1、导数中的求参数取值范围问题帮你归纳总结(五):导数中的求参数取值范围问题、常见基本题型:(1)已知函数单调性,求参数的取值范围,如已知函数 f(x)增区间,则在此区间上导函数f (x) 0,如已知函数f (x)减区间,则在此区间上导函数 f (x) 0。(2)已知不等式恒成立,求参数的取值范围问题,可转化为求函数的最值问题。例1.已知a R函数f(x) ( x2 ax)e x.( x R,e为自然对数的底数) (1)若函数f (x)在(1,1)内单调递减,求a的取值范围;理由f (x) ( 2x a)e-x ( x2 ax)( e-x) = x2 (a 2)x a e-x 要使f (x)在-1
2、,1上单调递减, 则f (x) 0对x ( 1,1)都成立,2x (a 2)x a 0 对 x ( 1,1)都成立1 (a 2) a 01 (a 2) a 0(2)若函数f (x)在R上单调递减,则f (x) 0对x R都成立即x2 (a 2)x a e-x 0对x R都成立x 2Qe 0, x (a 2)x a 0 对 x R 都成立令 g(x) x2 (a 2)x a,Q图象开口向上 不可能对x R都成立若函数f (x)在R上单调递减,则f (X)0对xR都成立,即 x2 (a 2)x a e-x0对xR都成立,Q e x 0, x2 (a 2)x a0对xR都成立Q (a 2)2 4a2
3、 a4 0故函数f (x)不可能在R上单调递增 综上可知,函数 f (x)不可能是R上的单调函数例2:已知函数f x alnx ax 3 a R 若函数y f(x)的图像在点(2, f(2)处的切线的倾斜角为45,对于任意t 1,2,函数g x是单调函数,求m的取值范围;3 2 / mx x f (x) 在区间(t,3)上总不 (I)求函数f (x)的单调区间;故函数f(x)的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是(0,1), (3,)(II )若对任意为(0,2), X2 1,2,不等式f(xj g(X2)恒成立,问题等价于f(X)min g(x)max ,由(I)可知,在(0,2)上,x
4、 1是函数极小值点,这个极小值是唯一的极值点,解得b例 4设函数 f (x) x2 mln x,h(x)m的取值范围;(1)当a= 0时,f(x) h(x)在(1 ,+s )上恒成立,求实数 当m= 2时,若函数k(x) = f(x) h(x)在1,3上恰有两个不同零点,求实数 a的取值范围.解:(1)由 a= 0, f (x) h(x),x可得一mnx- x, x (1 ,+s ),即 m h(x)在(1 ,+8 )上恒成立等价于 me 0 (x)minln x 1求得 0 ( x) = 2In x当 x (1 , e), 0 (x) v 0;当 x (e ,+s )时,0 (x) 0.故0
5、 (x)在x = e处取得极小值,也是最小值,即 0 (x) min = 0 (e) = e,故 m 0. g(x)在(1,2)上是单调递减函数,在(2,3上是单调递增函数.故 g( x) min= g(2) = 2 - 2ln2.又 g(1) = 1, g(3) = 3 - 2ln3 ,- g(l) g(3),只需 g(2) a g(3).故a的取值范围是(2 - In2,3 - 2ln3.二、针对性练习21.已知函数f(x) x al n x.若函数g(x) f (x) 2x在1, 4上是减函数,求实数 a的 取值范围。2 a 2解:由 g(x) x2 a In x -,得 g (x) 2
6、x 一 飞.x x x- 2又函数g(x) x alnx 为1, 4上的单调减函数。x则g (x) 0在1, 4上恒成立,.a 2所以不等式2x - 0在1 , 4上恒成立.x x2 2即a 2x在1, 4上恒成立。x2 2设(X) 2x2,显然(X)在1 , 4上为减函数,63x所以(x)的最小值为 (4)63a的取值范围是a2.已知函数f (x) ex 1 x. 4 x(1)若存在x 1,ln ,使a ex 1 x 0成立,求a的取值范围;3(2 )当X 0时,f (x) tx2恒成立,求t的取值范围.解:(1)a ex 1 X,即 a f(x). x令 f (x) e 1 0,x 0.Q
7、x 0时,f (x) 0,x 0时,f(x) 0.f(x)在(,0)上减,在(0,)上增.x。又1,l n43时,f(X)的最大值在区间端点处取到f(1f( 1) e1 1 if In二e -41 ln-31) f In430,f ( 1) f Inf(x)在41,l n 3上最大值为a 故a的取值范围是 e,(3)由已知得x 0时,ex x 1 tx2 0恒成立,设 g(x)x 1 tx2. g(x) ex 1 2tx.由(2)知1 x,当且仅当x0时等号成立,故 g(X)2tx(1 2t)x,从而当 1 2t 0,1即t 2时,g(X)0(x于是当x 0时,g(x) 0,由 ex 1 x(
8、x故当0), g(x)为增函数,又g(0) 0,t丄2时符合题意t 12时,即 f (x) tx2,0)可得e1 x(x 0),从而当 x x xg (x) e 1 2t(e 1) ex (0,ln 2t)时,g (x) 0,于是当x (0,In 2t)时,2,不符合题意.综上可得3.已知函数 f (x) V,设 h(x) xf (x) xx3解:由 h(x) x f (x) x ax 可得,g(x)g(x)x x(e 1)(e 2t),为减函数,又g(0) 0,20,即 f (x) tx ,t的取值范围为ax3在(0,2)上有极值,求a的取值范围1 j -X(3 Hhloi:十 1)h(i) 1 -Sac1 - X+l Z4-1若*20,对任意耳“ h T a(0, P上单调谨滅则5在g 2)上无极11.若aOf tx) - a fi-x-ax1在 2)上有极営的充吏荼件足沪虹*如在 4 2)上有零点,卫弹(町在卜十”+上鬧i阖 -UTW|a-1幺竦上,笊取值范囲昱(广丄).IS
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