一元二次不等式及解法知识梳理及典型练习试题.docx

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一元二次不等式及解法知识梳理及典型练习试题

一元二次不等式及其解法

尊点械理F*22

1.一元一次不等式解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b（az0）的形式.

当a>0时，解集为；当av0时，解集为.

2.一元二次不等式及其解法

（1）我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为

不等式.

（2）使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等

式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的.

（3）一元二次不等式的解：

函数与不等式

△>0

△=0

△v0

二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图象

~~o

y

丄

一兀二次方程

2

ax+bx+c=0

（a>0）的根

有两相异实根

X1,X2（X1

有两相等实根

b

X1=X2=——

2a

无实根

ax2+bx+c>0

（a>0）的解集

①

②

R

ax2+bx+cv0

（a>0）的解集

{X|X1vxvX2}

?

③

3.分式不等式解法

f（x）

（1）化分式不等式为标准型.方去：

移项，通分，右边化为。

，左边化为k的形式.

（2）

将分式不等式转化为整式不等式求解，如:

基础自测小苒殳*书可小谨

0（2014•课标I）已知集合A={X|X2—2x—3,0},B={x|—2

（）

A.[—2,—1]B.[—1,2）

C.[—1,1]D.[1,2）

解：

•A={x|x》3或xw—1},B={x|—2wxv2}，…AnB={x|—2wxw—1}=[—2,—1]・故选A

O设f（x）=x2+bx+1且f（—1）=f（3），则f（x）>0的解集为（）

A.{x|x€R}B.{x|x工1,x€R}

C.{x|x>1}D.{x|xw1}

解：

f（—1）=1—b+1=2—b,f（3）=9+3b+1=10+3b,

由f（—1）=f（3），得2—b=10+3b,

解出b=—2，代入原函数，f（x）>0即x2—2x+1>0,x的取值范围是xMl.故选B.

11

©已知一2<-<2,则x的取值范围是（）

亠11

A.—2

11

C.x<—㊁或x>2D.x<—2或x>2

1

解：

当x>0时，x>2；当x<0时，x<—2.

1

所以x的取值范围是x<—2或x>2,故选D.

G不等式1x+2—>0的解集是.

1—2—

解：

不等式1>0等价于（1—2x）（x+1）>0,

11

也就是x—2（—+1）<0，所以—1vx<^.

1

故填x|—1<—<2,x€R.

3

0（2014•武汉调研）若一元二次不等式2kx2—kx—3<0对一切实数—都成立，则k的

8

取值范围为.

2332

解：

显然kM0.若k>0,贝y只须（2—+x）ma—<8k，解得k€?

；若k<0，则只须8k<（2—+x）min,解得k€（—3,0）.故k的取值范围是（一3,0）.故填（一3,0）.

1，求关于—的

类型一一元一次不等式的解法

已知关于—的不等式（a+b）x+2a—3b<0的解集为一g,

不等式（a—3b）x+b—2a>0的解集.

解：

由（a+b）x<3b—2a的解集为一^,

从而a=2b,贝Ua+b=3b>0，即b>0,

将a=2b代入（a—3b）x+b-2a>0,

得—bx—3b>0,xv—3,故所求解集为（—a,—3）.

点拨：

一般地，一元一次不等式都可以化为ax>b（az0）的形式.挖掘隐含条件a+b>0且

3b—2a=—1是解本题的关键.

a+b3

A代0解关于x的不等式：

（卅一4）xvm+2.

解：

（1）当斥一4=0即m=—2或m=2时，

1当m=—2时，原不等式的解集为？

，不符合

2当m=2时，原不等式的解集为R,符合

（2）当m—4>0即mv—2或m>2时，xv.

n—2

21

（3）当m—4<0即一2vnv2时，x>.

m-2

类型二一元二次不等式的解法

口》解下列不等式：

22

（1）x—7x+12>0;

（2）—x—2x+3>0;

22

（3）x—2x+1v0;（4）x—2x+2>0.

解：

（1）{x|xv3或x>4}.

（2）{x|—3

（3）?

.

（4）因为△<0,可得原不等式的解集为R

—x+1,xv0,（2013•金华十校联考）已知函数f（x）=则不等式x+（x+

x—1,x>0,

1）f（x+1）<1的解集是（）

A.{x|—1

C.{x|x<2—1}D.{x|—2—1

解：

由题意得不等式x+（x+1）f（x+1）<1等价于①

x+1v0,亠

或

x+（x+1）[—（x+1）+1]<1

-x+1>0,

②

x+（x+1）[（x+1）—1]<1,

解不等式组①得xv—1;解不等式组②得—1

故原不等式的解集是{x|x<,2—1}.故选C.

