同济第六版《高等数学》教案WORD版第09章重积分.docx
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同济第六版《高等数学》教案WORD版第09章重积分
第九章重积分
教学目的：
1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。
2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。
8会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。
教学重点：
1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；
2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。
3、二、三重积分的几何应用及物理应用。
教学难点：
1、利用极坐标计算二重积分；
2、利用球坐标计算三重积分；
3、物理应用中的引力问题。
§9A二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
1.曲顶柱体的体积
设有一立体.它的底是Xoy面上的闭区域D.它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于Z轴的柱面.它的顶是曲面z=f（x.y）.这里f（x.y）_0且在D上连续，这种立体叫做曲顶柱体，现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积
首先.用一组曲线网把D分成n个小区域
•：
：
；「1.•：
：
；「2■'^^n.
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线.作母线平行于Z轴的柱面.这些柱面把原来的曲
顶柱体分为n个细曲顶柱体.在每个.■:
Ci中任取一点（1.J.以f「i.i）为高而底为厶G的平顶柱体的体积为
f^i.ηi）g（i=.2、….n）,
这个平顶柱体体积之和
n
V八f（i,ip-i.
i4
可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值，为求得曲顶柱体体积的精确值.将分割加密.只
需取极限.即
n
V=Iimrf（i,ip-i.
∙r0i4
其中■是个小区域的直径中的最大值.
2,平面薄片的质量，
设有一平面薄片占有Xoy面上的闭区域D.它在点（Xy）处的面密度为T（X.y）.这里T（X.y）0且在D上连续.现在要计算该薄片的质量M
用一组曲线网把D分成n个小区域
■C1、2、、'心n.
把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量：
:
「i.i）L-i.
各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值：
n
MJM'■■（i,）U■
iT
将分割加细.取极限.得到平面薄片的质量
n
M=IimU（i,ip-iI
QiT
其中'是个小区域的直径中的最大值.
定义设f（xy）是有界闭区域D上的有界函数•将闭区域D任意分成n个小闭区域
■'-71、匕匚2、、匕匚n.
其中厶；-Ii表示第i个小区域.也表示它的面积，在每个—-i上任取一点（i.i）.作和
n
Vf（i,i）∙u.
iT
如果当各小闭区域的直径中的最大值■趋于零时.这和的极限总存在.则称此极限为函数
f（xy）在闭区域D上的二重积分.记作Hf（X,y）d二.即
D
n
f（x,y）dr-Iim'f（i,J.：
G.
D‘卩丄
f（xy）被积函数f（xy）d:
被积表达式.dc≡积元素xy积分变量D积分区域.积分和
直角坐标系中的面积元素：
如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D.那么除了包含边界点的一些
小闭区域外.其余的小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭区域厶门的边长为.W和.∖yk则
.VΓi--f（x,y）dxdy
D
其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素，
二重积分的存在性：
当f（x.y）在闭区域D上连续时.积分和的极限是存在的.也就是说函数f（xy）在D上的二重积分必定存在，我们总假定函数f（xy）在闭区域D上连续.所以f（xy）在D上的二重积分都是存在的.
二重积分的几何意义：
如果f（x.y）_0.被积函数f（xy）可解释为曲顶柱体的在点（Xy）处
的竖坐标.所以二重积分的几何意义就是柱体的体积，如果f（x.y）是负的.柱体就在XOy
面的下方.二重积分的绝对值仍等于柱体的体积.但二重积分的值是负的.
二.二重积分的性质
性质1设Cl、C2为常数.则
[c√（x,y）C2g（x,y）]d丁=CIHf（X,y）d二C^g（Xly）d^^.
DDD
性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域.则在D上的二重积分等于
在各部分闭区域上的二重积分的和，例如D分为两个闭区域Di与D^则
Mf（X,y）d二=f（x,y）d■亠Iif（X,y）d二.
DD1D2
性质3!
!
1=..-厂（二为D的面积）.
DD
性质4如果在D上f（xy）_g（xy）.则有不等式
..f（χ,y）d七..g（x,y）d—
DD
特殊地有
Lf（Xly）dy∣f（x,y）d二.
