历年数学四考研数学真题详解.docx

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历年数学四考研数学真题详解

全国硕士研究生入学考试数学（四）答案解析与点评

1．06年考题仍然以基本的概念，理论和技巧为主,注意考察基础知识的理解与简单综合运用。

除概率统计比05年考题难度略有增加以外，试卷难度普遍降低，估计平均难度系数为55-62%，平均分数为80-83分；而前几年为38-45%，平均分数只有60-63分。

2．各套试题共用题目比例有较大幅度提高，在大纲要求的共同范围内难度趋于统一。

特别是数三数四连续几年并无任何经济特色，正如我们在讲座和教学中强调的那样，考的是数学，确切说是理工类数学的能力。

这是对07年考生的重要参考。

3．06年考题进一步说明了我们在水木艾迪考研辅导中教学策略的正确性，教学内容的准确性和有效性，包括基础班、强化班及考研三十六计冲刺班，对广大学员的教学引导与训练，使更大面积的考生最大限度受益。

就四套试题的全局而言，水木艾迪考研辅导教学题型、方法与技巧在06年的考试中得到完美的体现，许多试题为水木艾迪考研辅导教学或模拟试题的原题，还有大量题目仅仅有文字和符号的差别，问题类型及所含知识点与所用方法完全相同，特别是水木艾迪考研数学三十六计为广大学员提供了全盛的锐利武器。

在面向07年考研的水木艾迪考研辅导教学中，水木艾迪的全体清华大学教师将进一步总结经验，不辜负广大考生的支持和赞誉，以独树一帜的杰出教学质量回报考生朋友，为打造他们人生的U-形转弯倾心工作，送他们顺利走上成功之路。

一、填空题（每小题4分，共24分）

n+1（-1）n

（1）．lim（）=1

n→∞n

n+1n

【解析与点评】应注意：

本题并非

n+1（-1）n

lim（

n→∞

）的形式，考点为初等函数性质与极限运算。

n

令un=（n）

n=1,2,3,…,

2k-1

2k-111

则当n=2k-1时，un=（2k-1）=2k

2k+`11

=1-=1-，

2kn+1

1

则当n=2k时，un=（2k）

n+1（-1）n

=1+

2k

=1+，

n

故lim（）

n→∞n

=1。

可参见水木艾迪2006考研数学基础班讲义例1.17，例1.32，强化班例18等题目。

（2）设函数f（x）在x=2的某邻域内可导,且f'（x）=ef（x）,f

（2）=1则f''

（2）=2e3.

【解析与点评】由题设f（x）在x=2的某邻域内可导以及f'（x）=ef（x），可知f'（x）也在

x=2的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数f（x）二阶可导，且

f'（x）=[ef（x）]'=

f'（x）ef（x）=e2f（x）。

利用上式可知f'（x）也在x=2的同一邻域内可导，于是在该邻域内函数f（x）三阶可导，且f''（x）=[e2f（x）]'=2f'（x）e2f（x）=2e3f（x）。

将f

（2）=1代入即得f''

（2）=2e3.

参见水木艾迪2006考研数学36计例4-6，4-7。

百分训练营模拟试题数二第3题，

（3）设函数f（u）可微,且

dz=4dx-2dy。

f'（0）=1,则z=

2

f（4x2-y2）在点（1,2）处的全微分

【解析与点评】该题为多元函数微分学基本题。

利用一阶全微分形式不变性直接计算可得

dz=

f'（u）du=

f'（4x2-y2）⋅d（4x2-y2）

=f'（4x2-y2）⋅（8xdx-2ydy）

=2f'（4x2-y2）⋅（4xdx-ydy）

于是dz=2f'（0）（4dx-2dy）=4dx-2dy.

可参见水木艾迪2006考研数学36计例15-5等题

（4）已知a1,a2为2维列向量，矩阵A=（2a1+a2,a1-a2），B=（a1,a2）．若行列式

|A|=6，则|B|=．答案B=-2。

【解析与点评】本题主要考查矩阵的行列式计算.

⎛21⎞⎛21⎞

【解】A=（2α1+α2，α1-α2）=（α1,α2）⎜⎜1-⎟⎟=B⎜⎜⎟⎟，

⎝1⎠

⎝1-1⎠

A=B2

1

1=-3B，

-1

所以，B

=-2．

⎛2

（5）设矩阵A=⎜⎜-1

1⎞⎟，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则B=．

⎠

【解析与点评】本题主要考查矩阵运算，阶矩阵方程，求逆矩阵等.

