高级微观经济学13章框架.docx

1、高级微观经济学13章框架第1-3章：消费者理论一、形式化表述分析消费者偏好的性质（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等）*二、效用函数存在性证明。请参考教材三、 表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为p1 （2, 4）时，其 需求为x1 （ 1，2）。当价格为p2 （6，3）时，其需求为x2 （2，1），该消 费者是否满足显示性偏好弱公理。如果x2 （ 1.4, 1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。解答：p1x1 2*1 4*2 10 p1x2 2*2 4* 1 8消费束1偏好于消费束2p2x1 6*

2、1 3*2 12 p2x2 6* 2 3*1 15消费束2偏好于消费束1违反了显示性偏好弱公理。如果 x2 （ 1.4，1）时：p1x1 2* 1 4* 2 10 p1x2 2* 1.4 4* 1 6.8 消费束 1 偏好于消费束 2p2x1 6* 1 3* 2 12 p2x2 6*1.4 3* 1 11.4消费束1在价格2的情况下买不起。符合显示性偏好弱公理。四、 效用函数u（x1,x2） x1，求瓦尔拉斯需求函数解答：maxu（X1,X2） X1 s.t.P1X1 P2X2 w 从效用函数 u（xX2） X1 可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品 1，对

3、商品2的需求为0，X2 0，X1 P1max u（x1 ,x2） max P2X2 ，此时x2 0, Xt （源于消费束的非负限制 ）Pi Pi Pi实际上，这是一个边角解，1五、设效用函数U（xi, x2） （xi x2 ），其中0 1 ；这就是常（或不变）替代弹性（CES）效用函数。求：（1） 瓦尔拉斯需求函数；（2） 间接效用函数；（3） 验证间接效用函数关于价格与收入是零次齐次的；（4） 验证间接效用函数关于收入 y是递增的，关于价格p是递减的；（5） 验证罗伊恒等式；（6） 求希克斯需求函数；（7） 求支出函数；（8） 从它对应的间接效用函数推导出支出函数，及从支出函数推导出间接效用

4、 函数。（9） 验证 hi（p,u） Xi（p,e（p,u）（对偶定理）（1）求瓦尔拉斯需求函数列出拉格朗日函数：L（Xi,X2, ） （Xi X2） （y PiXi P2X2）三个一阶条件：y PiXip2x2 0整理，得：xi X2(P)i( iP2 ； y PiXi p2x2求解，得：i ( i) Pi( */p( i) /( i)Pi 丿 P2上式就是消费者的瓦尔拉斯需求函数。 如果定义r ( 。,便可将瓦尔拉斯 需求函数化简为:rP2 yr rPi P2rPi yXi(P,y) = 7 X2(p,y)Pi P2 7(2)求间接效用函数将上述两个瓦尔拉斯需求函数代入直接效用函数，可得间

5、接效用函数：v(P,y) (Xi(P,y) (X2(p,y)r i r(pi y) ( p2 y) fr r r r r r irPi P2 Pi P2 y(Pi P2)(3)验证间接效用函数关于价格和收入的零次齐次性；v(tp,ty) ty(tp i)r (tp2)r) ir y(p； p；)irv(p,y)(4)验证间接效用函数关于收入 y是递增的，关于价格p是递减的，对它求关于收入与任何价格的微分，得：皿(p； P2)ir 0yV( p, y) r r ( 1 r) 1 r 1(Pi P2) yPi 0,i 1,2Pi(5)验证罗伊等式：间接效用函数对价格求导除以间接效用函数对收入求导，

6、别忘了乘 -1!(1)r v(p,y) Pi ( 1) (p； p2)( 1 r) ；yPir 1(l) ( ； r r、1 rv(p,y) y (Pi P2)r 1Xi(p, y),i 1,2Pi P2(6)求解支出最小化问题s.t. u (xi x2) 0其拉格朗日函数为:X2通过消去，这些式子被简化为:令r ( 1)，可解出希克斯需求函数: hi(p,u) u(p； p2)(1/r) 1P； 1h2(p,u) u(pir p；)(1/r)1 p；1（7）将希克斯需求函数代入目标函数，可得支出函数:e（p,u） Pihi（p,u） p；h；（p,u）r r （1/r） 1 r 1 r r

7、（1/r） 1 r 1 . r r、1/rUPi（Pi p；） P1 up；（P1 p；） p； U（P1 p；）（8）从间接效用函数推导出支出函数间接效用函数为：v（p, y） y（p1 p；）将v（p, y）替换为u，解出yu y（p； p；）1/r； y u（p； p；）1/r再将y替换为e（p, u），得到支出函数为：e（p,u） u（p； p；）1/r从支出函数推导出间接效用函数支出函数为：e（p，u） u（pr p；）1/r将u替换为v（p,y），将e（p,u）替换为y，解出V（p,y）。y v（p，y）（Pir p；）1/r v（p，y） y（p； p；）1/r（9）瓦尔拉斯需求

8、函数为:xdp, y)r 1P1 yr rP1 p；，将y替换为支出函数得：Mp, y)r 1 r 1 r r 1/rP1 e(p,u) P1 u(p1 p；)r r r rP1 p； P1 p；P； 1u（p| p；）（1/r） 1 hgu）1六、效用函数u（x1 ,x；） （x1 X；），对其求1、 瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数；2、 希克斯需求函数，支出函数。答案：wp2 1 w，v( P1, P2 , w)P1 1 P2 1 (P1 P2)七、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化 描述，说明其性质，*并证明其中的凹凸性性质。请参考教材 * 八、证明对偶原