类型三二次不等式、二次函数及二次方程的关系

已知关于x的不等式x2—bx+c<0的解集是{x|—5

解：

•.•不等式x2—bx+cW0的解集是{x|—5wxw1},•••xi=—5,X2=1是x2—bx+c=0的两个实数根，

n代0已知不等式ax2+bx+c>0的解集为｛x|2vxv3｝，求不等式ex2—bx+a>0

的解集

2

解：

•.•不等式ax+bx+c>0的解集为｛x|2vxv3｝,

•av0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系得

—-=2+3,

代入不等式cx2—b

2

即6x+5x+1v0,

av0.

cx2—bx+a>0,得6ax2+5ax+a>0（av0）.

•所求不等式的解集为x|—xv—3.

解关于x的不等式：

mx—（m+1）x+1v0.

解：

（1）m=0时，不等式为一（x—1）v0,得x—1>0，不等式的解集为｛x|x>1｝；

（2）当m^0时，不等式为mx—m（x—1）v0.

左1

1当mv0,不等式为x—（x—1）>0,

m

11亠

•••mv1,二不等式的解集为xixv或x>1.

1

2当m>0,不等式为x——（x—1）v0.

m

11

（i）若m<1即m>1时，不等式的解集为ximvxv1；

11

（n）若>1即0vmv1时，不等式的解集为x|1vxv

mm

1

（川）若m=1即m=1时，不等式的解集为？

.

点拨：

当x2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不

等式，即对仃话0与m=0进行讨论，这是第一层次；第二层次：

x2的系数正负（不等号方向）

1

的不确定性，对*0与存0进行讨论；第三层次：

m与1大小的不确定性，对*仁1

与m=1进行讨论.

代。

解关于x的不等式ax2—2>2x-ax（a€R）.解：

不等式整理为ax2+（a—2）x—2>0,当a=0时，解集为（一g,—1].

22

当aM0时，ax+（a—2）x—2=0的两根为一1,一，所以当a>0时,

a

2解集为（—g,—1]U,；

a

2当一2vav0时，解集为/—1;

当a=—2时，解集为{x|x=—1};

2当av—2时，解集为一1,.

类型五分式不等式的解法

口》

（1）解不等式2^7^三1.

x—1x—1—x—2x+2

解：

<1?

—K0?

<0?

>0

解:

2x+12x+1'0-2x+10-2x+10

x+2（x+2）（2x+1）>0,

>0?

2x+12x+1工0.

1

得{xx>—2或x<—2}.

x一2

探

（2）不等式x2+$+2>0的解集是.

（x—2）（x+2）（x+1）>0,

数轴标根得{x|—2vxv—1或x>2},故填{x|—2vxv—1或x>2}.

点拨：

分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如

果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零•※用“数轴标根法”解不等式的步骤：

（1）移项：

使得右端为0（注意：

一定要保证x的最高次幕的项的系数为正数）.

（2）求根：

就是求出不等式所对应的方程的所有根..（3）标根：

在数轴上按从左到右（由小到大）依次标出

各根（不需标出准确位置，只需标出相对位置即可）.（4）画穿根线：

从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根"，一上一下依次穿过各根，“奇穿

偶不穿”来记忆.（5）写出不等式的解集：

若不等号为“〉”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“V”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“=”号，写解

集时要考虑分母不能为零

x（x—2）<0,

解：

易知A{x|-1

{x|0vx<2}，所以AnB={x|0vx<1}.故选B.

x—1

⑵不等式条0的解集为（

（x—1）（2x+1）<0,

2x+1工0

得一2

类型六和一元二次不等式有关的恒成立问题

口》

（1）若不等式x2+ax+1A0对于一切x€0,2成立，则a的最小值为（

5

A.0B.—2C.—D.—32

21

解：

不等式可化为ax>—x2—1,由于x€0,,

111

•••a>—x+-.vf（x）=x+-在0,-上是减函数，

x—2

155

xmax=—•a>—

2

（2）已知对于任意的a€[—1,1],函数f（x）=x+（a—4）x+4—2a的值总大于0，则x的取值范围是（）

A.1vxv3B.xv1或x>3

C.1vxv2D.xv1或x>2

解：

记g（a）=（x—2）a+x—4x+4,a€[—1,1],

g

（1）>0,x—3x+2>0,

依题意，只须？

2?

xv1或x>3,故选B.

g（—1）>0x—5x+6>0

点拨：

对于参数变化的情形，大多利用参变量转换法，即参数转换为变量；变量转换为参数，

把关于X的二次不等式转换为关于a的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调

性，求出x的取值范围

L'Q对于满足|a|<2的所有实数a,求使不等式X+ax+1>2x+a成立的x的取

22

（x-1）a+X-2x+1>0，设f（a）=（x-1）a+x-2x+1,则f（a）

类型七二次方程根的讨论

ELi若方程2ax2-x-1=0在（0,1）内有且仅有一解，则a的取值范围是（

A.a<-1B.a>1

C.-1

解法一：

令f（x）=2ax-x-1，贝yf（0）•f

（1）v0，即一1x（2a-2）v0,解得a>1.

