一元二次不等式及解法知识梳理及典型练习试题.docx

1、一元二次不等式及解法知识梳理及典型练习试题一元二次不等式及其解法尊点械理F * 2 21.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为 axb(az0)的形式.当a0时，解集为 ；当av 0时，解集为 .2.一元二次不等式及其解法(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的不等式，称为 不等式.(2)使某个一元二次不等式成立的 x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 .(3)一元二次不等式的解：函数与不等式 0 = 0 v 0二次函数 y = ax2 + bx + c (a0)的图象oy丄一兀二次方程2

2、ax + bx+ c = 0(a0)的根有两相异实根X1 , X2(X1 0(a0)的解集Rax2 + bx+ c v 0(a0)的解集 X| X1 v xv X2?3.分式不等式解法f ( x)(1)化分式不等式为标准型.方去：移项，通分，右边化为。，左边化为k的形式.(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如:基础自测 小苒殳* 书可小谨0 ( 2014 课标 I )已知集合 A= X|X2 2x 3,0, B= x| 20 的解集为( )A.x|x R B. x| x工 1, x RC.x|x 1 D. x| xw 1解：f( 1)= 1 b+ 1 = 2 b, f(3) = 9+ 3b

3、+ 1= 10+ 3b,由 f ( 1) = f(3)，得 2 b= 10 + 3b,解出b= 2，代入原函数，f (x)0即x2 2x+ 10, x的取值范围是x Ml.故选B.1 1已知一2-2,则x的取值范围是( )亠 1 1A. 2x0 或 0x2 B. 2x21 1C.x2 D.x21解：当 x0 时，x2；当 x0 时，x 2.1所以x的取值范围是x2,故选D.G不等式1x+2 0的解集是 .1 2解：不等式1 0等价于(1 2x)( x+ 1) 0,1 1也就是 x 2 ( +1) 0，所以1v x .1故填 x| 1 2, x R .30 ( 2014 武汉调研)若一元二次不等

4、式2kx2 kx 30,贝y只须(2 + x) ma8k，解得k ?；若k 0，则只须8k (2 + x) min,解得k ( 3, 0).故k的取值范围是(一3, 0).故填(一3, 0).1，求关于的类型一 一元一次不等式的解法已知关于 的不等式（a+ b）x+ 2a 3b 0的解集.解：由（a+ b） x0，即 b0,将 a = 2b 代入(a 3b)x+ b-2a0,得bx 3b 0, xv 3,故所求解集为(a, 3).点拨：一般地，一元一次不等式都可以化为 axb(az0)的形式.挖掘隐含条件 a+ b0且3b2a = 1是解本题的关键.a+ b 3A代0 解关于x的不等式：(卅一

5、4) xv m+ 2.解：(1)当斥一4 = 0即m= 2或m= 2时，1当m= 2时，原不等式的解集为？，不符合2当m= 2时，原不等式的解集为 R,符合(2)当 m 4 0 即 mv 2或 m2 时，xv .n 22 1(3)当 m 4 .m- 2类型二一元二次不等式的解法口解下列不等式：2 2(1)x 7x+ 120; (2) x 2x+ 30;2 2(3) x 2x+ 1 v 0; (4) x 2x+ 2 0.解：(1) x| x v 3 或 x 4.(2) x| 3 xw 1.(3)?.(4)因为 0,1)f (x+1) 1的解集是( )A.x| 1 x 2 1 B. x|x 1C.

6、x|x 2 1 D. x| 2 1 x 2 1解：由题意得不等式 x + (x + 1)f (x + 1) 1等价于x +1 v 0, 亠或x +(x + 1) ( x + 1 ) + 1 0 ,x +(x + 1) (x + 1) 1 1,解不等式组得xv 1;解不等式组得1 x 2 1.故原不等式的解集是x| x ,2 1.故选C.类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于x的不等式x2 bx+ c0的解集是x| 5 x0的解集为x|2 vxv 3，求不等式 ex2 bx+ a0的解集2解：.不等式 ax + bx + c0的解集为x|2 vxv 3, av 0,且2和3是方程ax

