复变函数与积分变换公式.docx

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复变函数与积分变换公式

复变函数复习提纲

（一）复数的概念

1.复数的概念：

z=X∙iy,X,y是实数,x=Rez,y=lmz.r=_i.

注：

两个复数不能比较大小

2.复数的表示

中的幅角。

3）argZ与arctan~y之间的关系如下:

当X0,argZ=arctan丄；

y-0,argZ=arctan二

y：

：

O,argZ=arctan-二

4）三角表示：

Z=Z（COS8+isin0）,其中日=argz；注：

中间一定是“+”号。

5）指数表示：

Z=ZeF,其中V-argz。

（二）复数的运算

1.加减法：

若ZI=XIiy1,z2=X2iy2,贝廿z1二z2=x1二x2iy1-y2

2.乘除法：

1）若z1=x1iy1,Z2=X2iy2,贝U

狂h[N×2一y$2ix2%x1y2；

乙_X1+iy_（x1十i和X—iy_XXy*yyx；。

Z2X2+i%（对讪-X）i2y2+2X222+2X22

2）若ZI=IzIei^,z2=∣z2eiθ,则

Z1Z2=ZIllZ2ei（t1也；

3.乘幕与方根

1）若Z=Z（COSJisin*

（CoSniSinn）=

nei"。

2）若Z=IZ（COSB+isinT）=∣zei^,则

（三）复变函数

1∙复变函数：

w=fz,在几何上可以看作把Z平面上的一个点集D变到W平面上的一个点集G

的映射.

2•复初等函数

1）指数函数：

ez=excosyisiny,在Z平面处处可导，处处解析；且

注：

ez是以2二i为周期的周期函数。

（注意与实函数不同）

3）对数函数：

LnZ=Inz+i（argz+2kιι）（k=0,±1,±2八）（多值函数）；

主值：

InZ=Inz+iargz。

（单值函数）

・1

LnZ的每一个主值分支Inz在除去原点及负实轴的Z平面内处处解析，且Inz

注：

负复数也有对数存在。

（与实函数不同）

4）三角函数:

iz-iz

e-e

SinZ=

izJZ.

e+e,sinz,

cosz,tgz,ctgz

2cosz

coszSinZ

3）乘幕与幕函数：

a—ebLna（a=0）；Zb=ebLnZ（Zn0）

注：

在除去原点及负实轴的Z平面内处处解析，且ZS-bzbj。

Sinz,cosZ在Z平面内解析，且Sinz=cosz,CoSZ=-Sinz

注：

有界性Sinz兰1,cosz≤1不再成立；（与实函数不同）

Z■ZZ■Z

,,,e-ee+e

4）双曲函数ShZ,chz=

ShZ奇函数，ChZ是偶函数。

ShZIChZ在Z平面内解析，且ShZ=chz,ChZi-ShZO

（四）解析函数的概念

1•复变函数的导数

1）点可导:

frfZ0；fZ0

2）区域可导：

fZ在区域内点点可导。

2•解析函数的概念

1）点解析：

fZ在Z0及其ZO的邻域内可导，称fZ在ZO点解析;

2）区域解析：

fZ在区域内每一点解析，称fZ在区域内解析;

3）若f（Z）在ZQ点不解析，称ZQ为fZ的奇点;

3.解析函数的运算法则：

解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；

（五）函数可导与解析的充要条件

1.函数可导的充要条件：

fZ=ux,yivx,y在Z=Xiy可导

此时，有「z=』∙

CXCX

2.函数解析的充要条件：

fz=uX,yivx,y在区域内解析

此时fZi-

D具有一阶连续偏导数，则

Ux,y,vx,y在区域D内是可微的。

CXCX

若Ux,y,vx,y在区域

因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C-R条件时，函数

f（Z）=Uiv一定是可导或解析的。

3.函数可导与解析的判别方法

1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件（函数以fz=ux,y厂ivx,y形式给出，如第二章习题2）

3）利用可导或解析函数的四则运算定理。

（函数fZ是以Z的形式给出，如第二章习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质

1.复变函数积分的概念：

CfZdZ=Iim]fk■■:

Zk,C是光滑曲线。

八k¥

注：

复变函数的积分实际是复平面上的线积分。

2.复变函数积分的性质

1）fzdzIfZdZ（c'与C的方向相反）；

2）[：

fz「gz]dzfZd^LgZdz,：

「是常数；

CCC

3）若曲线C由c1与c2连接而成，则fzdzfzdz亠IfZdZ。

C"■C^^■C2L■

3.复变函数积分的一般计算法

1）化为线积分：

CfZdZ=CUd^VdyiCVdXUdy；（常用于理论证明）

2）参数方法：

设曲线C:

