高级微观经济学13章框架.docx
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高级微观经济学13章框架
第1-3章：
消费者理论
一、形式化表述分析消费者偏好的性质
（完备性，传递性，连续性，严格单调性，严格凸性等等）
*二、效用函数存在性证明。
请参考教材
三、表述显示性偏好弱公理及显示性偏好强公理，并用于分析下面问题。
考察一个对物品1和物品2有需求的消费者，当物品价格为p1（2,4）时，其需求为x1（1，2）。
当价格为p2（6，3）时，其需求为x2（2，1），该消费者是否满足显示性偏好弱公理。
如果x2（1.4,1）时，该消费者是否满足显示性偏好弱公理。
解答：
p1x12*14*210p1x22*24*18消费束1偏好于消费束2
p2x16*13*212p2x26*23*115消费束2偏好于消费束1
违反了显示性偏好弱公理。
如果x2（1.4，1）时：
p1x12*14*210p1x22*1.44*16.8消费束1偏好于消费束2
p2x16*13*212p2x26*1.43*111.4消费束1在价格2的情况下买
不起。
符合显示性偏好弱公理。
四、效用函数u（x1,x2）x1，求瓦尔拉斯需求函数
解答：
maxu（X1,X2）X1s.t.P1X1P2X2w从效用函数u（x「X2）X1可知商
品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1，
对商品2的需求为0，X20，X1—
P1
maxu（x1,x2）max—P2X2—，此时x20,Xt—（源于消费束的非负限制）
PiPiPi
实际上，这是一个边角解，
1
五、设效用函数U（xi,x2）（xix2），其中01；这就是常（或不
变）替代弹性（CES）效用函数。
求：
（1）瓦尔拉斯需求函数；
（2）间接效用函数；
（3）验证间接效用函数关于价格与收入是零次齐次的；
（4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的；
（5）验证罗伊恒等式；
（6）求希克斯需求函数；
（7）求支出函数；
（8）从它对应的间接效用函数推导出支出函数，及从支出函数推导出间接效用函数。
（9）验证hi（p,u）Xi（p,e（p,u））（对偶定理）
（1）求瓦尔拉斯需求函数
列出拉格朗日函数：
L（Xi,X2,）（XiX2）（yPiXiP2X2）
三个一阶条件：
yPiXi
p2x20
整理，得：
xiX2（P）i（i}
P2；yPiXip2x2
求解，得：
i（i）Pi（*
/p（i）/（i）
Pi丿P2
上式就是消费者的瓦尔拉斯需求函数。
如果定义r（。
便可将瓦尔拉斯需求函数化简为:
r
P2y
rr
PiP2
r
Piy
Xi（P,y）=7X2（p,y）
PiP2•
7
（2）求间接效用函数
将上述两个瓦尔拉斯需求函数代入直接效用函数，可得间接效用函数：
v（P,y）[（Xi（P,y））（X2（p,y））]
rir
[（piy）（p2y）f
rrrrrrir
PiP2PiP2y（PiP2）
（3）验证间接效用函数关于价格和收入的零次齐次性；
v（tp,ty）ty（（tpi）r（tp2）r）iry（p；p；）ir
v（p,y）
（4）验证间接效用函数关于收入y是递增的，关于价格p是递减的，对它求关
于收入与任何价格的微分，得：
皿（p；P2）ir0
y
V（p,y）rr（1r）1r1
（PiP2）yPi0,i1,2
Pi
（5）验证罗伊等式：
间接效用函数对价格求导除以间接效用函数对收入求导，别忘了乘-1!
（1）rv（p,y）Pi]
（1）（p；p2）（1r）；yPir1
（l）[]（；rr、1r
v（p,y）y（PiP2）
r1
Xi（p,y）,i1,2
PiP2
（6）
求解支出最小化问题
s.t.u（xix2）0
其拉格朗日函数为:
X2
通过消去，这些式子被简化为:
令r
（1），可解出希克斯需求函数:
hi（p,u）u（p；p2）（1/r）1P；1
h2（p,u）u（pirp；）（1/r）1p；1
（7）将希克斯需求函数代入目标函数，可得支出函数:
e（p,u）Pihi（p,u）p；h；（p,u）
rr（1/r）1r1rr（1/r）1r1.rr、1/r
UPi（Pip；）P1up；（P1p；）p；U（P1p；）
（8）从间接效用函数推导出支出函数
间接效用函数为：
v（p,y）y（p1p；）
将v（p,y）替换为u，解出y
uy（p；p；）1/r；yu（p；p；）1/r
再将y替换为e（p,u），得到支出函数为：
e（p,u）u（p；p；）1/r
从支出函数推导出间接效用函数
支出函数为：
e（p，u）u（prp；）1/r
将u替换为v（p,y），将e（p,u）替换为y，解出V（p,y）。
yv（p，y）（Pirp；）1/rv（p，y）y（p；p；）1/r（9）瓦尔拉斯需求函数为:
xdp,y）
r1
P1y
rr
P1p；，将y替换为支出函数得：
Mp,y）
r1r1rr1/r
P1e（p,u）P1u（p1p；）
rrrr
P1p；P1p；
P；1u（p|p；）（1/r）1hgu）
1
六、效用函数u（x1,x；）（x1X；），对其求
1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数；
2、希克斯需求函数，支出函数。
答案：
wp21w
，v（P1,P2,w）
P11P21（P1「P2「）
七、给出瓦尔拉斯需求函数、希克斯需求函数、间接效用函数、支出函数形式化描述，说明其性质，*并证明其中的凹凸性性质。
请参考教材*八、证明对偶原理中的1.x（P，w）h［p，v（p，w）］2.h（p,u）Xp,e（p，u）］
请参考教材
假定｛p，w°｝。
证明：
如果X是一个凸集，则Bp，w也是凸集。
答案：
设XBp,w，X
B
p,w，
[0,1].