7、2+ bx+ c= 0的两根，由根与系数的关系得-=2+3,代入不等式cx2 b2即 6x + 5x + 1 v 0,av 0.cx2 bx+ a 0,得 6ax2 + 5ax+ a0( av 0).所求不等式的解集为 x| xv 3 .解关于x的不等式：mx （m+ 1）x+ 1 v 0.解：（1） m= 0时，不等式为一（x 1） v 0,得x 1 0，不等式的解集为x| x 1；（2）当 m0 时，不等式为 mx m（x 1） v 0.左 11当mv 0,不等式为 x （x 1） 0,m1 1亠 mv 1,二不等式的解集为xi xv或x 1.12当m0,不等式为 x （x 1） v 0.

8、m1 1（i）若m 1时，不等式的解集为xi mv xv 1 ；1 1（n ）若 1即0v mv 1时，不等式的解集为 x|1 v xvm m1（川）若m= 1即m= 1时，不等式的解集为？.点拨：当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对仃话0与m= 0进行讨论，这是第一层次；第二层次： x2的系数正负（不等号方向）1的不确定性，对*0与存0进行讨论；第三层次：m与 1大小的不确定性，对*仁1与m= 1进行讨论.代。解关于x的不等式ax2 22 x-ax(a R). 解：不等式整理为 ax2 + (a 2) x 2 0, 当a = 0时，解集为(一

9、g, 1.2 2当aM0时，ax + (a 2)x 2= 0的两根为一1, 一，所以当a0时,a2 解集为( g, 1 U , ；a2 当一2v av 0时，解集为/ 1 ;当a= 2时，解集为x|x = 1;2 当av 2时，解集为 一1, .类型五分式不等式的解法口(1)解不等式27三1.x 1 x 1 x 2 x + 2解： 1 ? K 0 ? 0解: 2x +1 2x +1 0 - 2x +1 0 - 2x +1 0x+ 2 (x+ 2)( 2x+ 1) 0, 0 ?2x+ 1 2x + 1工0.1得xx 2或 x 0的解集是 .(x 2)( x+ 2)( x+ 1) 0,数轴标根得x

10、| 2vxv 1或x2, 故填x| 2v xv 1 或 x2.点拨：分式不等式可以先转化为简单的高次不等式， 再利用数轴标根法写出不等式的解集， 如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零 用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：使得右端为 0(注意：一定要保证 x的最高次幕的项的系数为正数 ).(2)求根：就 是求出不等式所对应的方程的所有根 .(3)标根：在数轴上按从左到右 (由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可).(4)画穿根线：从数轴“最右根”的 右上 方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根，一上一下依次穿过各根 ，“奇穿偶不穿”来记忆.(5

11、)写出不等式的解集：若不等号为“”，则取数轴上方穿根线以内的范 围；若不等号为“V” ，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“=”号，写解集时要考虑分母不能为零x (x 2) 0,解：易知Ax| -1 x 1，B集合就是不等式组x丰0 的解集，求出B=x|0 vx2 ，所以 An B= x|0 vx 1.故选 B.x 1不等式条0的解集为(x 1)( 2x + 1 ) 0,2x+ 1工0得一2x x2 1,由于x 0, ,1 1 1 a x + - . v f(x) = x+ -在 0,-上是减函数，x 21 5 5x max= a 2(2)已知对于任意的 a 1, 1,函数f(x)

12、= x + (a 4)x + 4 2a的值总大于0，则x 的取值范围是( )A.1 v xv 3 B.x v 1 或 x 3C.1 v xv 2 D.x v 1 或 x 2解：记 g(a) = (x 2)a+x 4x+ 4, a 1, 1,g (1 ) 0, x 3x + 20,依题意，只须 ？ 2 ? xv 1或x 3,故选B.g ( 1) 0 x 5x + 60点拨：对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，把关于X的二次不等式转换为关于 a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出x的取值范围L Q 对于满足| a| 2x + a成立的x的

