历年数学四考研数学真题详解.docx

1、历年数学四考研数学真题详解全国硕士研究生入学考试数学（四） 答案解析与点评1 06 年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主, 注意考察基础知识的理解与简单综合运用。除概率统计比 05 年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系数为 55-62%，平均分数为 80-83 分；而前几年为 38-45%，平均分数只有 60-63 分。2 各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。特别是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的能力。这是对 07 年考生的重要参考。3 06 年考题进一步说明了我们在水

2、木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与训练，使更大面积的考生最大限度受益。就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在 06 年的考试中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量题目仅仅有文字和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。在面向 07 年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生朋友，为打造

3、他们人生的 U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）n + 1 ( -1)n（1） lim( ) = 1n nn + 1 n【解析与点评】 应注意：本题并非n + 1 ( -1)nlim(n) 的形式，考点为初等函数性质与极限运算。n令 un = ( n ), n = 1,2,3,2k -12k - 1 1 1则当n = 2k - 1时， un = ( 2k - 1) = 2k2k + 1 1= 1- = 1- ，2k n +11则当n = 2k 时， un = ( 2k )n + 1 ( -1)n= 1 +2k= 1 + ，n故lim( )n n

4、= 1。可参见水木艾迪 2006 考研数学基础班讲义例 1.17，例 1.32，强化班例 18 等题目。(2) 设函数 f (x) 在 x = 2 的某邻域内可导,且 f (x) = e f ( x) , f (2) = 1则 f (2) = 2e3. 【解析与点评】由题设 f (x) 在 x = 2 的某邻域内可导以及 f (x) = e f ( x) ，可知 f (x) 也在x = 2 的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数 f (x) 二阶可导，且f (x) = e f ( x) =f (x)e f ( x) = e2 f ( x) 。利用上式可知 f (x) 也在 x = 2 的同一邻域

5、内可导，于是在该邻域内函数 f (x) 三阶可导，且 f (x) = e2 f ( x) = 2 f (x)e2 f ( x) = 2e3 f ( x) 。将 f (2) = 1代入即得 f (2) = 2e3.参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 4-6，4-7。百分训练营模拟试题数二第 3 题，(3) 设函数 f (u) 可微, 且dz = 4dx - 2dy 。 f (0) = 1 , 则 z =2f (4x 2 - y 2 ) 在点 (1,2) 处的全微分【解析与点评】 该题为多元函数微分学基本题。利用一阶全微分形式不变性直接计算可得dz =f (u)du =f (4x 2 -

6、 y 2 ) d (4x 2 - y 2 )= f (4x 2 - y 2 ) (8xdx - 2 ydy)= 2 f (4x 2 - y 2 ) (4xdx - ydy)于是dz = 2 f (0)(4dx - 2dy) = 4dx - 2dy .可参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计例 15-5 等题（4）已知a1, a2 为 2 维列向量，矩阵 A = (2a1 + a2 , a1 - a2 ) ， B = (a1, a2 ) 若行列式| A |= 6 ，则| B | = 答案 B = -2 。【解析与点评】本题主要考查矩阵的行列式计算. 2 1 2 1 【解】 A = (21 +

7、 2，1 - 2 ) = (1, 2 ) 1 - = B ， 1 1 -1A = B 211 = -3 B ， -1所以， B= -2 2（5）设矩阵 A = -11 ，E 为 2 阶单位矩阵，矩阵 B 满足 BA = B + 2E ，则 B = 【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，阶矩阵方程，求逆矩阵等. 【解】 由BA = B + 2E ，得 B( A - E) = 2E ，于是 -1 1 1-1 1 1-11 -1B = 2(A - E )， A - E = - ， (A - E ) = ，答案 B = 1 12 1 1 1 1 （ 6 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间

8、1, 3 上的均匀分布，由 P(maxX ,Y 1) =1【答案】9【解析与点评】 P(maxX ,Y 1) = P( X 1, Y 1) = P( X 1)P(Y 1) = 1 1 = 13 3 9考研大纲明确提出均匀分布是要求熟练掌握的重要分布之一，而最（大、小）值函数是要求熟练掌握的随机向量的函数分布。本题是这两个重要基本知识和基本技能的结合， 是我们水木艾迪历次辅导班讲课的重点。例如 36 计（冲刺班）的、强化班的、基础班的二、选择题（每小题 4 分，共 32 分）（7）设函数 y =f (x) 具有二阶导数，且 f (x) 0,f (x) 0,x 为自变量 x 在 x0 处的增量，

9、y 与dy 分别为 f (x) 在点 x0 处对应的增量与微分，若x 0 ，则【 A 】（A） 0 dy y （B） 0 y dy（C） y dy 0 （D） dy y 0, 则f (x) 严格单调增加f (x) 0, 则f (x) 是凹的，又x 0 ，故 0 dy 0 ， P( A | B) = 1 则有 【 C 】（A） P( A B) P( A) （B） P( A B) P(B)（C） P( A B) = P( A) （C） P( A B) P(B)【解析与点评】1 = P( A | B) = P( AB) / P(B) = P( AB) = P(B)P( A B) = P( A) +