Z=Zt（：

•・：

：

『■），其中「对应曲线C的起点，[对应曲线C的终点，

则fzdz=f[zt]z（t）dt°

C√

（7）关于复变函数积分的重要定理与结论

1.柯西一古萨基本定理：

设fZ在单连域B内解析，C为B内任一闭曲线，则

JJ.'fZdZ=O

2.复合闭路定理：

设fZ在多连域D内解析，C为D内任意一条简单闭曲线，C1,C2,…Cn是C

内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以q,c2,…Cn为边界的区域全含于D内，贝y

1庠fZdZ-VfZd乙其中C与Ck均取正向；

Ck=1Ck

2∖fZdZ=O,其中丨由C及c'（k=1,2,…n）所组成的复合闭路。

3.闭路变形原理：

一个在区域D内的解析函数fZ沿闭曲线C的积分，不因C在D内作连续

变形而改变它的值，只要在变形过程中C不经过使fZ不解析的奇点。

4解析函数沿非闭曲线的积分：

设fz在单连域B内解析，GZ为fz在B内的一个原函数，

则fZdz=GZ2-GZ（乙，Z2B）

说明：

解析函数fZ沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。

5.柯西积分公式：

设fZ在区域D内解析，C为D内任一正向简单闭曲线，C的内部完全属于D,

・f（Z）

Z0为C内任意一点，则∙dz=2二ifz0

CZ-Z。

6.高阶导数公式：

解析函数fZ的导数仍为解析函数，它的n阶导数为

R十dz=葺f（n）（z°）（n=1,2…）

C（Z-ZO）n!

其中C为fZ的解析区域D内围绕Z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于

7.重要结论：

1[2πi,n=O人、、

-Idz。

（C是包含a的任意正向简单闭曲线）

C（Z一a）n10,n=0

&复变函数积分的计算方法

1）若fZ在区域D内处处不解析，用一般积分法fZdZf[zt]ztdt

LCCt

2）设fz在区域D内解析，

C是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西一古萨定理，NCf（Z）dz=O

C是D内的一条非闭曲线，z∣,Z2对应曲线C的起点和终点，则有

CfZdz=zfZdZ=Fz2-FZI

3）设fz在区域D内不解析

曲线C内仅有一个奇点：

f（Z）讯一LAlZ=2兀If（Zo）

CZZ

0（f（Z）在C内解析）

f（Z）*2兀I、

FC^ZFdZ=n!

fHs

曲线C内有多于一个奇点：

Nf（Z）dz—ΣNf（z）dz（C内只有一个奇点Zk）

Ck7Cb

或：

∖fzdz=2二LRes[f（z）,zk]（留数基本定理）

Ck壬

若被积函数不能表示成fzn1，则须改用第五章留数定理来计算。

（z-Zo）

（8）解析函数与调和函数的关系

E2φE2φ

1•调和函数的概念：

若二元实函数:

（XIy）在D内有二阶连续偏导数且满足-2=0,

-X:

（X）V）为D内的调和函数。

2.解析函数与调和函数的关系

解析函数fz=uiv的实部U与虚部V都是调和函数，并称虚部V为实部U的共轭调和函数。

两个调和函数U与V构成的函数f（z）=u∙iv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西一黎曼方程，则u∙iv—定是解析函数。

3.已知解析函数fZ的实部或虚部，求解析函数fz=uiv的方法。

1）偏微分法：

若已知实部

U=Ux,y,利用C—R条件，得≤v√iv；

CXCy

再对（*）式两边对X求偏导，得—^―—dy^X（**）

GXCX^eXJ

-，得.⅛yX，可求出gX；

代入（*）式，可求得

亠EU

虚部VdygX

y：

-X：

-X

2）线积分法：

若已知实部U=UX,y，利用C-R条件可得dv=二vdx∙2∙vdy=-一udx•二Udy，

（XCyCyCX

故虚部为VUdXUdyC；

I（X）,y^∂yCX

Xo,yo与X,y是解析区域中

由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中的两点。

3）不定积分法：

若已知实部U=UX,y,根据解析函数的导数公式和C-R条件得知,

CXCyCXCy

将此式右端表示成Z的函数UZ,由于「z仍为解析函数，故

fz=Uzdz∙c（C为实常数）

注：

若已知虚部V也可用类似方法求出实部U.

