导数中的求参数取值范围问题.docx

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导数中的求参数取值范围问题

帮你归纳总结（五）：

导数中的求参数取值范围问题

、常见基本题型：

（1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数f（x）增区间，则在此区间上

导函数f（x）0,如已知函数f（x）减区间，则在此区间上导函数f（x）0。

（2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。

例1.已知aR函数f（x）（x2ax）ex.（xR，e为自然对数的底数）

（1）若函数f（x）在（1,1）内单调递减，求a的取值范围；

理由•

f（x）（2xa）e-x（x2ax）（e-x）=x2（a2）xae-x•要使f（x）在-1,1上单调递减，则f（x）0对x（1,1）都成立,

2

x（a2）xa0对x（1,1）都成立•

1（a2）a0

1（a2）a0

（2）①若函数f（x）在R上单调递减，则f（x）0对xR都成立

即x2（a2）xae-x0对xR都成立•

x2

Qe0,x（a2）xa0对xR都成立

令g（x）x2（a2）xa，

Q图象开口向上不可能对xR都成立

②若函数f（x）在R上单调递减，则f（X）

0

对x

R都成立,

即x2（a2）xae-x

0

对x

R都成立,

Qex0,x2（a2）xa

0

对x

R都成立•

Q（a2）24a

2a

40

故函数f（x）不可能在R上单调递增•综上可知，函数f（x）不可能是R上的单调函数

例2：

已知函数fxalnxax3aR若函数yf（x）的图像在点（2,f

（2））处的切

线的倾斜角为45°，对于任意t[1,2]，函数gx

是单调函数，求m的取值范围;

32/m

xx[f（x）]在区间（t,3）上总不

（I）求函数f（x）的单调区间;

故函数f（x）的单调递增区间是（1,3）；单调递减区间是（0,1）,（3,）

（II）若对任意为（0,2）,X21,2，不等式f（xjg（X2）恒成立,

问题等价于f（X）ming（x）max,

由（I）可知，在（0,2）上，x1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点,

解得b

例4•设函数f（x）x2mlnx,h（x）

m的取值范围;

（1）当a=0时，f（x）>h（x）在（1,+s）上恒成立，求实数

⑵当m=2时，若函数k（x）=f（x）—h（x）在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数a的

取值范围.

解：

（1）由a=0,f（x）>h（x）,

x

可得一mnx>-x,x€（1,+s），即m<-—.inx

x

记0（X）=mx，贝Uf（x）>h（x）在（1,+8）上恒成立等价于me0（x）min

lnx—1

求得0'（x）=2—

Inx

当x€（1,e）,0'（x）v0;

当x€（e,+s）时，0'（x）>0.

故0（x）在x=e处取得极小值，也是最小值，

即0（x）min=0（e）=e,故m

⑵函数k（x）=f（x）—h（x）在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x—2lnx=a,

在［1,3］上恰有两个相异实根.

2

令g（x）=x—2ln，贝Ug'（x）v1—一.

x

当x€［1,2）时，g'（x）v0;

当x€（2,3］时，g'（X）>0.

•••g（x）在（1,2）上是单调递减函数，在（2,3］上是单调递增函数.

故g（x）min=g

（2）=2-2ln2.

又g

（1）=1,g（3）=3-2ln3,

•-g（l）>g（3），•只需g

（2）

故a的取值范围是（2-In2,3-2ln3］.

二、针对性练习

2

1.已知函数f（x）xalnx.若函数g（x）f（x）2x在［1,4］上是减函数，求实数a的取值范围。

2a2

解：

由g（x）x2aInx-，得g（x）2x一飞.

xxx

-2

又函数g（x）xalnx为［1,4］上的单调减函数。

x

则g（x）0在［1,4］上恒成立，.

a2

所以不等式2x-0在［1,4］上恒成立.

xx

22

即a2x在［1,4］上恒成立。

x

22

设（X）2x2，显然（X）在［1,4］上为减函数，

63

x

所以（x）的最小值为（4）

63

a的取值范围是a

2.已知函数f（x）ex1x

....4x

（1）若存在x［1,ln］，使aex1x0成立，求a的取值范围；

3

（2）当X0时，f（x）tx2恒成立，求t的取值范围.

解：

（1）aex1X,即af（x）.

'x

令f（x）e10,x0.

Qx0时，f（x）0,x0时，f'（x）0.

f（x）在（，0）上减，在（0,）上增.

x。

又

1,ln4

3时,

f（X）的最大值在区间端点处取到

f（

1

f

（1）e

11ifIn二

e-

4

1ln-

3

1）fIn4

3

0,

f

（1）fIn

f（x）在

4

1,ln—

3

上最大值为

a—

故a的取值范围是e，

（3）由已知得x0时,

exx1tx20恒成立,

设g（x）

x1tx2.g'（x）ex12tx.

由

（2）知

1x,

当且仅当x

0时等号成立,

故g（X）

2tx

（12t）x，从而当12t0,

1

即t2时，g

（X）

0（x

于是当x0时,

g（x）0,

由ex1x（x

故当

0）,g（x）为增函数，又g（0）0,

t丄

2时符合题意•

t1

2时，

即f（x）tx2，

0）可得e

1x（x0）,从而当

'xxx

g（x）e12t（e1）e

x（0,ln2t）时，g（x）0,

于是当x（0,In2t）时,

2,不符合题意.综上可得

3.已知函数f（x）—V,设h（x）xf（x）x

x

3

解：

由h（x）xf（x）xax可得,

g（x）

g（x）

xx

（e1）（e2t）,

为减函数，又g（0）0,

2

0,即f（x）tx,

t的取值范围为

ax3在（0，2）上有极值，求

a的取值范围

1j-X（3^Hhloi：

十1）

h（i）1-Sac1-»

X+lZ4-1

若*20,对任意"①耳“⑴“■

■■■hTa（0,P上单调谨滅则5］在g2）上无极11.

若a

零点，

卫弹（町在卜十”+◎上鬧i阖’

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1幺

竦上，笊取值范囲昱（■广丄）.

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