DD
性质5设M、m分别是f（xy）在闭区域D上的最大值和最小值.匚为D的面积.则有
m；:
「_f（x,y）d；:
「-MCI
D
性质6（二重积分的中值定理）设函数f（xy）在闭区域D上连续.二为D的面积.则在D上至少存在一点C.）使得
f（x,y）d；丁=f（I）c.
D
§9,2二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
X__型区域
D：
'ι（x）_y_2（x）.a-×JD,
Y—型区域
D：
：
'TI（X）写_2（x）.c√^d.
混合型区域：
设f（x.y）_O.D-{（xy）∣i（x）_y_2（x）a_x_b},
此时二重积分..f（x,y）d二在几何上表示以曲面Zh（X.y）为顶.以区域D为底的曲顶
D
柱体的体积，
对于Xo∙[a.b].曲顶柱体在x^xo的截面面积为以区间[,ι（xo^2（x0）]为底、以曲线Zh（Xoy）为曲边的曲边梯形.所以这截面的面积为
∙2（X0）
A（XQ）=£（xo）f（x,y）dy、
根据平行截面面积为已知的立体体积的方法.得曲顶柱体体积为
bb'2（x）
V=aA（x）dx=a[f（Xy）dy]dx.
可记为
b®2（x）
JJf（x,y）db=adx£（x）f（x,y）dy,D1
类似地.如果区域D为丫一一型区域
D：
：
?
i（x）£y_2（x）CEyEd.
则有
d⅛2（y）
f（x,y）d；：
，Cdy,.（y）f（x,y）dx.
D1
例1,计算IIXydC.其中D是由直线y=1、x=2及y=x所围成的闭区域
D
解：
画出区域D
方法一，可把D看成是X-申区域H≤x≤2.1兰yg,于是
2X2y2YI231X4X229
HXyd==1[1χydy]dχ=1[χ牙]心=^2I（X^X）dx乜石R2飞,
D
2X2X
注：
积分还可以写成JJXydb=IdXjIXydy=fxdx1ydy,
D
解法2,也可把D看成是丫-申区域d≤y≤2.y≤x≤2,于是
222x22
HXydgIqXydXIdy=f[y5]ydy=1（2y
D2
例2•计算..y、,1∙χ2-y2d；「.其中D是由直线、x*1及y次所围成的闭区域
D
解画出区域D.可把D看成是X—型区域：
-10_1.x匀_1,于是
也可D看成是Y—型区域：
-1_y_11一χ
JJy』+x2-y2dbPydyiyJ1+x2-y2dx,
D^^
例3计算..xyd匚.其中D是由直线y=x-2及抛物线y2承所围成的闭区域
D
解积分区域可以表示为Dm计D2.
其中D1:
O叮，-、X乞y_>,xD2:
1_x_4,2_y八X.于是
1√HX4JX
XyduOdx_XXydyIdxx积分区域也可以表示为D：
一1_y/.y^i^≤y2.于是
2y也2v2yI2CU
Xyd-=Jdyy2xydxjJ^yUdy=-1[y（y2）^y5]dy
D_
讨论积分次序的选择
例4求两个底圆半径都等于「的直交圆柱面所围成的立体的体积.
解设这两个圆柱面的方程分别为
χ24y2=P2及X24z2=92,
利用立体关于坐标平面的对称性.只要算出它在第一卦限部分的体积Vi.然后再乘以8就
行了
第一卦限部分是以D={（x.y）∣O_y_...R2-x2,O空X汩为底.以Z=∙∙.R2-X2顶的曲顶柱体
于是
V=8□JR^X⅛旳ORdXOE√Rq2dy叫R[√RFy]O'EdxD
=8O（R2-x2）d^16R3，
.利用极坐标计算二重积分
有些二重积分.积分区域D的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便.且被积函数用
极坐标变量T、二表达比较简单，这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分
f（x,y）d二.
D
n
按二重积分的定义Ilf（X,y）d；「-Iim'f（i,ipciI
D
下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式
D分为n
以从极点O出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域个小闭区域.小闭区域的面积为：
氏i=2（「廿）2甘-2Fr=1（2—fiF
其中兀表示相邻两圆弧的半径的平均值
在厶;Zi内取点（片，耳）.设其直角坐标为（i）.