令X=
:
X+（1-）X'
因为X是—
「个凸集，
所以x''X
故P?
''=（p?
<）+（1-
）（PA<
w+（1-
）w=w
因此，
11
XBp,w・
十、效用函数U（X1,X2）X1X2，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应。
答案：
推导斯拉茨基方程需要以下函数：
（1）瓦尔拉斯需求函数：
（过程省略）
w；w
X1X2
2P12p2
（4）验证第一种商品的斯拉茨基方程:
第一步：
计算收入效应
W
x至丄，x鼻1wwww2Piw2P12P14P2
第二步：
计算替代效应（把U替换为间接效用函数）
iup2，hi
PiPi
代入
uv（P,w）
/23/2
2UP2Pi
w2，得到：
4PiP2
w
xi2piw
hi
Pi
22p；/2
i/2
P2
i/23/2
P2Pi
w
4p；
计算总效应
2
PiPi2Pi
第四步：
验证总效应=替代效应+收入效应
Xi
w
hi
w，
2Xi
4Pi
Xiw
Pi
2Pi2
Pi
w4p；
显然
Xi
hi
Xi
Xi
Pi
Pi
w
i
十^一、效用函数U（Xi,X2）（XiX2），求其货币度量的直接和间接效用函数
ii
答案：
w（p,x）（XiX2）g—iP2_）
ii
（P；q,w）（Pi-1P2~）（q厂q2_i）w
、]iiooii
十二、效用函数u（Xi,X2）XiX2，当Pi2,P23,w40，Pi4,P25，
求其等价变化和补偿变化。
答案：
为了计算等价变化和补偿变化需要:
支出函数：
e（p,u）2uPiP2
1•先求等价变化:
补偿变化为：
EV
10
4040
\3
2.补偿变化:
十三、分析福利分析在税收方面的应用请参考教材
十四、u（x,X2）X1X2，假定P10.25，P21，w2，对商品1开征消费税0.25
元。
求开征消费税的无谓损失（包括两种情况）。
I
解答：
maxu（X!
x2）...x^2
S.t.X1P1X2P2w
1•求瓦尔拉斯需求函数
（1）建立拉格朗日函数
L、x1x2（w-
-P1X1-
P2X2）
（2）求极值一阶条件
L111
0
（a）
X1X22
P1
x12
L111
X12X22x22
P2
0
（b）
L
wp1x1
P2X2
0
（c）
由（a）和（b）整理得：
1
（X2X1）2_P1
0
X2_
P1
1
（X1X2）p2Xip2
（3）瓦尔拉斯需求函数
分别将—P,cP代入预算约束（O’有
2P1
X2=
w
2p2
3•求支出函数
由间接效用函数，求反函数W得:
V（P1,P2,w）
（2；）12（
_W12
2P2）
w
—T212
2P1P2
1212可=2口P2v（P1,P2,w）
1212
e（p,u）=2p1P2u
4•求希克斯需求函数
法一：
将支出函数
代入瓦尔拉斯需求函数Xi二旦，得到
2Pi
5•求货币度量的效用函数
（1）货币度量的直接效用函数
由e（p,u）=2P112P212U，有
w（p,x）=2pjp；2u（X1,X2）=2P1'2P21'2TXX
（2）
12121212
P1P2q1q2w
货币度量的间接效用函数
（p;q,w）2p112p212v（q1,q2,w）
6•下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后
P10=0.25,p；=1，
p；=0.25+0.25，p；=1
w1=w0=w=2
等价变化分析：
u0v（P10,P20,w）
0
2（P1）
0
（P2）
2
121_2
2（0.25）
（1）
2
2（0.5）12
（1）12
w
按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化:
011101
Eve（p,u）e（p,u）=e（p,u）-w
=m（P0;P,w）-w
1111
02021_21
PiP2P1P2ww
丄1丄丄
0.2521°0.5717220.5858
商品税与收入税对消费者的福利之差为
（T）Ev（p0;p1,w）th（p1,u1）Ev（p0;p1,w）
0.0858
0.25（p11）—12（p21）1"u10.58580.25（0.5）—12
（1）12•、20.5858
表明商品税对消费者的福利影响更差。
补偿变化分析：
按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：
Cve（p0,u0）e（p1,u0）=w-e（p1,u0）
=w-Kp1;p0,w）
1111
12120-70-7
W口P2口P2W
1111
20.521t0.25J1J20.8284
商品税与收入税对消费者的福利之差为：
-TCv（p1;p0,w）th（p1,u0）Cv（p1;p0,w）
0.25（p11）—12（p21）12u00.82840.25（0.5）—12
（1）1220.8284
0.70740.82840.1213
表明商品税对消费者的福利影响更差。
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