二次函数复习要点.docx

1、二次函数复习要点二次函数复习知识点、二次函数概念:21二次函数的概念：一般地，形如 y = ax+bx+c（ a,b,c是常数，a工0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似， 二次项系数a 0,而b ,c可以为零二次函数的定义域是全体实数22.二次函数 y = ax +bx+c的结构特征: 等号左边是函数，右边是关于自变量 x的二次多项式。（含自变量的代数式是整式,自变量的最高次数是 2,二次项系数不为 0.）a , b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项二、二次函数的基本形式21. y = ax的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a 0

2、向上(0, 0)y轴x0时，y随x的增大而增大；xcO时，y随 x的增大而减小；x=0时，y有最小值0 .a c0向下(0, 0)y轴x0时，y随x的增大而减小；xc0时，y随 x的增大而增大；x=0时，y有最大值0 .2. y = ax2 + k的性质： （k上加下减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a 0向上(0, k)y轴x0时，y随x的增大而增大；xc0时，y随 x的增大而减小；x = 0时，y有最小值k.a c0向下(0, k)y轴x0时，y随x的增大而减小；xc0时，y随 x的增大而增大；x = 0时，y有最大值k.3.y = a （x-h ） 2的性质：（h左加右减）

3、a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a 0向上(h, 0)直线x=hxh时，y随x的增大而增大；xvh时，y 随x的增大而减小；x = h时，y有最小值0 .a v0向下(h, 0)直线x=hxh时，y随x的增大而减小；xvh时，y 随x的增大而增大；x = h时，y有最大值0 .24.y = a (x h) + k 的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）a 0向上(h, k)直线x=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y 随x的增大而减小；x = h时，y有取小值k .a h时，y随x的增大而减小；x0向上 b 4ac-b2 I 2a 4a ；直线bx =2a-时，y

4、随x的增大而增大； 2axv b时，y随x的增大而减小； 2a2X_丄时，y有最小值4ac-b . 2a 4aa c0向下b 4ac-b2 I 2a 4a ;直线bx =2aX -一时，y随x的增大而减小； 2a-时，y随x的增大而增大； 2ax = -时，y有最大值4ac b . 2a 4a三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a. （ a决定了抛物线开口的大小和方向）2二次函数y二ax bx c中，a作为二次项系数，显然 a工01当a 0时，抛物线开口向上，当 a 0 为例，a 0A = 0A 0Ay = ax + c丄卜为对称轴： - x % +x2交点式：y = a(x

5、_xj(x _x2)当 xvx!或 xax2时，y0当为 x v x2时，y0J当X为全体实数时，y0二次函数a02y = ax + cI1 J11兀二次方程ax2 +Ax+c = 0两根为x-i, x2-b VX / 、X （Xi V X2）2a（有两个不相等的实数根）bX二屯二 1彳2a（有两个相等的实数根）无实根抛物线上两点A（Xi,y）,B（X2,yo）,则抛物线对称轴为直线x山X2十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润、最大面积是多少十二、二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；f 2、 b 求二次函数的最大（小）值利用顶点

6、坐标公式 ，4a_b ，即当 时I 2a 4a 丿 2a 根据图象的位置判断二次函数 y =ax2 bx c中a，b， c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要 数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或 已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标二次函数考查重点与常见题型1、已知以x为自变量的二次函数 y = （m -2）x2 m2 -m -2的图像经过原点， 则m的值是 -12写出一个开口向上，顶点坐标是（ 2, -3 ）的函数解析式 。3.将二次函数y =x2 +6x 5配成y =（x h）2 +k的形式是 .4

7、抛物线y=x25x+6与x轴交点的坐标是 （2, 0）、（3,0）5.已知函数y =x2 _3x +m，当x = 1时，y = 5,则x= 1时，y的值是-1 -。6王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线 y =2x2 3x 3相吻合，那么他能跳过的最大高度为 m7.将抛物线y=3x2的图象向左平移 2个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线是(B )。2 2 2 2A. y =3(x 2) -3 b y=3(x 2) -2 C y=3(x2) -3 D y = 3(x2) -2&下列描述抛物线 y =(1 -x)(x 2)的开口方向及其最值情况正确的是( C)。A.开口

8、向上，y有最大值 B .开口向上，y有最小值minADB, iCC .开口向下，y有最大值 D .开口向下，y有最小值9如图，一边靠墙（墙有足够长），其他三边用12米长的篱笆围成 一个矩形（ABCD花园，这个花园的最大面积是（ 18 ）平方米。10、如图，如果函数y二kx b的图像在第一、二、三象限内，那么函数11、A12、二次函数y=ax2bx c的图像如图1,则点.第二象限 C .第三象限第一象限 2已知二次函数 y=ax+bx+c （0）的图象如图当x=1和x=3时，函数值相等； 4a+b=0;当数是（B ）A. 1 个 B.4个c亠M （b,）在aD .第四象限2所示，？则下列结论：a

