y2Dx
Ey
F0
③椭圆：
22标准方程：
一2每ab
1a
b0
22
yx、，
（或一221ab0，视焦点所在轴来决定）
ab
椭圆方程通式：
mx2
2
ny
1m
0,n0
④双曲线:
（2）曲线系方程：
具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。
曲线系方程的
一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，
让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。
常见的曲线系方程如
若直线l:
Ax
By
0与圆C1:
x
Dx
Ey
F0有公共点，则过公共点
下：
的圆系方程为:
⑥相同渐进线的双曲线系方程：
与双曲线
2
x
2
a
2yb2
1渐近线相同的双曲线系方程为:
、典型例题:
2
x
2
a
原点的直线I与椭圆相交于M,N两点，记直线PM,PN的斜率分别为k1,k2，且&k2
2
2X2
即b1，所以椭圆方程为y1
4
答案：
D
（2）若斜率为2的直线I过点
0,2，且I交椭圆C于P,Q两点,
OP
OQ，求直线I的
（1）求椭圆C的离心率
方程及椭圆C的方程
解：
（1）由椭圆方程可得：
Aa,0,B0.b,Fc,0
ABVa2b2,BF|Jb2c2a
QAB—IBF
b2
75
—a
2
经检验：
当b
满足直线与椭圆有两个交点,
所以符合条件
例3:
已知直线丨:
kx1，椭圆
2
X
E:
―
9
2
y
21m0，
m
（1）若无论k为何值,
直线I与椭圆E均有公共点，试求m的取值范围及椭圆离心率e关
于m的函数关系式
10
（2）当k-10时，直线I与椭圆E相交于A,B两点，与y轴交于点M，若AM1
3
UULT
2MB，
求椭圆E的方程
解：
（1）由l:
ykx1可知直线l过定点0,1
Ql与E恒有公共点
0,1在椭圆上或椭圆内
021
21m1
9m
2
Qm9m3
m的范围为m1,3U3,
若m291m3，则a29,b2m2
ca2b29m2
a3
若m29m3，则a2m2,b29
ca2b2■.m29
cvm9e
综上所述：
e
^^,1m
3
\m29
厂,m
（2）由已知可得:
1,
M0,1
a3
设AX1,y1,BX2,y2
uuuuAM
X1,1
uuir
y1,mb
X2,y21
uuun
UULT
X1
2x2
QAM
2MB
1y12y21
联立直线与椭圆方程可得:
x2
x
3
2
y
~2
m
10
x2
X1
X2
QX1
1
，消去
610x
y可得：
m
91m2
輕,X1X2
m210
2x2
②可得:
1m2
2x2
10
x1x2
x1x2
10
X2
10
m210
91m2
80,即
m210
91m2
10
9m2，整理后可得:
10
m4
9m2
90
x2y2
椭圆方程为
1
96
2
2
例4:
过点A4,0，
向椭圆—
爲1a
a
b2
VABC为正三角形，贝U
ab最大时椭圆的方程为
2,2
2
2
x4y.
A.'1
xB.——
8y1
43
8
3
22
m6或m15（舍）
720
m210
解得:
b0引两条切线，切点分别为
B,C，且
（
）
2
xC.—
4
3y21
4
2
x
D.—
8
3y21
8
思路：
由题意可知本题确定a,b值的关键在于ab达到最大值时，a,b的取值，那么需要得
到关于a,b的关系（等式或不等式），作出图形可知，若VABC为正三角形，则
AB,AC的
斜率为于，进而能够得到AB,AC的方程。
以AB为例：
y{x4，
与椭圆方程
22
0a23b216，则考虑利用均值不等式得到
0ab•冬仝，等号成立条件为
3
■3
3
422224
0即12ab192ab36ab0
2222
a3b，再结合a3b16即可求出a,b的值，从而确定椭圆方程
解：
依图可知:
.3
AB的方程为
y
——x
4，联立方程：
3
.3
y「
4
，消去
2212222y:
bx-ax4ab，整理后可得
.2222
22
3
bxay
ab
222
a3bx
8ax
16a2
3a2b20
QAB与椭圆相切
8a22
4a2
3b2
16a23a2b20
64a464a412a4b2192a2b236a2b4
答案：
D
（1）求椭圆
C的离心率
（2）直线l与以AB为直径的圆0相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2、,3，求椭圆C的标准方程
2c,由VABF是正三角形
22Xy
解：
（1）设椭圆标准方程为221ab0，焦距为
a2b2
可得：
a2b，因为a2b2c2
解得：
a:
b:
c2:
1:
-、3
（2）由
（1）可得椭圆的方程为：
x24y24b2,
设I与椭圆C的交点为MX1,y1,Nx2,y2
若I斜率不存在，可得弦长MNs/3b
若I斜率存在，设I:
ykxm，联立方程:
ykxm2222
2224k1x8kmx4mb0
x24y24b2
MN
2b
2b2、、3b.3
仝
10
a2、、3
椭圆方程为：
2X
2
y1
12
3
例6：
设椭圆
22
E的方程为x2y2
1a
b0，点0为坐标原点，点A的坐标为a,0，
ab
点B的坐标为0,b，点M在线段AB上，满足BM
2MA，直线OM的斜率为
（1）求E的离心率e
标为7,求E的方程
2
uuuuimr
（2）由
（1）中a:
b:
c
.5:
1：
2，可设AB：
x
由Aa,0,C0,b可得:
，设N的对称点N
7
X0,2
解
