同济第六版《高等数学》教案WORD版第09章重积分.docx

1、同济第六版高等数学教案WORD版第09章重积分第九章 重积分教学目的：1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。8会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、 引力等）。教学重点：1、 二重积分的计算（直角坐标、极坐标） ；2、 三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。3、 二、三重积分的几何应用及物理应用。教学难点：1、 利用极坐标计算二重积分；2、 利用球坐标计算三重积分；3、 物理应用中的引力问题。9 A 二重

2、积分的概念与性质一、二重积分的概念1 .曲顶柱体的体积设有一立体.它的底是Xoy面上的闭区域 D .它的侧面是以 D的边界曲线为准线而母 线平行于Z轴的柱面.它的顶是曲面z=f（x.y）.这里f（x.y）_0且在D上连续，这种立体叫做 曲顶柱体，现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积首先.用一组曲线网把 D分成n个小区域 ：；1 . ：；2 n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线 .作母线平行于 Z轴的柱面.这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体.在每个.:Ci中任取一点（1 . J .以fi . i）为 高而底为厶G的平顶柱体的体积为f i .i） g （i= .2、.n ）,这个平顶柱

3、体体积之和nV 八 f（ i, ip-i .i 4可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值 ，为求得曲顶柱体体积的精确值 .将分割加密.只需取极限.即nV=Iimr f( i, ip-i .r0i 4其中是个小区域的直径中的最大值 .2 ,平面薄片的质量，设有一平面薄片占有 Xoy面上的闭区域D .它在点(X y)处的面密度为T(X .y).这里T(X . y) 0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量 M用一组曲线网把D分成n个小区域 C 1、2、 、心n .把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 ：:i . i)L-i .各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 ：nMJM ( i, )U i T

4、将分割加细.取极限.得到平面薄片的质量nM =Iim U( i, ip-i IQ i T其中是个小区域的直径中的最大值 .定义 设f(x y)是有界闭区域D上的有界函数将闭区域D任意分成n个小闭区域-7 1、匕匚2、 、匕匚n .其中厶；-Ii表示第i个小区域.也表示它的面积，在每个-i上任取一点(i . i).作和nV f( i, i)u .i T如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时.这和的极限总存在.则称此极限为函数f(x y)在闭区域D上的二重积分.记作Hf(X,y)d二.即Dnf(x,y)dr - Iim f ( i, J. ：G .D 卩丄f(x y)被积函数f(x y)d:被

5、积表达式.dc积元素x y积分变量 D积分区域.积分和直角坐标系中的面积元素 ：如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 D.那么除了包含边界点的一些小闭区域外.其余的小闭区域都是矩形闭区域 ，设矩形闭区域厶门的边长为.W和.yk则.Vi-xi.yi .因此在直角坐标系中.有时也把面积元素 do记作dxdy .而把二重积分记作f (x, y)dxdyD其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素 ，二重积分的存在性：当f(x . y)在闭区域D上连续时.积分和的极限是存在的.也就是 说函数f(x y)在D上的二重积分必定存在 ，我们总假定函数f(x y)在闭区域D上连续.所以 f(x y)在D

6、上的二重积分都是存在的 .二重积分的几何意义：如果f(x.y)_0 .被积函数f(x y)可解释为曲顶柱体的在点 (X y)处的竖坐标.所以二重积分的几何意义就是柱体的体积 ，如果f(x.y)是负的.柱体就在XOy面的下方.二重积分的绝对值仍等于柱体的体积 .但二重积分的值是负的.二.二重积分的性质性质1设Cl、C2为常数.则c(x,y) C2g(x,y)d丁 =CIHf(X,y)d二 C g(Xl y)d .D D D性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域 .则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和 ，例如D分为两个闭区域 Di与D则Mf(X,y)d二=f (x,y)

7、d 亠 Iif(X,y)d 二.D D1 D2性质3 !1 = . . -厂(二为D的面积).D D性质4如果在D上f(x y)_g(x y).则有不等式.f(,y)d七.g(x,y)d D D特殊地有L f(Xl y)dy f (x,y)d二.D D性质5设M、m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值.匚为D的面积.则有m；:_ f (x, y)d；:-MC ID性质6(二重积分的中值定理)设函数f(x y)在闭区域D上连续.二为D的面积.则在D 上至少存在一点C.)使得f(x,y)d；丁 = f( I )c .D9,2二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X _型区域D ：