解法二：

当a=0时，x=-1，不合题意，故排除C,D；当a=-2时，方程可化为4x2+x+1=0,而△=1-16v0,无实根，故a=-2不适合，排除A.故选B.

课时作业|叠场*卜映孩凤电持

x一2

1.不等式<0的解集是（）

x+1

A.（—a,—1）U（-1,2]B.[-1,2]

C.（-a,-1）U[2,+a）D.（-1,2]

x-2解：

x—<0?

（x+1）（x-2）<0,且xm—1,即x€（-1,2]，故选D.

I

1

2.关于x的不等式（mx-1）（x-2）>0，若此不等式的解集为xv2,则m的取值

范围是（）

A.m>0B.0vnv2

1

C.n>D.n<0

解：

由不等式的解集形式知nv0.故选D.

1

3.（2013•安徽）已知一元二次不等式f（x）<0的解集为x|x<-1或x>2，则f（10x）>0的

解集为（）

A.{x|x<-1或x>lg2}B.{x|-1

C.{x|x>—lg2}D.{x|x<—lg2}

111解：

可设f（x）=a（x+1）x-（a<0），由f（10x）>0可得（10x+1）10x-?

<0,从而10x

2

300m的内接

解得x<-lg2，故选D.

4.（2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于

矩形花园（阴影部分）,

则其边长x（单位:

A.[15，20]B.[12，25]

C.[10，30]D.[20，30]

x40—y

解：

设矩形的另一边为小依题意得矿百，即y=40-x.

所以x（40—x）>300,解得10Wx<30.故选C.

5.若关于x的不等式2x2—8x—4—a>0在（1,4）内有解，则实数a的取值范围是（）

A.a<—12B.a>—4

C.a>—12D.a<—4

解：

关于x的不等式2x—8x—4—a>0在（1,4）内有解，即av2x—8x—4在（1,4）

22

内有解，令f（x）=2x—8x—4=2（x—2）—12,当x=2时，f（x）取最小值f

（2）=—12;当x=4时，f（4）=2（4—2）—12=—4,所以在（1,4）上,—12

6.若不等式x2—kx+k—1>0对x€（1,2）恒成立，贝U实数k的取值范围是.

解：

Tx€（1,2）,•••x—1>0.则x2—kx+k—1=（x—1）（x+1—k）>0,等价于x+1—k>0,

即k

7.（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx-1，若对于任意x€[mm^1]，都有f（x）v0

成立，则实数m的取值范围是.

2

f（m=2m—1v0,

解：

由题可得f（x）v0对于x€[mm^1]恒成立，即2解得

f（m^1）=2m+3mv0,

—^~vmv0.故填—石20.

8.若关于x的不等式x2—ax—a<—3的解集不是空集，求实数a的取值范围.

解：

x2—ax—aw—3的解集不是空集？

x2—ax—a+3=0的判别式0,解得aw—6

或a>2.

9.已知二次函数f（x）的二次项系数为a,且不等式f（x）>—2x的解集为（1,3）.

（1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；

（2）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围.

解：

（1）Tf（x）+2x>0的解集为（1,3）,

•f（x）+2x=a（x—1）（x—3），且av0.

因而f（x）=a（x—1）（x—3）—2x

=ax—（2+4a）x+3a.①

2

由方程f（x）+6a=0得ax—（2+4a）x+9a=0.②

因为方程②有两个相等的实根，所以

2

△=[—（2+4a）]—4a・9a=0,

即5a—4a—1=0,解得a=1或a=—]

5

1

由于av0,舍去a=1，将a=—5代入①得f（x）的解析式

f（x）=—¥

（2）由f（x）=ax2—2（1+2a）x+3a=ax—

1+2a

a

2,/

a+4a+1

及av0,可得f（x）的最大值为一

2,“

a+4a+1

a

2,“

a+4a+1

>0,

由a解得av—2—寸3或一2+J3vav0.

av0,

故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是

（—3—2—3）U（—2+3,0）.

10.解关于x的不等式：

a（x-J）>1（a>0）.

x—2

解：

（x—2）[（a—1）x+2—a]>0,

a—2

当av1时有（x—2）x—v0,

a—2

a—1

a—I

若0—1>2,即0vav1时，解集为{x|2vxva—1

a—2

若苛=2,即a=0时，解集为?

；

a—2

a—1

v2,即av0时，解集为｛

x|

a—2a—1vxv2}.