9、理中的 1.x（P，w） hp，v（p，w）2.h（p,u）Xp,e（p，u）请参考教材假定p，w 。证明：如果X是一个凸集，则Bp，w也是凸集。答案：设 X Bp,w，XBp,w，0,1.令X =:X+(1- ) X ,因为X是个凸集，所以x X故P?=(p?)+ (1-)(PA w+ (1-)w=w因此，11X B p,w 十、效用函数U（X1,X2） X1X2，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应 和总效应。答案：推导斯拉茨基方程需要以下函数：（1）瓦尔拉斯需求函数：（过程省略）w ； wX1 X22P1 2p2 (4)验证第一种商品的斯拉茨基方程: 第一步：计算收入效应Wx 至丄

10、，x鼻 1 w w w w 2 Pi w 2 P1 2 P1 4 P2第二步：计算替代效应(把U替换为间接效用函数), iup2， hiPi Pi代入u v(P,w)/2 3/22 U P2 Piw2 ，得到：4 Pi P2wxi 2 pi whiPi2 2p；/2i/2P2i/2 3/2P2 Piw4p；计算总效应2Pi Pi 2 Pi第四步：验证总效应=替代效应+收入效应Xiwhiw ，2 Xi4PiXi wPi2Pi2Piw 4 p；显然XihiXiXiPiPiwi十一、效用函数U(Xi,X2)(Xi X2 )，求其货币度量的直接和间接效用函数i i答案：w(p,x) (Xi X2 )

11、gi P2_ )i i(P； q,w) (Pi-1 P2) (q厂 q2_i) w、 i i o o i i十二、效用函数 u(Xi,X2) XiX2，当 Pi 2, P2 3, w 40， Pi 4, P2 5，求其等价变化和补偿变化。答案：为了计算等价变化和补偿变化需要:支出函数：e(p,u) 2 uPiP21 先求等价变化:补偿变化为：EV1040 40 32.补偿变化:十三、分析福利分析在税收方面的应用 请参考教材十四、u(x,X2) X1X2，假定P1 0.25， P2 1， w 2，对商品1开征消费税0.25元。求开征消费税的无谓损失(包括两种情况)。I解答：max u(X!,x2

12、) . x2S.t. X1P1 X2 P2 w1 求瓦尔拉斯需求函数(1)建立拉格朗日函数L 、x1x2 (w-P1X1 -P2X2)(2)求极值一阶条件L 1 1 10(a)X1 X22P1x1 2L 1 1 1X12X2 2 x2 2P20(b)Lw p1x1P2X20(c)由(a)和 (b)整理得：1(X2 X1)2 _ P10X2 _P11(X1 X2)p2 Xi p2(3)瓦尔拉斯需求函数分别将P , cP代入预算约束(O有2P1X2 =w2p23求支出函数由间接效用函数，求反函数 W得:V(P1, P2,w)(2；)12(_W 1 22P2)w T2 122P1 P21 2 1 2

13、 可=2口 P2 v(P1, P2,w)12 12e(p,u) = 2p1 P2 u4 求希克斯需求函数法一：将支出函数代入瓦尔拉斯需求函数Xi二旦，得到2Pi5求货币度量的效用函数(1)货币度量的直接效用函数由 e(p,u) = 2P112P212U，有w(p,x) = 2 pj p； 2u(X1 ,X2)=2 P12 P212TXX(2)12 12 12 12P1 P2 q1 q2 w货币度量的间接效用函数(p;q,w) 2p112p212v(q1,q2,w)6 下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后P10 = 0.25 , p；=1，p； = 0.25+ 0.25， p； = 1w1

14、= w0 = w = 2等价变化分析：u0 v( P10, P20,w)02( P1 )0(P2 )212 1_22(0.25) (1)22(0.5)12(1)12w按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化:0 1 1 1 0 1Ev e( p , u ) e( p , u ) = e( p , u ) - w=m(P0; P,w)-w11110 2 0 2 1 _2 1Pi P2 P1 P2 w w丄 1 丄 丄0.25 2 1 0.5 7 1 7 2 2 0.5858商品税与收入税对消费者的福利之差为(T) Ev(p0; p1,w) th(p1,u1) Ev(p0;

15、p1,w)0.08580.25 (p11) 12(p21)1 u1 0.5858 0.25 (0.5) 12(1)12 、2 0.5858表明商品税对消费者的福利影响更差。补偿变化分析：按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：Cv e(p0,u0) e(p1,u0) = w-e(p1,u0)=w- Kp1; p0,w)1 1 1 11 2 12 0 -7 0 -7W 口 P2 口 P2 W1 1 1 12 0.5 2 1 t 0.25 J 1 J 2 0.8284商品税与收入税对消费者的福利之差为：-T Cv(p1; p0,w) th(p1,u0) Cv(p1; p0,w)0.25 (p11) 1 2( p21)12u0 0.8284 0.25 (0.5) 1 2(1)12 2 0.82840.7074 0.8284 0.1213表明商品税对消费者的福利影响更差。