9、、b同号； y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个13、 已知二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2 , 0)、(xi, 0)，且1xi2，与y轴的 正半轴的交点在点(0, 2)的下方.下列结论：ab0;4a+c0, 其中正确结论的个数为(D )A 1个 B. 2 个 C. 3 个 D . 4个14、 已知：关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数 y=ax2+bx+c的 对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为 (C )A(2, -3) B.(2 , 1) C(2 , 3) D . (3 , 2)15、 你知道吗？平时我们在跳大绳时， 绳甩到

10、最高处的形状可近似地看为抛物线. 如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 m距地面均为1m学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m 2. 5 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知学生丙的身高是 1 . 5 m，则学生丁的身高为 (建立的平面直角坐标系如右图所示)(B )A. 1. 5 m B . 1. 625 m C . 1. 66 m D . 1. 67 m16、已知一条抛物线经过5(0,3) , (4,6)两点，对称轴为x ，求这条抛物线的解析式。317、已知抛物线y二ax2，bx(a丰0)与x轴的两个交点的横坐标是一 1、3，与y轴交点一 3的纵坐标是一( 1)

11、确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴 和顶点坐标.12 518、已知抛物线y= x2+x-22(1 )用配方法求它的顶点坐标和对称轴.(2)若该抛物线与x轴的两个交点为 A、B,求线段AB的长.19、如图，二次函数 y =ax2 bx c的图象经过 a、b、c三点.(1 )观察图象，写出 A、B C三点的坐标，并求出抛物线解析式 (2)求此抛物线的顶点坐标和对称轴 ； 2 220、已知抛物线 y=x + (2k+1) x-k +k(1)求证：此抛物线与 x轴总有两个不同的交点；(2) 设A (X1, 0)和B(X2, 0)是此抛物线与x轴的两个交点，且满足 X12+X

12、22= -2k2+2k+1 ,求抛物线的解析式此抛物线上是否存在一点 巳使厶PAB的面积等于3,若存在，请求出点 P的坐标;若不存在，请说明理由。【解析】 =(2k+1) 2-4*1* (-k2+k)=8k2+10 恒成立此抛物线线与x轴总有两个不同的交点(2) T X12+X22=-2k 2+2k+1 x 1+X2=-b/a=2k+1 x 1*X2=c/a=-k 2+k X12+X22= (X1+X2) 2-2x1X2= (2k+1 ) 2-2 (-k 2+k) =6K2+2k+ 1=-2k2+2k+1解得k=0 抛物线的解析式是 y=x2+x点A和点B是抛物线y=x2+x与x轴的两个交点由

13、 x2+x=0，得 x 1=-1 , X2=0 则 AB=1又 PAB的面积等于 3 设 P (x, y). S= (1/2 ) *1*y=3 贝U y=6由 x2+x=6，得 X1=2, X2=-3 即 R (2, 6) 或 P2 (-3 , 6)21、如图(单位：m),等腰三角形 ABC以2米/秒的速度沿直线 L向正方形移动，直到 AB 与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 丫卅.(1)写出y与x的关系式；(2)当x=2, 3.5时，y分别是多少？(3)当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.22、某产品每件成本10元，试销阶段

14、每件产品的销售价 x (元)?与产品的日销售量 y (件)之间的关系如下表：x (元)152030y (件)252010若日销售量y是销售价x的一次函数.(1)求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；(2) 要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？ ？此时每日销售利润 是多少元？【解析】(1 )设此一次函数表达式为 y=kx+b .则15k b 25,解得k=-1 , b=40, ?即一2k + b = 20次函数表达式为y=-x+40 .(2)设每件产品的销售价应定为 x元，所获销售利润为 w元2 2w= (x-10 ) (40-x ) =-x +50x-400=

15、- (x-25 ) +225.产品的销售价应定为 25元，此时每日获得最大销售利润为 225元.23.如图，抛物线y - -X2 5x n经过点A(1,0)，与y轴交于点B。(1)求抛物线的解析式；(2)P是y轴上一点，且 PAB是以AB为腰的等腰三角形，请写出P点坐标。解：(1 ) A (1, 0)在抛物线上，可把 A点坐标代入方程得-1 2+5X 1+n=0,2解得n=-4 , 抛物线的解析式为 y=-x +5x-4 ;(2)把x=0代入抛物线方程得 y=-4 , B点坐标为(0, -4 ), PAB是以AB为腰的等腰三角形,可分两种情况： PA=ABPB=AB若PA=AB则P点和B点关于原点对称, P点坐标为(0, 4);若PB=AB且曲二如,