则有i-Jicos^i.i-几SiZiI
nn
于是Iim'f（i,i）ιi=Iim'f（τicosvi,τisinvi）τifir.
/.-l0i=I/.-l0i_1
即Ilf（X,y）d==f（「coS,'Sin）心⑴.
DD
若积分区域D可表示为
φ1（勺兰PMP2（9.α≤e≤β.
则IIfccos^,■Sinr）:
小dJfCCOSrJSinR—
D'1"
讨论如何确定积分限？
I--..匚（R、「.…
JJf（PCOS日,Psin。
）Pd田G=LdTOf（PCO旳,Psin^）PdP“
D
2下QT）
JJf（PCOS日,inT）PdPdT=0dB0f（^co出,in日）勿卩,
D
22
例5•计算..e岐Tdxdy.其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区
域，
解在极坐标系中.闭区域D可表示为
O≤P≤a.^≤2π,
于是"e42dxdy="e"PdR8=讥[e"PdP]d日=讥—孝一戸刚日DD2
1a22二.a2
=1（^~e）0dr（1-b）,
2222
注：
此处积分e^Tdxdy也常写成..^ydxdy.
Dx^fiy2-^a2
222i⅛C2
利用Inea^ydxdy=χ（1-e4）计算广义积分Joejdx：
x2y2Ia2
222
设Di={（xy）|xy222
D2={（x.y）∣xy<2Rx_0.y_0}.
S-{（x.y）∣0≤k≤R.0iy^}.
亠2..2
显然DiSD2.由于e^^y0.从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式
222222
Ile^Tdxdy.“e*一ydxdy.“e"一ydxdy.
DiSD2
R2R2R
因为He^^ydxdy=Oe^dx。
e~ydy=（°e^dx）2.
S
又应用上面已得的结果有
e'τ2dxdy（1-e衣）.e~x2今2dxdy（1-eDi4D24
于是上面的不等式可写成才（1-e^R2）£仃：
「*）2违（1_产2）,
-■-：
2
令R广二、上式两端趋于同一极限从而e~xdx-I
4L02
例6求球体χ2∙y2N2∕a2被圆柱面x2y2=2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体
的体积
解由对称性.立体体积为第一卦限部分的四倍，
V=411∙,4a2-X2-y2dxdy.
D
其中D为半圆周y=√2aχ-χ2及X轴所围成的闭区域，
在极坐标系中D可表示为
0_：
：
_2aCoSTl0
2
2acosV
于是V=4Jjj4a2-P2用丹日=4]2d日0J4a2-P2PdP
D
§93三重积分
一、三重积分的概念
定义设f（xyz）是空间有界闭区域I"l上的有界函数.将「I任意分成n个小闭区域
IVl.∙>V2…∙∙'vn
其中厶Vi表示第i个小闭区域.也表示它的体积，在每个.∖Vi±任取一点（i.i.i）.作乘积f（n
i』i.Ei）g（i=1.2.n）并作和ΣfOi）Mi.如果当各小闭区域的直径中的最大值λ
趋于零时.这和的极限总存在.则称此极限为函数f（χ.y.z）在闭区域门上的三重积分.记
作IIif（x,y,z）dv,即
Ω
n
IIIf（X,y,z）dv=lim'f（i,i,i）W‘
—0i
三重积分中的有关术语.∣.i.i积分号∙f（xyz）被积函数.f（xyz）dv被
Ω
积表达式.dv体积元素.XyZ――积分变量.“一一积分区域.
在直角坐标系中.如果用平行于坐标面的平面来划分」则AVi=妆AyJz.因此也把
体积元素记为dv=dxdydz.三重积分记作
11If（X,y,Z）dv：
11If（x,y,z）dxdydz.
ΩΩ
n
当函数f（x.y.z）在闭区域I■■上连续时.极限Iimaf（i,i,是存在的.
Ioi丄
因此f（xyZ）在门上的三重积分是存在的.以后也总假定f（xyZ）在闭区域门上是连续的，
三重积分的性质：
与二重积分类似.