8、(x) _y_ 2(x) .a-JD ,Y 型区域D ： TI(X)写 _ 2(x) .cd .混合型区域：设 f(x .y)_O. D-(x y) i(x)_y_ 2(x) a_x_b,此时二重积分.f (x, y)d二在几何上表示以曲面 Zh(X . y)为顶.以区域D为底的曲顶D柱体的体积，对于Xo a. b.曲顶柱体在 xxo的截面面积为以区间,(xo 2(x0)为底、以曲线 Zh(Xo y)为曲边的曲边梯形.所以这截面的面积为 2 (X0 )A(XQ) = (xo)f(x,y)dy、根据平行截面面积为已知的立体体积的方法 .得曲顶柱体体积为b b 2(x)V = aA(x)dx =

9、a f(X y)dydx .可记为b 2(x)JJf(x,y)db = adx(x)f(x,y)dy , D 1类似地.如果区域D为丫一一型区域D ：?i(x)y_ 2(x) CEyEd .则有d 2(y)f(x,y)d；：，C dy , .(y) f(x,y)dx .D 1例1 ,计算IIXydC .其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域D解：画出区域D方法一， 可把D看成是X-申区域Hx2.1兰yg ,于是2 X 2 y2 Y I 2 3 1 X4 X2 2 9HXyd= = 1 1 ydyd = 1 牙心=2 I (XX)dx 乜石 R2飞,D2 X 2 X注：积分还可以写成

10、 JJXydb = IdXjI Xydy= f xdx 1 ydy ,D解法2 ,也可把D看成是丫-申区域dy2.yx2,于是2 2 2 x2 2HXydgIqXydXIdy =f y 5ydy=1 (2yD 2例2 计算.y、,1 2 -y2d；.其中D是由直线、x*1及y次所围成的闭区域D解 画出区域D .可把D看成是X型区域：-10_1 .x匀_1 ,于是也可D看成是Y 型区域：-1 _y_1 1 一,x D2 : 1 _x _4, 2 _ y 八 X .于是1 HX 4 JXXydu Odx _ XXydy I dxxxydy . D 积分区域也可以表示为 D ： 一1 _y/ .yi

11、y 2.于是2 y也 2 v2 y I 2 CUXyd- = Jdy y2 xydxjJyU dy =- 1y(y 2)y5dyD _讨论积分次序的选择例4求两个底圆半径都等于 的直交圆柱面所围成的立体的体积 .解 设这两个圆柱面的方程分别为24y2=P2 及 X24z2=92,利用立体关于坐标平面的对称性 .只要算出它在第一卦限部分的体积 Vi .然后再乘以8就行了第一卦限部分是以 D =(x .y) O_y_ . R2 - x2 , O空X汩 为底.以Z= . R2 -X2顶的曲顶柱体于是V=8JRX 旳 ORdXOE Rq2dy 叫RRFyOEdx D=8 O (R2-x2) d16 R

12、3，.利用极坐标计算二重积分有些二重积分.积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便 .且被积函数用极坐标变量 T、二表达比较简单，这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分f (x,y)d二.Dn按二重积分的定义 Ilf(X,y)d；-Iim f( i, ipci ID下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式D分为n以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域 个小闭区域.小闭区域的面积为：氏 i =2(廿)2 甘-2 Fr=1(2f i F其中兀表示相邻两圆弧的半径的平均值在厶;Zi内取点(片，耳).设其直角坐标为(i).则有 i - Ji cosi . i -

13、几 SiZi In n于是 Iim f ( i, i) i =Iim f(icosvi,isinvi)i fi r ./. -l0 i =I /. -l0 i _1即 Ilf(X,y)d= f (co S, Sin)心.D D若积分区域D可表示为 1(勺兰PMP 2(9. e.则 I Ifc cos, Sinr):小 d J f C COSrJ SinR D 1 讨论如何确定积分限？I-.匚(R 、 .JJf(PCOS 日,Psi n。) Pd 田 G=LdTO f (PCO旳,Psi n)PdP “D2 下 QT)JJf(PCOS日,inT)PdPdT = 0dB0 f( co出,in日)勿