（九）复数项级数

1.复数列的极限

1）复数列{:

n^{anibn}（n=1,2…）收敛于复数■■-abi的充要条件为

Iimarl=a,Iimbn=b（同时成立）

n厂n,•

2）复数列{：

、}收敛二实数列&},{bn}同时收敛。

2•复数项级数

OoOoaO

1）复数项级数V>n（>n=anibn）收敛的充要条件是级数an与bn同时收敛;

n£n£n£

2）级数收敛的必要条件是Iim「n=O。

n^ac

注：

复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。

（十）幕级数的敛散性

QgQQ

1.幕级数的概念：

表达式V-Cn（Z_z0）n或JCnZn为幕级数。

n亠n£

2•幕级数的敛散性

1）幕级数的收敛定理一阿贝尔定理（Abel）:

如果幕级数VCnZn在ZO=O处收敛，那么对满足

n=O

2）幕级数的收敛域一圆域

幕级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散；在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。

3）收敛半径的求法：

收敛圆的半径称收敛半径。

比值法如果IimCnI=O,则收敛半径R=丄；

FlCnI九

根值法Iim]cn=•O,则收敛半径R=-；

nγWIλ

如果∙=O,则R=-：

；说明在整个复平面上处处收敛；

如果■-：

■,贝UR=O；说明仅在z=ZO或Z=O点收敛；

注：

若幕级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。

（如CnZ2n）

n-O

3.幕级数的性质

QClQo

1）代数性质：

设瓦anzn,∑bnZn的收敛半径分别为R与R2,记R=min（R1,R2）,

nzOnzO

则当Z：

：

R时，有

7（>an*：

bn）zn」■anznH-"/bnZn（线性运算）

n=On£n=O

CanZn）CbnZn）=6（anb。

an4b1a°bn）zn（乘积运算）

n£n£n£

2）复合性质：

设当IqCr时，fG）=ΣaAn,当ZCR时，C=g（z懈析且g（zjVr,

n=0

则当Z：

：

R时，f[gz]=7an[gZ]n。

n=0

3）分析运算性质：

设幕级数、丁anzn的收敛半径为R=O,则

nz0

其和函数fZ=7anzn是收敛圆内的解析函数;

n=0

OCl

在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且「z-'Vnanzn'z：

：

n=O

ZKa

在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；fZdz-Zn1Z:

：

'0n=On+1

（十^一）幕函数的泰勒展开

1.泰勒展开：

设函数f（z）在圆域z-zocR内解析，则在此圆域内f（z）可以展开成幕级数

fZf乞Z-Z0n；并且此展开式是唯一的。

n^n!

注：

若f（z）在Zo解析，则f（zJ在Zo的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径R=z0-a；

23n

1）

e^×IZn^IZ—-—■■■

nτn!

4OCl

2）

1Zn=IZZ2Zn

1^ZnzO

Cosz八:

凹z2n十LgZ2n心（2n）!

（2n）!

Cn^ZO。

1）

1Oo

直接法：

直接求出Cn=—f（nXzo）,于是f（z）=Σn!

n=o

2）间接法：

利用已知函数的泰勒展开式及幕级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项求积等方法将函数展开。

（十二）幕函数的洛朗展开

1.洛朗级数的概念：

二CnZ-Zo，含正幂项和负幂项。

n=-：

一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有fZ=■CnZ-Z0，且展开式唯一。

n⊂=Ocl

3•解析函数的洛朗展开法：

洛朗级数一般只能用间接法展开。

*4•利用洛朗级数求围线积分：

设f（z）在r

条正向简单闭曲线，则现f（zpz=2兀iCd。

其中GJ为f（z）在rc∣z-z0∣cR内洛朗展开式中

的系数。

Z—Zo

说明：

围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中（^ZO）J的系数。

（十三）孤立奇点的概念与分类

1。

孤立奇点的定义：

f（Z在Z0点不解析，但在ZO的OVlZ-ZO内解析。

2。

孤立奇点的类型：

1）可去奇点：

展开式中不含Z-Z0的负幕项；fZ=C0∙C∣Z-Z0∙C2Z-Z0■■■

2）

（Z-Z°）m

+c34）

（Z_Z0）

C0G（Z-Z0）C2（Z-Z0）

g（z）

（Z-Z0）m，

极点：

展开式中含有限项Z-Z0的负幕项；

其中gZ=Cq∙Jm4）（z-Z0）…∙C」（z-Z0）m「C0（z-Z0）m∙…在Z解析,

且gZ0=0,m一1,c_m=O；3）本性奇点：

展开式中含无穷多项Z-Z0的负幕项;

fZ'…CoCI（^ZO^-Cm（^Z0）m

（Z-Zo）（Z-Zo）

（十四）孤立奇点的判别方法

1•可去奇点：

limfZ=C0常数；

2.极点：

IimfZ-：

：

Z→0

3.本性奇点：

IimfZ不存在且不为二。

^⅛Zo

4•零点与极点的关系

1）零点的概念：

不恒为零的解析函数fZ，如果能表示成fZ=（Z-Z0）mF[z,

其中，Z在Z0解析，「Zo-0,m为正整数，称Z0为fz的m级零点;