【解】由BA=B+2E，得B（A-E）=2E，于是

-1⎛11⎞

-11⎛1

-1⎞

⎛1-1⎞

B=2（A-E）

，A-E=⎜⎜-

⎟⎟，（A-E）=⎜⎜

⎟⎟，答案B=⎜⎜

⎟⎟．

⎝11⎠

2⎝11⎠

⎝11⎠

（6）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[1,3]上的均匀分布，由

P（max{X,Y}≤1）=

1

【答案】

9

【解析与点评】P（max{X,Y}≤1）=P（X≤1,Y≤1）=P（X≤1）P（Y≤1）=1⨯1=1

339

考研大纲明确提出均匀分布是要求熟练掌握的重要分布之一，而最（大、小）值函数是要求熟练掌握的随机向量的函数分布。

本题是这两个重要基本知识和基本技能的结合，是我们水木艾迪历次辅导班讲课的重点。

例如36计（冲刺班）的、强化班的、基础班的

二、选择题（每小题4分，共32分）

（7）设函数y=

f（x）具有二阶导数，且f'（x）>0,

f'（x）>0,

∆x为自变量x在x0处的

增量，∆y与dy分别为f（x）在点x0处对应的增量与微分，若∆x>0，则【A】

（A）0

（C）∆y

【解析与点评】因为

f'（x）>0,则f（x）严格单调增加

f'（x）>0,则f（x）是凹的，又∆x>0，故0

（8）设函数f（x）在x=0处连续,且lim

h→0

f（h2）

h2

=1,则【C】

（A）f（0）=0且f-'（0）存在。

（B）f（0）=1且f-'（0）存在。

（C）

f（0）=0且f+'（0）存在。

（D）

f（0）=1且f+'（0）存在

【解析与点评】令x=h2，可得

lim

h→0

f（h2）

h2

f（x）

=lim

x→0+

f（x）x

=1。

于是lim

x→0+

f（x）=lim

x→0+

⋅x=1⋅0=0=

x

f（0）

进一步有

lim

f（x）=lim

f（x）-f（0）=

f'（0）=1。

应选C。

x→0+x

x→0+

x-0+

出自水木艾迪2006考研数学冲刺班36计例4-8，例4-9，基础班例3.4,强化班第2讲例

14。

还可参见清华大学出版社《大学数学考研清华经典备考教程微积分上》（刘坤林、谭泽光编写）第5章综例5.3.2，例5.3.3。

（9）．设函数f（x）与g（x）在[0,1]上连续，且f（x）≤g（x），且对任何c∈（0,1）【C】

（A）⎰1f（t）dt≥⎰1g（t）dt（B）⎰1f（t）dt≤⎰1g（t）dt

2222

（C）⎰cf（t）dt≥⎰cg（t）dt（D）⎰cf（t）dt≤⎰cg（t）dt

由f（x）与g（x）在[0,1]上连续，且f（x）≤g（x），所以c∈（0,1）时g（x）-f（x）≥0。

1

则对任何c∈（0,1），有⎰c（g（t）-f（t））dt≥0，即

11

⎰cf（t）dt≤⎰cg（t）dt。

故选D。

【解析与点评】本题属于积分的保序性与比较性质的简单应用，是水木艾迪2006考研数学36计中特别强调的考点与题型。

参见水木艾迪2006考研数学36计中例7-6，基础班例

6.1,强化班第4讲例27等例题。

（10）设非齐次线性微分方程y'+P（x）y=Q（x）有两个的解y1（x）,y2（x）,C为任意常数,则该方程通解是【B】

（A）C⎡⎣y1（x）-y2（x）⎤⎦。

（B）y1（x）+C⎡⎣y1（x）-y2（x）⎤⎦。

（C）C⎡⎣y1（x）+y2（x）⎤⎦。

（D）y1（x）+C⎡⎣y1（x）+y2（x）⎤⎦。

【解析与点评】该题为考查线性微分方程解的结构知识的基本题。

由线性微分方程解的性质可知y1（x）-y2（x）是齐次线性微分方程y'+P（x）y=0的一个非零解，C是一个任意常

数，y1（x）是非齐次线性微分方程一个特解，从而由线性方程通解的结构可知

y1（x）+C[y1（x）-y2（x）]是方程y'+P（x）y=Q（x）的通解。

故选B。

可参见水木艾迪2006

考研数学36计例111-7等题

（11）

''

设f（x,y）与ϕ（x,y）均为可微函数，且ϕ'（x,y）≠0.已知（x0,y0）是f（x,y）在约束条件ϕ（x,y）=0下的一个极值点，下列选项正确的是【D】

（A）若fx（x0,y0）=0,则fy（x0,y0）=0

''

（B）若fx（x0,y0）=0,则fy（x0,y0）≠0.