14、卩,D2 2例5 计算.e岐T dxdy .其中D是由中心在原点、半径为 a的圆周所围成的闭区域，解 在极坐标系中.闭区域D可表示为OPa . 2 ,于是 e42dxdy = ePdR8 =讥e PdPd 日=讥孝一戸刚日 D D 21 a2 2二. a2=1(e ) 0 dr(1-b),2 2 2 2注：此处积分 e T dxdy也常写成 .y dxdy .D xfiy2 -a22 2 2 iC 2利用 Inea y dxdy=(1-e4 )计算广义积分 Joejdx ：x2 y2 Ia22 2 2设 Di =(x y)|x y R x_0 .y_0.2 2 2D2=(x .y)x y 2R

15、 x_0 .y_0.S-(x.y)0kR.0iy.亠 2 .2显然Di S D2 .由于e y 0 .从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式2 2 2 2 2 2Ile T dxdy . “e* 一y dxdy . “e 一y dxdy .Di S D2R 2 R 2 R因为 He y dxdy = O e dx。ey dy =( e dx)2 .S又应用上面已得的结果有e2dxdy (1-e衣).ex2 今2dxdy (1-eV2 vn其中厶Vi表示第i个小闭区域.也表示它的体积，在每个.Vi任取一点(i . i. i).作乘积f( nii .Ei)g(i=1 .2 .n)并作和 fOi)

16、Mi .如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋于零时.这和的极限总存在.则称此极限为函数f(.y.z)在闭区域门上的三重积分.记作 I I i f(x,y,z)dv ,即nIIIf(X,y,z)dv = lim f ( i, i, i) W 0i三重积分中的有关术语 .i.i 积分号 f(x y z) 被积函数.f(x y z)dv 被积表达式.dv体积元素.XyZ积分变量.“一一积分区域.在直角坐标系中.如果用平行于坐标面的平面来划分 则AVi =妆AyJz .因此也把体积元素记为dv =dxdydz .三重积分记作11 If(X, y, Z)dv ： 11 I f (x, y, z)dxdy

17、dz . n当函数f (x.y.z)在闭区域I上连续时.极限Iim a f( i, i, 是存在的.Ioi丄因此f(x y Z)在门上的三重积分是存在的.以后也总假定f(x y Z)在闭区域门上是连续的，三重积分的性质：与二重积分类似.比如IIlICIf (x, y,Z) _C2g(x, y,z)dv =5 111 f (x,y,z)dv一C I ig(x,y,z)dv . f(x,y,z)dv Ef(X,y,z)dv . f(x,y,z)dv .J -.2 1 2I I I dv =V .其中V为区域I 的体积二、三重积分的计算1,利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算：三重积分也可化为三次

18、积分来计算 .设空间闭区域 二可表为z(x .y)_z_z2(x y) .yi(x)_y_y2(x) .a_x_bf(x,y,z)dz .b y2(x) Z2 (x, y)JdXyI(X) dy(x,y)f(x, y,z)dz. P 2(X) ILZ2(x,y)I lf(X,y,Z)d adXy1(x) dyz1(x,y)其中D : yi(x)_y%2(x) .axF .它是闭区域l 在 XOy面上的投影区域提示设空间闭区域11可表为zi(x .y)-zZ2(x y) .y(x) _y y2(x) .a_xb 计算. . .f (x, y, z)dv .基本思想：对于平面区域 D： yi(x)

19、_y_y2(x) .ax_b内任意一点(X y).将f(x.y.z)只看作Z的函数.在区间z( y) Z2(x .y)上对Z积分.得到一个二元函数 F(X y).Z2(,y)F(X,y)(x,y) f (X，y，Z)dZ然后计算F(Xy)在闭区域D上的二重积分.这就完成了 f(x y Z)在空间闭区域 门上的三重积 分，Z2 (x, y) b y2(x) 2(x,y)F(XMd- Jxy) f(x，y，Z)dZd adXy1(x)Z1(x,y) f (X,y,Z)dZdyD DZ2 (x, y)J(WdV=DZ1(xJ5d站b y2 (x) z2 (x, y)y2(x) Z2 (x, y)Ja

20、dXyI(X) 4(x,y) f(SZ)dZdyb y2(X)dx dy f(x, y,Z)dZ .a y(x) 3 z(,y), Hb y2(x) 2(x,y)If(X，y，Z)dadXy1 (X) dyz (x,y) f(X，y，Z)dZ，其中D : y1(x)_y _y2(x) .a丄-b ,它是闭区域l.1在 XOy面上的投影区域，1计算三重积分IIiXdXdydZ .其中11为三个坐标面及平面 2yz=1所围成的闭区作图.区域I 可表示为：01 該一2y . 0y*(1-x) .0x1 .1 J 1-x-2y.XdXdydZ= 0dx02 dy O XdZ1 -XJ (1-x-2y)