比如
IIlICIf（x,y,Z）_C2g（x,y,z）]dv=5111f（x,y,z）dv一C^Iig（x,y,z）dv
ΩΩΩ
...f（x,y,z）dvEf（X,y,z）dv...f（x,y,z）dv.
'J-'.2'1'2
IIIdv=V.其中V为区域I■■的体积
Ω
二、三重积分的计算
1,利用直角坐标计算三重积分
三重积分的计算：
三重积分也可化为三次积分来计算.设空间闭区域二可表为
zι（x.y）_z_z2（xy）.yi（x）_y_y2（x）.a_x_b
f（x,y,z）dz.
by2（x）Z2（x,y）
JdXyI（X）dyκ（x,y）
f（x,y,z）dz
...P∀2（X）ILZ2（x,y）
Ilf（X,y,Z）d^adXy1（x）dyz1（x,y）
其中D:
yi（x）_y%2（x）.a^xF.它是闭区域l'''在XOy面上的投影区域
提示
设空间闭区域11可表为
zi（x.y）-z≤Z2（xy）.yι（x）_y^y2（x）.a_x^b计算...f（x,y,z）dv.
Ω
基本思想：
对于平面区域D：
yi（x）_y_y2（x）.a^x_b内任意一点（Xy）.将f（x.y.z）只看作Z的函数.在区
间[zι（χy）Z2（x.y）]上对Z积分.得到一个二元函数F（Xy）.
Z2（χ,y）
F（X,y）∖（x,y）f（X，y，Z）dZ
然后计算F（Xy）在闭区域D上的二重积分.这就完成了f（xyZ）在空间闭区域门上的三重积分，
Z2（x,y）by2（x）∕2（x,y）
F（XMd-Jxy）f（x，y，Z）dZ]d—adXy1（x）[Z1（x,y）f（X,y,Z）dZ]dy
DD
Z2（x,y）
J（WdV=D[Z1（xJ5d站
by2（x）z2（x,y）
y2（x）Z2（x,y）
JadXyI（X）[4（x,y）f（SZ）dZ]dy
by2（X）
dxdyf（x,y,Z）dZ.
ay（x）3z（χ,y）
,,Hby2（x）∕2（x,y）
If（X，y，Z）d^adXy1（X）dyz（x,y）f（X，y，Z）dZ，
其中D:
y1（x）_y_y2（x）.a丄-b,它是闭区域l'.1在XOy面上的投影区域，
1计算三重积分IIiXdXdydZ.其中11为三个坐标面及平面χ∙2y∙z=1所围成的闭区
Ω
作图.区域I^ι可表示为：
0ξ⅛≤1該一2y.0≤y≤*（1-x）.0≤x≤1.
1J1-x-2y
...XdXdydZ=0dx02dyOXdZ
1-X
J（1-x-2y）dy
Ω
1
=ROXdX
#0（x-2xf3）dx=缶
讨论：
其它类型区域呢？
有时.我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分
设空间闭区域l.∙={（xyz）∣（x.yVDZc^l^c2}.其中DZ是竖坐标为Z的平面截空间闭区域l'.1
所得到的一个平面闭区域.则有
HJf（X,y,z）dv=[dz“f（x,y,z）dxdy,
ΩDZ
区域
解空间区域门可表为：
2y22
^22-1^⅛-c_z_cI
a2b2c2
练习
1,将三重积分I=f（x,y,z）dxdydz化为三次积分.其中
Ω
⑴'T是由曲面z=1-X2-y2z=0所围成的闭区域，
（2）门是双曲抛物面Xy=Z及平面χ∙y-1=0.z=0所围成的闭区域.⑶其中1是由曲面Z攻2，2y2及z=2∙x2所围成的闭区域，
2.将三重积分IIiif（x,y,z）dxdydz化为先进行二重积分再进行定积分的形式.其
Ω
中门由曲面Z=1-χ2-y2Z=O所围成的闭区域.