10、P(B) - P( AB) = P( A)本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式。它们同样是我们历次辅导班讲课的重点。例如 36 计（冲刺班）中第一计“基本概念与基本概率公式的考查要点”的最活跃的概率公式、应用特点和作用，及例 1.1.1 对 P( A | B) 与 P(A)的讨论；强化班对应为2.1.2 和1.1.2 及例 2.2.3。(14) 设随机变量 X 服从正态分布 N ( , 2 ) ,随机变量 Y 服从正态分布 N ( , 2 ) ,且P X - 1 PY - 2 1 , 则必有 【 A 】(A)1 2 。(C)1 2【解析与点评】P(| X -1| 1) = P(| X -1

11、| / 1 1/ 1) = P(| X * | 1/ 1) ，X * 是 X 的标准化，X * N (0, 1) ，类似有P(| Y - 2| 1) = P(| Y * | 1/ 2) ， Y * N (0, 1)由标准正态分布性质及题设 P| X - 1 | P| Y - 2 | 0, y 0 ，求()g(x) =limy+f (x, y)()lim g(x) 。x0+【解析与点评】 () 将 x 视为参数， limy = 1 (x 0) ，且 limy sin x = x y+ 1 + xy xy+ y(x 0) ，于是g(x) =limf (x, y) =lim y - 1 lim (1

12、 - y sinx ) y+= 1 - 1y+ 1 + xy(1 - x) arctan x y+ yx arctan x1 1 - x()lim g(x) = lim - x0+x0+ xarctan x上式极限是 - 型未定式，首要和重要手段是通分。根据水木艾迪 2006 考研数学 36 计之一，对 - 分式极限采用程序化分析法 摸着石头过河：判断一步状态，确定一个方法，作出一步分析与计算。 对本题而言，通分后，考虑无穷小量的比较与替换，在可能的情况下运用罗必达法则， 但之前应先做予处理。 lim g(x) = limarctan x - x + x 2= limarctan x - 1

13、+ x 2 x0+x0+xarctan x1 + 2x x0+ x 2= limx0+1 + x 22x= limx0+1 + 2x(1 + x 2 ) 2x(1 + x 2 )= 0 + = 参见水木艾迪 2006 考研数学 36 计之一，例 1-4，基础班例 4.36,4.37,4.39 等例题，以及百分训练营模拟试题数一地 4 题。(16) （7 分）计算二重积分Dy 2 - xydxdy ,其中 D 是由直线 y = x , y = 1， x = 0 所围成的平面区域.【解析与点评】积分区域是直角三角形，D 的不等式表示是D = (x, y) 0 y 1,0 x y，故 y 2 - x

14、ydxdy = dyy 2 - xydx = ydyy - xdx0 0 0 0D= y -2 (y - x )3 x= ydy = = 2ydy =0 3 3 0 9 x=0这是很典型的二重积分计算题，几乎所有微积分参考书中都有。也可参见水木艾迪 2006考研数学强化班讲义第十一讲例 17(17) （10 分） 证明：当0 a b a sin a + 2 cos a + a【解析与点评】此题属于水木艾迪 2006 考研数学冲刺班 36 计之五的典型例题，即移项做辅助函数，再利用值加增减性分析法是证明等式与不等式的重要手段和技巧。做辅助函数： f (x) = x sin x + 2 cos x

15、 + x只需证明0 a x 时 f (x) 严格单调增加。f (x) = sin x + x cos x - 2 sin x + = x cosx - sinx + f (x) = cos x - x sin x - cos x = -sin x 0于是 f (x) 严格单调减少，且 f ( ) = cos + = 0 （终值）因此0 a x f ( ) = 0 ，即 f (x) 严格单调增加。令 x = b ，得到 f (b) f (a) 。参见水木艾迪 2006 考研数学冲刺班 36 计之五详细阐述的方法与例题，例 5-6，例 5-7， 例 5-8，强化班第 2 讲例 31、34、38 等

16、题。(18) （8 分）在 XOY 坐标平面上,连续曲线 L 过点M (0,1) 其上任意点 P(x, y)(x 0) 处的切线低斜率与直线 OP 的斜率之差等于ax （常数a 0 ） () 求 L 的方程: () 当 L 与直线 y = ax 所围成平面图形的面积为 83时,确定a 的值.【解析与点评】()设 L 的方程为 y = y(x) 。于是 y(1) = 0 。记 L 在点 P(x, y) 处切线斜率为k = y(x) ，直线 OP 的斜率k 1=。由题设知k - k1x= axx 。因此 y - y = ax这表明 y = y(x) 是下列一阶线性微分方程初值问题的特解： y - y = ax,x y(1) = 0方程的通解为y = edx C + axe -dx dx x令 x = 1 得= xC + a dx = Cx + ax 2