复变函数与积分变换公式.docx

1、复变函数与积分变换公式复变函数复习提纲（一）复数的概念1.复数的概念：z = X iy , X, y 是实数,x = Rez,y=lmz.r=_i.注：两个复数不能比较大小2.复数的表示中的幅角。3） arg Z与arctany之间的关系如下:Xy当 X 0, arg Z= arctan 丄；Xyy -0,arg Z= arctan 二! Xyy ： O,arg Z= arctan -二J X4) 三角表示：Z = Z(COS8 +isin0 ),其中日=argz；注：中间一定是“ +”号。5)指数表示：Z = ZeF,其中V - arg z。(二)复数的运算1.加减法：若 ZI=XI iy1

2、, z2 = X2 iy2 ,贝廿 z1 二 z2 = x1 二 x2 i y1 - y22.乘除法：1)若 z1 = x1 iy1, Z2 =X2 iy2 ,贝U狂 hN2 一 y$2 i x2% x1y2 ；乙 _ X1+ i y_ (x1 十 i 和 X iy_ XX y*y y x； 。XZ2 X2+ i% (对 讪-X )i2y 2+2X2 2 2+ 2X2 22)若 ZI=IzI ei,z2 =z2 ei ,则Z1Z2 = ZIllZ2 ei(t1也；3.乘幕与方根1)若 Z= Z(COS J isin *n(CoS n i Sinn )=nei。2)若 Z = IZ(COSB+i

3、sinT)=zei,则（三）复变函数1复变函数：w = f z ,在几何上可以看作把 Z平面上的一个点集 D变到W平面上的一个点集 G的映射.2 复初等函数1）指数函数：ez =ex cosy isiny ,在Z平面处处可导，处处解析；且注：ez是以2二i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）3）对数函数： LnZ=In z+i（argz + 2k） （k=0,1,2八）（多值函数）；主值：InZ = Inz+iargz。（单值函数）1LnZ的每一个主值分支In z在除去原点及负实轴的 Z平面内处处解析，且 InzZ注：负复数也有对数存在。 （与实函数不同）4）三角函数:iz -ize -eS

4、in Z =2iiz JZ .e +e , sin z ,cos z ,tgz ,ctgz2 cos zcosz Sin Z3）乘幕与幕函数：a ebLna （a = 0） ； Zb= ebLnZ （Zn 0）注：在除去原点及负实轴的 Z平面内处处解析，且 ZS -bzbj。Sin z,cos Z在 Z 平面内解析，且 Sinz = cosz, CoSZ=-Sinz注：有界性Sin z兰1, cosz 1不再成立；（与实函数不同）Z Z Z Z, e -e e +e4) 双曲函数 ShZ ,chz =2 2ShZ奇函数，ChZ是偶函数。ShZIChZ在Z平面内解析，且 ShZ =chz, Ch

5、Zi - ShZO（四）解析函数的概念1 复变函数的导数1）点可导:f rfZ0；fZ02）区域可导：f Z在区域内点点可导。2 解析函数的概念1）点解析： f Z在Z0及其ZO的邻域内可导，称 f Z在ZO点解析;2）区域解析： f Z在区域内每一点解析，称 f Z在区域内解析;3）若f （Z）在ZQ点不解析，称ZQ为f Z的奇点;3.解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数 的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解析的充要条件1.函数可导的充要条件：f Z =ux,y iv x,y在Z=X iy可导此时，有z =CX CX2.函数解析的充要条件

6、：f z =u X,y iv x,y在区域内解析U V此时f Z i-D具有一阶连续偏导数，则U x, y , v x, y在区域D内是可微的。CX CX若U x, y ,v x,y在区域因此在使用充要条件证明时，只要能说明 u,v具有一阶连续偏导且满足 C - R条件时，函数f （Z） =U iv 一定是可导或解析的。3.函数可导与解析的判别方法1） 利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题 1）2） 利用充要条件 （函数以f z =u x,y厂iv x,y形式给出，如第二章习题 2）3） 利用可导或解析函数的四则运算定理。 （函数f Z是以Z的形式给出，如第二章习题 3）（六）复变函数积分

7、的概念与性质n1. 复变函数积分的概念： C f ZdZ=Iim f k :Zk , C是光滑曲线。八k注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。2.复变函数积分的性质1） f z dz If ZdZ （ c与C的方向相反）；C C2） ： f z g z dz f ZdLgZdz, ：是常数；C C C3) 若曲线C由c1与c2连接而成，则 f z dz f z dz亠IfZdZ。C C C2 L3.复变函数积分的一般计算法1) 化为线积分：Cf ZdZ= CUdVdy i CVdX Udy ；(常用于理论证明)2) 参数方法：设曲线C : Z = Z t (： ：)，其中对应曲线C的起点，