''

（C）若fx（x0,y0）≠0,则fy（x0,y0）=0

''

（D）若fx（x0,y0）≠0,则fy（x0,y0）≠0.

【解析与点评】【解法1】构造格朗日函数F=f（x,y）+λϕ（x,y）

⎧'

⎪xx

'（x,y）+λϕ

'（x,y）=0

x

（1）

⎪

F=f

'（x,y）+λϕ

'（x,y）=0

（2）

⎨y

⎪

⎩

⎪Fλ'=ϕ（x,y）=0

f'（x,y）

00

f'（x,y）

对

（2）由于ϕ'（x,y）≠0，得到λ=-x

=-y

00，

y00

ϕ'（x,y）ϕ'（x,y）

x00y00

从而有

fx'（x0,y0）⋅ϕy'（x0,y0）=

fy'（x0,y0）⋅ϕx'（x0,y0）

当f'（x,y）=0时，可推出f'（x,y）⋅ϕ'（x,y）=0，而由此推不出：

x00

y

00

x00

fy'（x0,y0）≠0,或fy'（x0,y0）=0，因而否定（A）,（B）。

当f'（x,y）≠0时，加上ϕ'（x,y）≠0,可推出f'（x,y）⋅ϕ'（x,y）≠0，由此可推

'

x00y00

出:

fy（x0,y0）≠0。

y00

x00

【解法2】由极值点必要条件得到

ϕ'（x,y）

=f（x,y）+f（x,y）y'

=f（x,y

）-f

（x,y

）x00=0

x00

x0

y00

x=x0

x00

y00

ϕ'（x

y0）

当f'（x,y）=0,及ϕ'（x,y）≠0时，可推出f'（x,y）⋅ϕ'（x,y）=0，而由此推不

x00

y

00

y00

x00

出：

fy'（x0,y0）≠0,或fy'（x0,y0）=0，因而否定（A）,（B）。

当f'（x,y）≠0时，加上ϕ'（x,y）≠0,可推出

x00

y00

fx'（x0,y0）⋅ϕy'（x0,y0）=fy'（x0,y0）⋅ϕx'（x0,y0）≠0，

由此可推出:

'

fy（x0,y0）≠0。

因而选（D）.

【解法3】由多元函数条件极值点必要条件的几何意义可直接由ϕy'（x0,y0）≠0和

f'（x

y0）≠0,直接得到得到f

'（x

y0

）≠0.

该题考查条件极值必要条件的一些代数性质，从代数解，除拉格伦日条件外，其它运用的都是中学代数知识.若从多元函数条件极值点必要条件的几何意义来考查，做法就很筒

单，有关用这方面内容来设计的题目,可参见水木艾迪2006考研数学36计例16-1.

（12）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2

⎛110⎞

列得C，记P=⎜010⎟，则

⎜001⎟

（A）C=P-1AP.

（B）C=PAP-1.

（C）C=PTAP.

（D）C=PAPT.

【B】

【解析与点评】本题主要考查矩阵的初等变换，初等矩阵，以及初等变换和初等矩阵的联系.水木艾迪辅导班春季班强化班都有专题进行辅导。

只要掌握我们的例题的分析方法，这类题就能迎刃而解。

⎛110⎞

⎜⎟

⎛1-10⎞

⎜⎟

解：

依题意，⎜01

0⎟A=B，B⎜01

0⎟=C，

⎛11

⎜

⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠

0⎞⎛1-10⎞

⎟⎜⎟-1-1

又⎜010⎟=P，⎜010⎟=P，于是C=PAP

．选（B）．

⎜⎟⎜

⎝⎠⎝⎠

（13）A,B为两个随机事件，且P（B）>0，P（A|B）=1则有【C】

（A）P（A⋃B）>P（A）（B）P（A⋃B）>P（B）

（C）P（A⋃B）=P（A）（C）P（A⋃B）>P（B）

【解析与点评】1=P（A|B）=P（AB）/P（B）==>P（AB）=P（B）

P（A⋃B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）

本题考条件概率的概念和概率的一般加法公式。

它们同样是我们历次辅导班讲课的重点。

例如36计（冲刺班）中第一计“基本概念与基本概率公式的考查要点”的最活跃的概率公式、应用特点和作用，及例1.1.1对P（A|B）与P（A）的讨论；强化班对应为§2.1.2和§1.1.2及例2.2.3。