2,利用柱面坐标计算三重积分
设M（x.yZ）为空间内一点.并设点M在XOy面上的投影P的极坐标为PC-IV）.则这样的三个数Z就叫做点M的柱面坐标.这里规定八Z的变化范围为：
0_：
：
V化£：
02坐标面Q=P.3l-Tl0Z=ZO的意义
点M的直角坐标与柱面坐标的关系：
'x=PCoSTx=rcosd.y=-Sin=.z=z.讨=ISi
Z=Z
柱面坐标系中的体积元素：
dv=rd曲Pz
简单来说.dxdy=：
d二.dxdydz=dxdydz=dd二dz
柱面坐标系中的三重积分：
Illf（X,y,z）dxdydz=f（「cosv,「sinv,z）「d】dvdz.
ΩΩ
例3利用柱面坐标计算三重积分IIIZdXdydZ.其中门是由曲面^x2y2与平面z/所
Ω
围成的闭区域，
解闭区域门可表示为：
^≤z≤4.0兰P艺.O兰日玄n.
于是IiIZdXdydZ=ZrdjdVdZ
ΩΩ
2-2412~2.
Sd}0PJzdz弓O茁。
心6」4府寺：
［8：
2-6鬥0詈：
•
3.利用球面坐标计算三重积分
设M（XyZ）为空间内一点.则点M也可用这样三个有次序的数r、、二来确定.其中
—>
r为原点O与点M间的距离「为OM与Z轴正向所夹的角J为从正Z轴来看自X轴按逆
T
时针方向转到有向线段OP的角.这里P为点M在XOy面上的投影.这样的三个数r、、
V叫做点M的球面坐标.这里r、：
、V的变化范围为
0童v*c.0空WV江.0兰日兰2兀.
坐标面r=ro=0.r-R的意义
点M的直角坐标与球面坐标的关系：
x=rsin^cos日
x=rsin%osBy=rsinWSin日.z=rcos申“」y=rsin^sin日
z=rcos:
球面坐标系中的体积元素：
dv=r2sindrdd-.
球面坐标系中的三重积分：
Illf（X,y,z）dv=f（rsinCoSr,rsin：
sin-,rcos：
）r2sindrdd-.
ΩΩ
例4求半径为a的球面与半顶角：
■为的内接锥面所围成的立体的体积
解该立体所占区域门可表示为：
0专≤2acos^.0.0≤⅛2兀.
于是所求立体的体积为
Of2acosψC
=2二OSind：
0r2dr
16二a?
：
Q：
•*：
4a34X
=0coStPsιnd甲=（1—cosa）,
33
提示：
球面的方程为X2∙y2∙（ZV）2W2.即X2y2∙z2=2az,在球面坐标下此球面的方程为
2
r=2arcos「.即r=2acosI
§9,4重积分的应用
元素法的推广：
有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理.这种元素法也可推广到二重积分
的应用中.如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性（就是说.当闭区域D分成
许多小闭区域时.所求量U相应地分成许多部分量.且U等于部分量之和）.并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d二时.相应的部分量可近似地表示为f（xy）d匚的形式.其
中（X.y）在d；「内.则称f（x.y）d二为所求量U的元素.记为dU.以它为被积表达式.在闭区域D上积分
U=f（χ,y）d二.
D
这就是所求量的积分表达式，
一、曲面的面积
设曲面S由方程Zh（X.y）给出D为曲面S在XOy面上的投影区域.函数f（xy）在D上具有连续偏导数fx（xy）和fy（xy）.现求曲面的面积A.
在区域D内任取一点P（Xy）.并在区域D内取一包含点P（Xy）的小闭区域d二.其面积也记为d；二，在曲面S上点M（x.y.f（xy））处做曲面S的切平面T.再做以小区域d二的边界曲线为准线、母线平行于Z轴的柱面，将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的
小块曲面面积的近似值.记为dA.又设切平面T的法向量与Z轴所成的角为.则
dAdIfF（χ,y）fj（χ,y）d二.
cosIfV
这就是曲面S的面积元素.
于是曲面S的面积为
A：
IlJfχ2（χ,y）f：
（x,y）d二.D
A=J（X）2（；y）2dxdy
设dA为曲面S上点M处的面积元素dA在XOy面上的投影为小闭区域d；「.M在XOy面上的投影为点P（xy）.因为曲面上点M处的法向量为n=（_fx._fy.1）.所以
dA=Inldj-
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