8、对应曲线C的终点，则 f z dz = fz t z(t)dt C (7)关于复变函数积分的重要定理与结论1 .柯西一古萨基本定理： 设f Z在单连域B内解析，C为B内任一闭曲线，则J J. f ZdZ=OC2. 复合闭路定理： 设f Z在多连域D内解析，C为D内任意一条简单闭曲线， C1,C2,Cn是C内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以 q,c2,Cn为边界的区域全含于 D内，贝yn1庠f ZdZ-Vf Zd乙其中C与Ck均取正向；C k =1 Ck2 f ZdZ=O ,其中丨由C及c(k=1,2,n)所组成的复合闭路。f3. 闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数f Z沿闭曲

9、线C的积分，不因C在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中 C不经过使f Z不解析的奇点。4解析函数沿非闭曲线的积分 ：设f z在单连域B内解析，G Z为f z在B内的一个原函数，则f Z dz = G Z2 -G Z (乙，Z2 B)z1说明：解析函数f Z沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。5. 柯西积分公式：设f Z在区域D内解析，C为D内任一正向简单闭曲线，C的内部完全属于 D , f (Z )Z0为C内任意一点，则 dz=2二if z0CZ-Z。6. 高阶导数公式： 解析函数f Z的导数仍为解析函数，它的 n阶导数为R 十dz=葺 f(n)(z) (n =

10、1,2)C(Z-ZO) n!其中C为f Z的解析区域D内围绕Z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于7.重要结论：1 2 i, n = O 人 、-I dz 。 ( C是包含a的任意正向简单闭曲线)C(Z 一a)n1 0, n=0&复变函数积分的计算方法B1) 若f Z在区域D内处处不解析，用一般积分法 f ZdZ fztztdtL C Ct2)设f z在区域D内解析，C是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理， NCf(Z)dz = OC是D内的一条非闭曲线， z,Z2对应曲线C的起点和终点，则有Z2Cf Z dz= z f ZdZ = F z2 -F ZI3)设f z在区域D

11、内不解析曲线C内仅有一个奇点：Jf (Z ) 讯一LAlZ= 2兀 I f (Zo )C Z Z0 ( f (Z)在C内解析)f (Z) * 2兀 I 、FCZFdZ= n! fHs曲线C内有多于一个奇点：nNf(Z)dz N f (z )dz ( C 内只有一个奇点 Zk)C k7 Cbn或： f zdz=2二L Resf(z),zk(留数基本定理)C k壬若被积函数不能表示成 f z n1，则须改用第五章留数定理来计算。(z-Zo)(8)解析函数与调和函数的关系E2 E21 调和函数的概念： 若二元实函数:(XI y)在D内有二阶连续偏导数且满足 - 2 =0 ,2 2-X : V(X)

12、V)为D内的调和函数。2.解析函数与调和函数的关系解析函数f z =u iv的实部U与虚部V都是调和函数，并称虚部V为实部U的共轭调和函数。两个调和函数U与V构成的函数f(z)=uiv不一定是解析函数；但是若 u,v如果满足柯西一 黎曼方程，则uiv 定是解析函数。3.已知解析函数 f Z的实部或虚部，求解析函数 f z =u iv的方法。1）偏微分法：若已知实部U=U x,y ,利用 C R条件，得 viv ；CX Cy再对（*）式两边对X求偏导，得 dy X （*）GX CXeX J-，得.y X，可求出 g X ；代入（*）式，可求得亠 EU虚部V dy g X;:XX : y ：-X

13、：-X2)线积分法：若已知实部U=U X, y ，利用C-R条件可得dv =二v dx 2v dy = - 一udx 二Udy，(X Cy Cy CX故虚部为V UdX U dy C ；I(X),y y CXXo, yo与X, y 是解析区域中由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中 的两点。3）不定积分法：若已知实部 U=U X,y ,根据解析函数的导数公式和 C-R条件得知,CXCyCXCy将此式右端表示成 Z的函数U Z ,由于z仍为解析函数，故f z = U z dz c （ C为实常数）注：若已知虚部 V也可用类似方法求出实部 U.（九）复数项级数1.复数列的极限1

14、） 复数列: nan ibn （ n =1,2）收敛于复数 - a bi的充要条件为Iim arl =a, Iimbn =b （同时成立）n 厂 n ,2） 复数列 ：、收敛二实数列&, bn同时收敛。2 复数项级数Oo OoaO1）复数项级数 V n（n =an ibn）收敛的充要条件是级数 an与bn同时收敛;n n n 2）级数收敛的必要条件是 Iimn =O 。nac注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。（十）幕级数的敛散性Qg QQ1.幕级数的概念：表达式V-Cn（Z _z0）n或JCnZn为幕级数。n亠 n 2 幕级数的敛散性1） 幕级数的收敛定理一阿贝

15、尔定理 （Abel）:如果幕级数 V Cn Zn在ZO=O处收敛，那么对满足n =OZ an * ：bn)zn anzn H-/ bnZn (线性运算)n =O n n =OC anZn)C bnZn) =6 (anb。an4b1 abn)zn (乘积运算)n n n QO2)复合性质：设当Iq Cr时， f G)= aAn ,当 ZCR 时，C = g(z 懈析且 g (z j V r ,n =0则当 Z ： R时，fg z = 7 ang Z n。n=0QQ3)分析运算性质：设幕级数、丁 anzn的收敛半径为 R = O ,则n z0QO其和函数f Z =7 anzn是收敛圆内的解析函数;

