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1、精讲精练因式分解方法分类总结培优含答案.因式分解提公因式法【知识精读 】如果多项式的各项有公因式， 根据乘法分配律的逆运算， 可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。 它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（ 1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（ 2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【 分类解析 】1. 把下列各式因式分解（1） a2 x m 2abxm 1acxmax m 3（2） a(a b) 32a 2 (b a

2、) 22ab (b a)分析： （ 1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“”号后，多项式的各项都要变号。解： a2 x m 2 abxm 1 acx m ax m 3 axm (ax 2 bx c x3 )（ 2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当 n为自然数时， ( a b) 2n(b a) 2n ； ( a b) 2n 1(b a) 2 n 1 ，是在因式分解过程中常用的因式变换。解： a(a b) 32a2 (b a) 2ab (b a)2a(ab)32a2 ( ab) 22ab(a b)a(ab)( ab)22a

3、( ab) 2ba(ab)(3a 24abb22b)2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算 1239872689874569875219871368136813681368分析： 算式中每一项都含有987 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结1368果。解： 原式987(123268 456 521)1368987136898713683. 在多项式恒等变形中的应用2xy 3，求代数式 (2xy)( 2x3y) 3x(2x y) 的例：不解方程组3y5x2值。分析：不要求解方程组， 我们可以把 2xy 和5x 3y看成整体， 它们的值分别是 3 和 2 ，观察代数式，发现每一项都含有2xy

4、 ，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有 2xy 和 5x3y 的式子，即可求出结果。解：.(2x y)(2x3y)3x( 2x y)(2xy)( 2x 3y 3x) (2 xy)(5x3y)把 2xy 和 5x3y 分别为3 和 2带入上式，求得代数式的值是6。4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n， 3n 22 n 23n2n 一定是 10 的倍数。分析： 首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10 的倍数即可。3n 22n 23n2n3n 23n2 n 22n3n ( 321) 2n (221)10 3n52 n对任意自然数n， 103n 和 5 2n

5、 都是 10 的倍数。3n 22n 23n2n 一定是10 的倍数5、中考点拨：例 1。因式分解 3x(x 2) (2 x)解： 3x(x 2) (2 x)3x( x 2) ( x 2)( x 2)(3x 1)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。.例 2分解因式： 41p)32( p1 2q()解： 41p)32( p12q()4q(1 p) 32(1p) 22(1p) 2 2q(1p)12(1p) 2 (2q2pq1)说明： 在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示：例 1.

6、 计算： 2000 20012001 2001 20002000精析与解答：设 2000 a ，则 2001 a 12000 20012001 2001 20002000a10000(a 1) (a 1)(a 1)(10000a a)a(a1)10001a( a 1)10001a(a1)(1000110001)0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中 2000、2001 重复出现，又有 2001 2000 1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。例 2. 已知： x 2 bx c（ b、c 为整数）

7、是 x 4 6x 2 25及 3x 4 4x2 28x 5.的公因式，求b、 c 的值。分析： 常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、 c，但比较麻烦。注意到 x2bxc 是3( x46x225)及3x44x2的因式。28x 5因而也是( 344x228x5)的因式， 所求问题即可转化为求这个多项式的二x次因式。解：x2bxc 是42及42的公因式3( x6x25)3x4 x28x5也是多项式 3(x46x225(3x44x228x5) 的二次因式而 346x225344x228x514( x22x5( x) ( x)b、 c 为整数得： x2 bx c x2 2 x 5b2

8、， c5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x 228x 70 ，从而简便求得 x2bxc 。x 2， 5 x 都是大于 1 的自然数( x 2)(5 x) 是合数说明： 在大于 1 的正数中， 除了 1 和这个数本身， 还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被 1 和本身整除的数叫质数。【实战模拟】1. 分解因式：（ 1） 4m2 n3 12m3n2 2mn（ 2） a 2 x n 2abxn 1acxnadxn 1（ n 为正整数）（ 3） a(ab) 32a2 (ba) 22ab(b a) 22.计算： (2)11( 2) 10 的结果是（）A.2100B.210C.2D.