2）

=1,2；m-1）

零点级数判别的充要条件

Z是f（z）的m级零点=If^）=0，（n

[ft⅛Z^）≠0

若z=a分别是丨〔Z与Z的m级与n级零点，则

时,

a是）ZL-'〔z的丨级零点，其中丨_m（n）

=a是‘Z^-'∖Z的m∙n级零点;

留数的概念

1•留数的定义：

设Z0为fZ的孤立奇点,

f（Z）在Zo的去心邻域0

域内包含Zo的任一正向简单闭曲线，则称积分

Nf（z）dz为f（z）在Zo的留数（或残留），记

作Res[fZ,z°]=fZdz

2•留数的计算方法

若Z0是fZ的孤立奇点，贝URes[fz,z0]=Cj，其中C4为fZ在Z0的去心邻域内洛

朗展开式中（z-z0）4的系数。

1）可去奇点处的留数：

若∑0是f（z）的可去奇点，贝URes[f（z）,z0]0

2）m级极点处的留数

法则I若z0是fZ的m级极点，则

Res[fZ,zo]

dm1

（^i）!

ZinZodZ^t（^ZO）mfz]

特别地，若ZO是f（z）的一级极点，则ReSf（Z）,Z0]=匹（Z注：

如果极点的实际级数比m低，上述规则仍然有效。

法则Il设fz=P-^，PZ,QZ在Zo解析，PZo-0,

Q（Z）

-Zo）fZ

P（Z）P（ZO）

QZo=OQZo-0,则Res[,z°]=

Q（Z）Q（Zo）

（十六）留数基本定理

设fz在区域D内除有限个孤立奇点z∣,Z2…,zn外处处解析,

C为D内包围诸奇点的一条正

OCl

向简单闭曲线，则总fZdz=2二LRes[fz,zn]C

n二

说明：

留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数

fZ在C内各孤立奇点处留数

的局部问题。

积分变换复习提纲

、傅里叶变换的概念

-bo.+

F[f（t）]=一f（t）e-jwtdt=F（w）

*-Jocl

I1：

：

F」[F（J]F（Jejtd‘=f（t）

2二-E

、几个常用函数的傅里叶变换

F[e（t）]=

F[u（t）]（J

Jeo

F[、（t）]=1

F[iy（，）

、傅里叶变换的性质

位移性（时域）：

F[f（t-10）]=e"iwt0F[f（t）]

位移性（频域）:

F[ejw°tf（t）]=F（w）∣w^4o=F（W_w。

）

位移性推论：

F[sinw0tf（t）][F（w-W0）-F（wW0）]

位移性推论：

F[cosw0tf（t）][F（w-w0）F（wW0）]

微分性（时域）：

F[f⑴]=（jw）F（w）（tτ+=c,f（t）τθ），

F[f（n）（t）]=（jw）nF（w），tτp,fZ>（t）τO

相似性:

F[f（at）]二

-F（W）

（^0）

微分性（频域）：

F[（-jt）ft]=Fw,F[（-jt）nf（t）]=F⑴（W）

四、拉普拉斯变换的概念

L[f（t）]=∕f（t）e'td^F（s）

五、几个常用函数的拉普拉斯变换

kt1

L[eP

s—k

L[tm∏（MmII）m⅛（m是自然数）；

（1）=1厂（£）之、癒厂（m1^m（m））

SS2

L[u（t）]=L[1]：

L[∖.（t）]=1

L[sinkt]=p2,

S+k

L[shkt]

S-k

L[coskt]磐2

S+k

L[chkt]仝厂

S-k

积分性

（频域

）：

OCl

=SFSdS（收敛）

设f（t∙T）=f（t）,则L[f（t）]T-f（t）dt°（f（t）是以T为周期的周期函数）

1-e'0

六、拉普拉斯变换的性质

相似性：

L[f（at）]□

-F^）（a0）aa

七、卷积及卷积定理

f1（t）*f2（t）「）f2（t-）d∙

—

F[fι（t）f2（t）]=F1（W）F2（w）

F[f1（t）f2（t）]FI（W）F2（w）

L[fι（t）f2（t）HFι（s）F2（s）

八、几个积分公式

f（t）j.（t）dt=f（0）

.；f（t）「（t-t0）dt=f（t0）

二f（t）

dt=L[f（t）]ds=F（s）ds

0t■00

0,（t）e"dt=L[f（t）]S^

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