13、取2 2 (x- 1)a+ X -2x+ 1 0，设 f(a) = (x- 1)a + x -2x + 1,则 f(a)类型七二次方程根的讨论ELi 若方程2ax2 - x -1 = 0在(0 , 1)内有且仅有一解，则 a的取值范围是(A. a1C. - 1a1 D.0 a 1.解法二：当a= 0时，x = - 1，不合题意，故排除 C, D；当a=-2时，方程可化为4x2 + x + 1 = 0,而= 1 - 16v 0,无实根，故 a=- 2不适合，排除 A.故选B.课时作业|叠场*卜映孩凤电持x 一 21.不等式 0的解集是( )x + 1A.( a, 1) U ( - 1 , 2 B

14、. - 1, 2C.( -a, - 1) U 2 ,+a) D.( - 1, 2x- 2 解：x 0? (x+ 1) (x-2) 0，若此不等式的解集为 xv 2 ,则m的取值范围是( )A. m 0 B.0 v nv 21C.n D.n0解：由不等式的解集形式知 nv 0.故选D.13. (2013 安徽)已知一元二次不等式 f(x)0的解集为x| x2，则f(10x)0的解集为( )A. x|xlg2 B. x| - 1x lg2 D. x| x lg21 1 1 解：可设 f(x) = a(x + 1) x-(a0 可得(10x+ 1) 10x-? 0,从而 10x?,2300 m的内接

15、解得x 300,解得 10W x0在(1 , 4)内有解，则实数a的取值范围是( )A. a4C.a12 D.a0在(1 , 4)内有解，即 av 2x 8x 4在(1 , 4)2 2内有解，令 f(x) = 2x 8x 4= 2(x 2) 12,当 x= 2 时，f(x)取最小值 f(2) = 12;当 x= 4 时，f (4) = 2(4 2) 12= 4,所以在(1 , 4) 上, 120对x (1 , 2)恒成立，贝U实数k的取值范围是 .解：T x (1 , 2) , x 10.则 x2 kx + k 1 = (x 1)( x + 1 k)0 ,等价于 x + 1 k0,即kx+ 1

16、恒成立，由于 2x+13，所以只要kw2即可.故填(g, 2.7.(2014 江苏)已知函数f (x) = x2+ mx- 1，若对于任意x m m 1，都有f (x) v 0成立，则实数m的取值范围是 .2f ( m = 2m 1 v 0,解：由题可得f (x) v 0对于xm m 1恒成立，即 2 解得f (m 1 )= 2m + 3mv 0, v mv 0.故填石2 0 .8.若关于x的不等式x2 ax a2.9.已知二次函数f (x)的二次项系数为 a,且不等式f (x) 2x的解集为(1 , 3).(1)若方程f (x) + 6a= 0有两个相等的实根，求 f (x)的解析式；(2)

17、若f(x)的最大值为正数，求 a的取值范围.解：(1) T f(x) + 2x 0 的解集为(1 , 3), f (x) + 2x= a(x 1)( x 3)，且 av 0.因而 f (x) = a(x 1)( x 3) 2x=ax (2 + 4a) x + 3a.2由方程 f (x) + 6a= 0 得 ax (2 + 4a)x + 9a = 0.因为方程有两个相等的实根，所以2 = (2 + 4a) 4a 9a= 0,即 5a 4a 1 = 0,解得 a= 1 或 a=51由于av 0,舍去a= 1，将a= 5代入得f(x)的解析式f(x) = (2)由 f (x) = ax2 2(1 +

18、 2a) x + 3a= a x 1 + 2aa2 , /a + 4a+ 1及av0,可得f(x)的最大值为一2 , “a +4a+ 1a2 , “a + 4a + 1 0,由 a 解得 av 2寸3或一2+ J3v av 0.av 0,故当f(x)的最大值为正数时，实数 a的取值范围是(3 2 3) U ( 2 + 3, 0).10.解关于x的不等式：a(x-J) 1(a0).x 2解：(x 2)( a 1)x + 2 a 0,a 2当 av 1 时有(x 2) x v 0,a 2a 1a I若01 2,即 0v av 1 时，解集为x|2 vxv a 1a 2若苛=2,即a= 0时，解集为?；a2a1v2,即av 0时，解集为x|a 2 a1v xv 2.