精讲精练因式分解方法分类总结培优含答案.docx
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精讲精练因式分解方法分类总结培优含答案
.
因式分解·提公因式法
【知识精读】
如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提
到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分
配律。
多项式的公因式的确定方法是：
（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多
项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解
【分类解析】
1.把下列各式因式分解
（1）a2xm2
abxm1
acxm
axm3
（2）a（ab）3
2a2（ba）2
2ab（ba）
分析：
（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内
的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：
a2xm2abxm1acxmaxm3axm（ax2bxcx3）
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：
当n
为自然数时，（ab）2n
（ba）2n；（ab）2n1
（ba）2n1，是在因式分解过
程中常用的因式变换。
解：
a（ab）3
2
a2（ba）2
ab（ba）
2
a（a
b）3
2a2（a
b）2
2ab（ab）
a（a
b）[（a
b）2
2a（a
b）2b]
a（a
b）（3a2
4ab
b2
2b）
2.利用提公因式法简化计算过程
例：
计算123
987
268
987
456
987
521
987
1368
1368
1368
1368
分析：
算式中每一项都含有
987，可以把它看成公因式提取出来，再算出结
1368
果。
解：
原式
987
（123
268456521）
1368
987
1368
987
1368
3.在多项式恒等变形中的应用
2x
y3
，求代数式（2x
y）（2x
3y）3x（2xy）的
例：
不解方程组
3y
5x
2
值。
分析：
不要求解方程组，我们可以把2x
y和
5x3y
看成整体，它们的值分
别是3和2，观察代数式，发现每一项都含有
2x
y，利用提公因式法把代数式
恒等变形，化为含有2x
y和5x
3y的式子，即可求出结果。
解
：
.
（2xy）（2x
3y）
3x（2xy）
（2x
y）（2x3y3x）（2x
y）（5x
3y）
把2x
y和5x
3y分别为
3和2
带入上式，求得代数式的值是
6
。
4.在代数证明题中的应用
例：
证明：
对于任意自然数
n，3n2
2n2
3n
2n一定是10的倍数。
分析：
首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是
10的
倍数即可。
3n2
2n2
3n
2n
3n2
3n
2n2
2n
3n（32
1）2n（22
1）
103n
5
2n
对任意自然数
n，10
3n和52n都是10的倍数。
3n2
2n2
3n
2n一定是
10的倍数
5、中考点拨：
例1。
因式分解3x（x2）（2x）
解：
3x（x2）（2x）
3x（x2）（x2）
（x2）（3x1）
说明：
因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换
得到。
.
例2．分解因式：
4
1
p）
3
2
（p
12
q（
）
解：
4
1
p）
3
2
（p
1
2
q（
）
4q（1p）3
2（1
p）2
2（1
p）2[2q（1
p）
1]
2（1
p）2（2q
2pq
1）
说明：
在用提公因式法分解因式前，
必须对原式进行变形得到公因式，
同时一
定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。
题型展示：
例1.计算：
200020012001200120002000
精析与解答：
设2000a，则2001a1
200020012001200120002000
a[10000（a1）（a1）]
（a1）（10000aa）
a（a
1）
10001
a（a1）
10001
a（a
1）
（10001
10001）
0
说明：
此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。
其
中2000、2001重复出现，又有200120001的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。
例2.已知：
x2bxc（b、c为整数）是x46x225及3x44x228x5
.
.
的公因式，求
b、c的值。
分析：
常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求
b、c，但
比较麻烦。
注意到x2
bx
c是
3（x
4
6x
2
25）
及
3x
4
4x
2
的因式。
28x5
因而也是
（3
4
4
x
2
28
x
5）
的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二
x
次因式。
解：
x
2
bx
c是
4
2
及
4
2
的公因式
3（x
6x
25）
3x
4x
28x
5
也是多项式3
（x
4
6
x
2
25
（
3
x
4
4
x
2
28
x
5
）
）的二次因式
而3
4
6
x
2
25
3
4
4
x
2
28
x
5
14
（x
2
2
x
5
（x
）（x
）
）
b、c为整数
得：
x2bxcx22x5
b2，c
5
说明：
这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式
14x2
28x70，从
而简便求得x2
bx
c。
x2，5x都是大于1的自然数
（x2）（5x）是合数
说明：
在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。
只能被1和本身整除的数叫质数。
【实战模拟】
1.分解因式：
（1）4m2n312m3n22mn
（2）a2xn2
abxn1
acxn
adxn1
（n为正整数）
（3）a（a
b）3
2a2（b
a）2
2ab（ba）2
2.
计算：
（
2）11
（2）10的结果是（
）
A.
2100
B.
210
C.
2
D.1
3.
已知x、y都是正整数，且
x（x
y）
y（y
x）
12
，求x、y。
例3.
设x为整数，试判断105x
x（x2）
是质数还是合数，请说明理由。
7
27
9
9
13
能被45整除。
4.
证明：
81
解：
10
5x
x（x
2）
5（2
x）
x（x
2）
5.
化简：
1x
x（1
x）
x（1x）2
⋯x（1x）1995
，且当x
0时，求原式
（x
2）（5x）
的值。
.