21、dy1= ROXdX#0(x-2xf3)dx=缶讨论：其它类型区域呢？有时.我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分设空间闭区域l.=( x y z)(x .yV DZ clc2.其中DZ是竖坐标为Z的平面截空间闭区域l.1所得到的一个平面闭区域 .则有HJf(X,y, z)dv= dz “ f (x, y, z)dxdy , DZ区域解空间区域门可表为：2 y2 22 2 -1 -c_z_c Ia2 b2 c2练习1,将三重积分I= f(x, y,z)dxdydz化为三次积分.其中T是由曲面z=1-X2-y2 z=0所围成的闭区域，(2)门是双曲抛物面Xy=Z及平面

22、y-1=0.z=0所围成的闭区域. 其中1是由曲面Z攻2，2y2及z=2 x2所围成的闭区域，2.将三重积分I I i i f(x, y,z)dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式 .其中门由曲面Z=1-2-y2 Z=O所围成的闭区域.2 ,利用柱面坐标计算三重积分设M(x .y Z)为空间内一点.并设点M在XOy面上的投影P的极坐标为PC-IV ).则这 样的三个数Z就叫做点M的柱面坐标.这里规定 八Z的变化范围为：0 _：V化： 0 2 zr为原点O与点M间的距离为OM与Z轴正向所夹的角 J为从正Z轴来看自X轴按逆T时针方向转到有向线段 OP的角.这里P为点M在XOy面上的投影.

23、这样的三个数r、V叫做点M的球面坐标.这里r、：、V的变化范围为0童v*c. 0空WV江.0兰日兰2兀.坐标面r=ro = 0 .r-R的意义点M的直角坐标与球面坐标的关系 ：x = rsi n cos 日x=rsin%osBy=rsinWSin日.z=rcos申“y = rsinsin 日z = r cos :球面坐标系中的体积元素 ：dv=r2sin drd d -.球面坐标系中的三重积分 ：Illf(X, y,z)dv = f (rsin CoSr,rsin ：sin - ,rcos ：)r2sin d r d d -. 例4求半径为a的球面与半顶角：为的内接锥面所围成的立体的体积解该立

24、体所占区域门可表示为：0 专 2acos .0 . 0 2 兀.于是所求立体的体积为Of 2a cos C=2二 OSin d ： 0 r2dr16二a? ： Q ： * ： 4a3 4 X= 0 coStPs nd甲= (1cosa),3 3提示：球面的方程为 X2 y2 (Z V)2 W2 .即X2 y2 z2=2az ,在球面坐标下此球面的方程为2r =2 ar cos.即 r =2acos I9,4重积分的应用元素法的推广：有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理 .这种元素法也可推广到二重积分的应用中.如果所要计算的某个量 U对于闭区域D具有可加性(就是说.当闭区域D分成许多小闭

25、区域时.所求量U相应地分成许多部分量.且U等于部分量之和).并且在闭区域 D内任取一个直径很小的闭区域 d二时.相应的部分量可近似地表示为 f(x y)d匚的形式.其中(X .y)在d；内.则称f(x . y)d二为所求量U的元素.记为dU .以它为被积表达式.在闭区 域D上积分U= f(, y)d二.D这就是所求量的积分表达式 ，一、曲面的面积设曲面S由方程Zh(X .y)给出D为曲面S在XOy面上的投影区域.函数f(x y)在D上 具有连续偏导数fx(x y)和fy(x y).现求曲面的面积 A .在区域D内任取一点P(X y).并在区域D内取一包含点P(X y)的小闭区域d二.其面积 也

26、记为d；二，在曲面S上点M(x .y .f(x y)处做曲面S的切平面T.再做以小区域d二的边界曲 线为准线、母线平行于 Z轴的柱面，将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值 .记为dA.又设切平面T的法向量与Z轴所成的角为 .则dA d I fF(, y) fj(,y)d二.cosIf V这就是曲面S的面积元素.于是曲面S的面积为A： I l J f2(, y) f：(x, y)d二. DA= J (X)2(；y)2dxdy设dA为曲面S上点M处的面积元素 dA在XOy面上的投影为小闭区域 d；.M在XOy 面上的投影为点 P(xy).因为曲面上点 M处的法向量为n=(_fx._fy. 1).所以dA =Inldj -