（1）由M在线段AB上和BM2MA可得：
BM2MA
QAa,0,B0,b
Kom
b
3
b
5
uuu1uuu
2uuu
21
2a
10
OM—OB
-OA
a,—b
2
a
3
3
33
3
a、一5b
a:
b:
c
5:
1:
2
c2
e；5
2乜
5
依题意可得:
5b
2
例7：
已知椭圆E:
二a
2yb2
的半焦距为c,原点0到经过两点c,0,0,b
的直线的距离为^c
2
（1）求椭圆的离心率
（2）如图，AB是圆M:
x
若椭圆E经过A,B两点，求椭圆
E的方程
5的一条直径,
解：
（
c,0,0,b的
bx
cybc0
do
bc
b2
c2
bc1
c
2
b2
2
c可得:
c23
a24
（2）
由（
1）可得:
2:
1:
.3
2
x
椭圆方程为：
r
4b2
2
y
b2
x24y2
4b2
2
由圆方程x2y
5可得:
2,1
r
10
2
设AX1，y1,BX2』2
x1x2
2
AB|2r
.10
x24
AB,10
X1
设AB:
y
1，联立方程:
ykxx24y2
14k2x
1
2消去y可得:
4b
4b2，整理后可得:
2
8k12kx412k
4b2
X2
8k12k
14k2
"X2
412k24b2
14k2
8k12k4
4k2
X1X2
82b2
AB
X2
2'
1
2
x-ix24x1x2
QAB
10b22
10
b2
b23
x2
椭圆方呈为：
石
2
y
3
2
x
例8:
已知双曲线—
a
0,b0的两个焦点为FnF2，其中一条渐近线方程为
y^xbN，P为双曲线上一点，且满足OP5，若PFj,F1F2,PF2成等比数列,
则双曲线C的方程为
解：
QPF1,F1F2,PF2成等比数列
22
F1F2IPF1PF24c〔PF」|PF2
b
由渐近线方程y—xbN可知：
a2，不妨设P在右支上
2
PF1PF22a4
229
即OP283c283a2b2
203b2
OP
即PF1PF28c16
20
3b225b2
5
3
由b
N可知b1
双曲线方程为：
专y21
答案：
x221
Ty1
小炼有话说：
AB
2
AC
2
2
AD
2
BD
中线定理：
已知AD为VABC中底边BC的中线，则有
AB
AD
BD
2AD
BDcosADB
同理，在VADC中，有:
2
由余弦定理可知:
，证明如下：
在VADB中,
②可得:
AB
ii:
y
AC
2AD
BD
2
CD，即
AB
AC
AD
BD
（2014，福建）
已知双曲线
2
E：
Xi
a
2y_b2
0,b
0的两条渐近线分别为
2x，l2:
y2x
（2）如图，O为坐标原点，动直线
（1）求双曲线E的离心率
l分别交直线li,l2于A,B两点（A,B分别在第一、四象
限），且VOAB的面积恒为8,试探究：
是否存在总与直线有一个公共点的双曲线E若存在，求出双曲线E的方程；说明理由
解：
（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为y-x
a
—2b2ac2a2b25a2
（2）若直线
l不与x轴垂直，设
l:
ymxt,AXi,yi,B
X2,y2
联立方程:
xmyt
y2x
Xi
yi
t
i2m
2t
i2m
，同理可得
myt
2x
Xi
yi
t
i2m
2t
i
2m
设直线I
与x轴交于Ct,0
S/OAB
2|OC||yi
1
y2即2t
2t
i2m
2t
i2m
t2
4m2
由直线I
与渐近线的交点
A,B分别在第一、四象限可知:
i4m20
t2
14m2
由（i）可得双曲线方程为:
2x
~~2
a
2
土i
4a
联立I与双曲线方程:
xmyt
4x2y24a2
4m2
iy2
8mty
4t2
因为I与双曲线相切
8mt2i6
t2
4m2
整理可得：
4m
14m2
4m2
所以a24
双曲线方程为:
x2
2y
i6
存在一个总与
I相切的双曲线E，
其方程为
x2
2
y
i6
2
x
例i0：
已知A,B分别为曲线C:
令
a
y2i
与x轴的左,
两个交点，直线I过点B且与x轴垂直，P为I上异于点B的点，且
P在第一象限，连结AP与曲线C交于点M
Q
p
o
莎J
右
（1）若曲线C为圆，且BP
，求弦AM的长
（2）设N是以BP为直径的圆与线段
BM的交点，若O,N,P三点共线，求曲线
C的方程
解：
（1）
若曲线C为圆，则可知a
C:
x2
y21
1,0,B1,0,P
2；3
亍
11
AP的方程：
y
if
3
x3y
doAP
1232
AM
doAP
.3
（2）由已知可得:
a,0,B
a,0，设直线AP:
yk
a,2ak
联立直线与椭圆方程可得:
2x
~2a
x2k2x
a2，整理后可得:
22232
1akx2ak
可知该方程的两根为:
Xa
a，xm
，由韦达定理可得:
XaXm
4|22
aka
22
1ak
xM
aa3k2
yMkXma
2ak
22
1ak
，即
aa3k22ak
22，^~2
1ak1ak
QO,N,P共线，且
BP为圆的直径
OP
BM
uuuuuuu
OPBM0
uuuuuuu
QOPa,2ak,BM
2a3k22ak
1a2k2,1a2k2
uuuuuuu
3’2
2ak
2ak
1
2ak小
OPBM
a一
1
2[2
ak
0
2|2u
ak
42
■2.2
2ak
4ak
0,即
2a4k
24a2k20解得：
a.2
22
1a
2k2
x22
曲线C的方程：
y1
椭圆方程为
4
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