试题答案
1.分析与解答：
（1）4m2n312m3n22mn
2
mn（
2
mn
2
6
2
n
1
m
）
（2）a2xn
2
abxn1
acxn
adxn1
axn
1（ax3
bx2
cx
d）
（3）原式
a（a
b）3
2a2（a
b）2
2ab（ab）2
a（a
b）2[（a
b）
2a
2b]
a（a
b）2（3a
3b）
3a（a
b）2
注意：
结果多项因式要化简，同时要分解彻底。
2.B
3.
x（x
y）
y（y
x）
12
（x
y）（x
y）
12
x、y是正整数
12分解成1
12，2
6，34
又
x
y与x
y奇偶性相同，且xyxy
.
xy2
xy6
x4y2
说明：
求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。
4.证明：
817279913
328
327
326
326（9
3
1）
326
5
324
32
5
324
45
817
279
913能被45整除
5.解：
逐次分解：
原式
（1
x
）（1
x
）
x
（1
）2
⋯x
（1
x
）1995
x
（1
x）2（1
x）
⋯x（1x）1995
（1
x）3（1
x）
x（1
x）4
⋯x（1
x）1995
⋯⋯
（1
x）1996
当x
0时，原式
1
.
因式分解·公式法
【知识精读】
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：
平方差公式
a2
b2
（a
b）（a
b）
完全平方公式
a2
2ab
b2
（a
b）2
立方和、立方差公式
a3
b3
（
a
b
（
a
2
ab
b
2
）
）
补充：
欧拉公式：
a3
b3
c3
abc
（
a
b
ca2
b2
c2
ab
bc
ca
）
3
）（
1（a
b
c）[（ab）2
（b
c）2
（c
a）2]
2
ab
c
0
a
3
3
c
3
abc
特别地：
（1）当
时，有
b
3
（2）当c0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公
式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解
【分类解析】
1.
把
2
2
a
2
b
2
b分解因式的结果是（
）
a
A.
（a
b）（a
2）（b
2）
B.（ab）（a
b2）
.
C.（a
b）（a
b）2
D.
（a2
b）（b2
2
a）
2
分析：
a
2
2
ab2
b
a
2
2
a
1
b
2
b
1（
a
1）
2
（
b
1）
2
2
2
。
再利用平方差公式进行分解，最后得到
（a
b）（a
b2），故选择
B。
说明：
解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的
形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2.在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用
例：
已知多项式2x3x2m有一个因式是2x1，求m的值。
分析：
由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系
数法即可求出m的值。
解：
根据已知条件，设
2
x
3
x
2
m
（
2
x
1
2
axb）
）（x
则2
3
2
m
2
3
2
1
2
（a
2
x
x
x
（a
）x
b）xb
2a
1
1
（1）
由此可得
a
2b
0
（2）
m
b
（3）
由
（1）得a
1
把a
1
代入
（2），得b
1
2
把b
1代入（3），得m
1
2
2
3.在几何题中的应用。
.
.
例
：
已
知
a、b、c
是
ABC
的
三条
边
，
且满
足
a2
b2
c2
ab
bcac
0
，试判断
ABC的形状。
分析：
因为题中有a2、b2、ab，考虑到要用完全平方公式，
首先要把
ab
转成
2ab。
所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为
0，从而得解。
解：
a2
b2
c2
ab
bc
ac
0
2
a
2
2
2
2
2
2
2
2
0
b
c
ab
bc
ac
（a2
2
abb2）（b2
bcc2）（c2
2
aca2）
0
2
（ab）2
（bc）2
（c
a）2
0
（ab）2
0，（bc）2
0，（ca）2
0
ab0，bc
0，ca0
abc
ABC为等边三角形。
4.在代数证明题中应用
例：
两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：
先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
解：
设这两个连续奇数分别为
2n1，2n
3（n为整数）
则（2n3）2
（2n1）2
（2n32n1）（2n32n1）
2（4n4）
8（n1）
由此可见，（2n3）2（2n1）2一定是8的倍数。
5、中考点拨：
例1：
因式分解：
x34xy2________。
解：
x
3
4
xy2
xx2
4
y
2
）
x
（
x
2
y
）（
x
2
y
）
（
说明：
因式分解时，先看有没有公因式。
此题应先提取公因式，再用平方差公
式分解彻底。
例2：
分解因式：
2x3y8x2y2
8xy3
_________。
解：
2x3y8x2y2
8xy3
2xy（x2
4xy4y2）2xy（x2y）2
说明：
先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示：
例1.
已知：
a
1
m
，b
1
m
，c
1
m，
2
1
2
2
2
3
求
a
2
abb
2
acc
2
bc的值。
2
2
2
解：
a
2
ab
b
2
ac
c
2
bc
2
2
2
.
（a
b）2
c（a
b）
c2
2
（a
b
c）2
a
1m
，b
1m
，c
1m
3
2
1
2
2
2
原式
（a
bc）2
2
（1m1）（1m2）（1m3）
2
2
2
1m2
4
说明：
本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而
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