16、n=0OCl在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且 z -V nanzn z ： Rn=OZ Ka在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变； f Z dz -Zn 1 Z :： R0 n=On+1(十一)幕函数的泰勒展开1.泰勒展开： 设函数f(z )在圆域z-zo c R内解析，则在此圆域内 f(z)可以展开成幕级数f Z f 乞 Z-Z0 n ；并且此展开式是唯一的。n n!注：若f(z)在Zo解析，则f(z J在 Zo的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径 R=z0-a ；2 3 n1)e IZnI Z - n n! 2! 3! n!4 OCl2)1 Zn=I Z Z2 Zn1 Z n zOCosz

17、 八:凹z2n 十 LgZ2n 心(2 n)! 2! 4! (2n)!nCnZO 。1)1 Oo直接法：直接求出Cn= f (n Xzo ),于是f (z ) = n! n=o2)间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幕级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方 法将函数展开。(十二)幕函数的洛朗展开1.洛朗级数的概念：QO二 Cn Z-Zo ，含正幂项和负幂项。n =-：:一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有 f Z = Cn Z-Z0 ，且展开式唯一。n=Ocl3解析函数的洛朗展开法： 洛朗级数一般只能用间接法展开。*4 利用洛朗级数求围线积分：设 f(z)在r z-z0 R内解析，

18、C为r c z-z0 c R内的任何一条正向简单闭曲线，则 现f(zpz = 2兀iCd。其中GJ为f (z)在rcz-z0cR内洛朗展开式中的系数。ZZo说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中 (ZO)J的系数。(十三)孤立奇点的概念与分类1。 孤立奇点的定义：f (Z 在 Z0点不解析，但在ZO的OVlZ-ZO 内解析。2。 孤立奇点的类型：21) 可去奇点：展开式中不含 Z-Z0的负幕项；f Z = C0 C Z-Z0 C2 Z - Z0 2)(Z-Z)m+ c3 4)(Z_Z0)2C0 G(Z-Z0) C2(Z-Z0)g(z)(Z - Z0)m，极点：展开式中含有限项 Z-Z0

19、的负幕项；其中 g Z =Cq Jm4)(z-Z0) C(z-Z0)mC0(z-Z0)m 在 Z解析,且 g Z0 =0,m 一 1,c_m =O ； 3)本性奇点：展开式中含无穷多项 Z-Z0的负幕项;C Cf Z Co CI(ZO- Cm(Z0)m(Z-Zo) (Z-Zo)(十四)孤立奇点的判别方法1可去奇点：lim f Z =C0常数；Z :Zo2.极点：IimfZ-：Z03.本性奇点：Iim f Z不存在且不为 二。Zo4零点与极点的关系1)零点的概念：不恒为零的解析函数 f Z，如果能表示成 f Z =(Z-Z0)mFz ,其中，Z在Z0解析，Zo - 0,m为正整数，称Z0为f z

20、的m级零点;2)= 1,2； m-1)零点级数判别的充要条件Z 是 f(z)的 m 级零点=If)=0，(n ft Z )0若z=a分别是丨Z与Z的m级与n级零点，则时,a是)ZL-z的丨级零点，其中丨_ m(n)=a是 Z- Z的m n级零点;留数的概念1 留数的定义：设Z0为f Z的孤立奇点,f (Z)在Zo的去心邻域0 (t)O相似性:Ff(at)二1 W-F(W)a(0)微分性(频域)：F(-jt)f t = F w ,F(-jt)n f(t) = F(W)四、 拉普拉斯变换的概念Lf(t) = f(t)etdF(s)五、 几个常用函数的拉普拉斯变换kt 1Le Ps kLtm (Mm

21、II) m(m 是自然数)；(1)=1厂()之、癒厂(m 1m (m)S S 21Lu(t) =L1：SL.(t) =1kLsi nkt=p 2,S + kkLshktS -kQLcoskt磐 2S + kLchkt仝厂S -k积分性（频域)：LOCl=SF SdS (收敛)1 T设f (t T) = f (t),则L f(t) T- f(t)dt ( f(t)是以T为周期的周期函数)1 -e 0六、拉普拉斯变换的性质相似性：Lf（at）1 S-F) (a 0) a a七、卷积及卷积定理f1 (t)* f2(t)f2(t -)dFf(t) f2(t) =F1(W) F2(w)1Ff1(t) f2(t) FI(W) F2(w)Lf(t) f2(t)H F(s) F2(s)八、几个积分公式:f(t)j.(t)dt = f(0).；f(t)(t-t0)dt = f(t0)二 f (t)dt = Lf(t)ds= F(s)ds0 t 0 00,(t)edt =Lf(t) S