9、 13.已知 x、y 都是正整数，且x(xy)y( yx)12，求 x、 y。例 3.设 x 为整数，试判断 10 5xx( x 2)是质数还是合数，请说明理由。7279913能被 45 整除。4.证明： 81解： 105xx( x2)5( 2x)x( x2)5.化简： 1 xx(1x)x(1 x)2 x(1 x)1995，且当 x0 时，求原式(x2)(5 x)的值。.试题答案1. 分析与解答：（ 1） 4m2 n 3 12m3n2 2mn2mn(2mn262n1m)（2） a 2 x n2abxn 1acxnadxn 1ax n1 (ax 3bx 2cxd )（3）原式a(ab) 32a

10、2 ( ab) 22ab(a b) 2a(ab) 2 ( ab)2a2ba(ab) 2 (3a3b)3a(ab) 2注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。2. B3.x( xy)y( yx)12( xy)( xy)12x、 y 是正整数12 分解成 112， 26，3 4又xy 与 xy奇偶性相同，且 x y x y.x y 2x y 6x 4 y 2说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。4. 证明： 817 27 9 913328327326326(931)32653243253244581727 9913 能被 45 整除5. 解： 逐次分解：原式(1x)(1x)x(1)

11、2 x(1x)1995x(1x) 2 (1x)x(1 x)1995(1x) 3 (1x)x(1x) 4x(1x)1995(1x) 1996当 x0 时，原式1.因式分解公式法【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式a 2b2(ab)(ab)完全平方公式a 22abb 2(ab) 2立方和、立方差公式a 3b3(ab(a2abb2)补充：欧拉公式：a 3b3c3abc(abc a 2b 2c2abbcca)3)(1 ( abc)( a b) 2(bc)2( ca) 2 2a bc0a33c3abc特别地：（ 1）当时，有b3（ 2）当 c 0 时，欧拉公式变为两

12、数立方和公式。运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1.把22a2b2b 分解因式的结果是（）aA.(ab)(a2)(b2)B. (a b)( ab 2).C.(ab)(ab) 2D.( a 2b)(b22a)2分析： a22a b 2ba22a1b2b1 (a1)2(b1)222。再利用平方差公式进行分解，最后得到( ab)( a

13、b 2) ，故选择B。说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式 2x3 x 2 m 有一个因式是 2 x 1 ，求 m 的值。分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出 m 的值。解：根据已知条件，设2x3x2m(2x12ax b)( x则 232m23212( a2xxx( a)xb)x b2a11(1)由此可得a2b0(2)mb(3)由（ 1）得 a1把 a1代入（ 2），得 b12把 b1 代入（ 3），得 m

14、1223. 在几何题中的应用。.例：已知a、 b、 c是ABC的三 条边，且 满足a 2b2c 2abbc ac0，试判断ABC 的形状。分析：因为题中有 a 2 、 b2 、 ab ，考虑到要用完全平方公式，首先要把ab转成2ab 。所以两边同乘以 2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。解：a 2b 2c2abbcac02a222222220bcabbcac( a22ab b2 ) (b2bc c2 ) (c22ac a 2 )02( a b) 2(b c)2(ca)20( a b) 20， (b c) 20， (c a) 20a b 0， b c0， c a 0a b cABC

15、 为等边三角形。4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是 8 的倍数。分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。解：设这两个连续奇数分别为2n 1， 2n3 （ n 为整数）则 (2n 3) 2(2n 1) 2(2n 3 2n 1)( 2n 3 2n 1)2(4n 4)8(n 1)由此可见， ( 2n 3) 2 (2n 1) 2 一定是 8 的倍数。5、中考点拨：例 1：因式分解： x3 4xy 2 _。解： x34xy 2x x 24y2)x(x2y)(x2y)(说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。例 2：分解因式： 2x 3 y 8x2 y28xy 3_。解： 2x 3 y 8x2 y 28xy 32xy( x 24 xy 4 y2 ) 2xy ( x 2 y) 2说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。题型展示：例 1.已知：a1m，b1m， c1m ，212223求a2ab b2ac c2bc 的值。222解：a2abb2acc2bc222.( ab) 2c(ab)c 22( abc) 2a1 m，b1 m， c1 m321222原式(ab c)22( 1 m 1) ( 1 m 2) ( 1 m 3)2221 m24 说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而