（14）

设随机变量X服从正态分布N（μ,σ2）,随机变量Y服从正态分布N（μ,σ2）,且

P{X-μ1

<1}>P{Y-μ2

<1},则必有【A】

（A）

σ1<σ2。

（B）

σ1>σ2。

（C）

μ1<μ2

。

（D）

μ1>μ2

【解析与点评】P（|X-μ1|<1）=P（|X-μ1|/σ1<1/σ1）=P（|X*|<1/σ1），X*是X的标准化，

X*~N（0,1），类似有

P（|Y-μ2|<1）=P（|Y*|<1/σ2），Y*~N（0,1）

由标准正态分布性质及题设P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1},

知选A。

本题考点：

正态分布的基本性质和正态分布的标准化技巧。

我们历次辅导班都讲“正态分布是天下最重要的分布”，而“标准化是正态分布的行之有效的重要技巧”。

课的重点。

例如36计（冲刺班）中第一计“”、强化班的、基础班的

三、解答题（共94分）

（15）（7分）设f（x,y）=

y

1+xy

1-ysinπx

-y

arctanx

x>0,y>0，求

（Ⅰ）

g（x）=

lim

y→+∞

f（x,y）

（Ⅱ）

limg（x）。

x→0+

【解析与点评】（Ⅰ）将x视为参数，lim

y=1

（x>0），且lim

ysinπx=πx

y→+∞1+xyx

y→+∞y

（x>0），

于是

g（x）=

lim

f（x,y）=

limy-1

lim（1-ysin

πx）

y→+∞

=1-1

y→+∞1+xy

（1-πx）

arctanxy→+∞y

xarctanx

11-πx

（Ⅱ）

limg（x）=lim[-]

x→0+

x→0+x

arctanx

上式极限是∞-∞型未定式，首要和重要手段是通分。

根据水木艾迪2006考研数学36计之一，对∞-∞分式极限采用程序化分析法摸着石头过河：

判断一步状态，确定一个方法，作出一步分析与计算。

对本题而言，通分后，考虑无穷小量的比较与替换，在可能的情况下运用罗必达法则，但之前应先做予处理。

limg（x）=lim

arctanx-x+πx2

=lim

arctanx-1+πx2

x→0+

x→0+

x

arctanx

1+2πx

x→0+x2

=lim

x→0+

1+x2

2x

=lim

x→0+

1+2πx（1+x2）

2x（1+x2）

=0+π=π

参见水木艾迪2006考研数学36计之一，例1-4，基础班例4.36,4.37,4.39等例题，以及

百分训练营模拟试题数一地4题。

（16）（7分）计算二重积分⎰⎰

D

y2-xydxdy,其中D是由直线y=x,y=1，x=0所

围成的平面区域.

【解析与点评】积分区域是直角三角形，D的不等式表示是

D={（x,y）0≤y≤1,0≤x≤y}，

故⎰⎰

y2-xydxdy=⎰dy⎰

y2-xydx=⎰

ydy⎰

y-xdx

0000

D

=y⎛-2（

y-x）3⎞

x=y

dy==2

ydy=

⎰0⎜3

⎟3⎰09

⎝⎠x=0

这是很典型的二重积分计算题，几乎所有微积分参考书中都有。

也可参见水木艾迪2006

考研数学强化班讲义第十一讲例17

（17）

（10分）证明：

当0asina+2cosa+πa

【解析与点评】此题属于水木艾迪2006考研数学冲刺班36计之五的典型例题，即移项做辅助函数，再利用值加增减性分析法是证明等式与不等式的重要手段和技巧。

做辅助函数：

f（x）=xsinx+2cosx+πx

只需证明0

f'（x）=sinx+xcosx-2sinx+π

=xcos

x-sin

x+π

f'（x）=cosx-xsinx-cosx=-sinx<0

于是f'（x）严格单调减少，且f'（π）=πcosπ+π=0（终值）

因此0

f'（x）>

f'（π）=0，即f（x）严格单调增加。

令x=b，得到f（b）>

f（a）。

参见水木艾迪2006考研数学冲刺班36计之五详细阐述的方法与例题，例5-6，例5-7，例5-8，强化班第2讲例31、34、38等题。

（18）（8分）在XOY坐标平面上,连续曲线L过点M（0,1）其上任意点P（x,y）（x≠0）处的切线低斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）

（Ⅰ）求L的方程:

（Ⅱ）当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为8

3

时,确定a的值.

【解析与点评】（Ⅰ）设L的方程为y=y（x）。

于是y

（1）=0。

记L在点P（x,y）处切线斜率

为k=y'（x），直线OP的斜率k1=

。

由题设知k-k1

x

=axx。

因此y'-y=a

x

这表明y=y（x）是下列一阶线性微分方程初值问题的特解：

⎧y'-y=ax,

⎪

x

⎨

⎪⎩y

（1）=0

方程的通解为

y=e⎰

dx[C+⎰axe-⎰

dxdxx

令x=1得

=x[C+a⎰dx]=Cx+ax2