2
5.y=ax+bx+c的性质:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质（增减性）
a>0
向上
■'b4ac-b2"
I2a'4a；
直线
b
x=——
2a
^-―时，y随x的增大而增大；2a
xv―b时，y随x的增大而减小；2a
2
X_丄时，y有最小值4ac-b.2a4a
ac0
向下
b4ac-b2'
I2a'4a;
直线
b
x=——
2a
X>-一时，y随x的增大而减小；2a
^-―时，y随x的增大而增大；2a
x=-—时，y有最大值4acb.2a4a
三、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数a.（a决定了抛物线开口的大小和方向）
2
二次函数y二axbxc中，a作为二次项系数，显然a工0
1当a0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；
2a的绝对值越大，开口越小，反之a的绝对值越小，开口越大。
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小.
2.一次项系数b（a和b共同决定抛物线对称轴的位置）
2b
.抛物线y=ax-bx-c的对称轴是直线x，故：
①b=0时，对称轴为y轴;
2a
②（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③（即a、b异号）时，对称轴
在y轴右侧.
ab的符号的判定：
对称轴x-在y轴左边则ab0,在y轴的右侧则
2a
ab.0，概括的说就是“左同右异”
3.
常数项C（c决定了抛物线与y轴交点的位置）
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.
总之，只要a,b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.
四、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a（x-hj+k，确定其顶点坐标（h,k）；
⑵保持抛物线y二ax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下:
2.平移规律
在原有函数的基础上h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”.
方法二：
⑴y二ax2bxc沿y轴平移：
向上（下）平移m个单位，y二ax2bxc变成
y=axbxcm（或y=axbxc-m）
⑵y=ax2•bxc沿x轴平移：
向左（右）平移m个单位，y=ax2bxc变成
22
y=a（xm）b（xm）c（或y=a（x-m）b（x-m）c）
五、—次函数y=ax—hj亠k与y=ax2bxc的比较
从解析式上看，y=a（x—hj+k与y=ax2+bx+c是两种不同的表达形式，后者通过配
五点绘图法：
利用配方法将二次函数y=ax2-bxc化为顶点式y=a（x「h）2-k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图•一般我们
选取的五点为：
顶点、与y轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点2h,c、与x轴的交点Xi,0,X2,0（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）•
画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
七、
二次函数图象的对称
1.
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于x轴对称
y=ax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是
y=-ax2—bx—c；
2.
2
y=ax-hk关于x轴对称后，得到的解析式是
关于y轴对称
2
y=-ax_h;—k；
3.
y=ax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是
2
y=ax-hk关于y轴对称后，得到的解析式是
关于原点对称
^ax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是
y二ax2-bxc；
2
yrax'hj'k；
y=-ax2bx-c；
2
y=ax-hk关于原点对称后，得到的解析式是
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a
永远不变.
八、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的
解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情
况：
1.般式：
y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a^0）,适用条件：
已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.顶点式：
y二a（x-h）2（a,h,k为常数，a=0）,适用条件：
已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点
式；
3.交点式（两根式）：
y=a（x-xj（x-X2）（a=0,Xi,X2是抛物线与x轴两交点的横坐标），适用条件：
已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x轴的两
个交点（人，0），（X2，0），一般选用交点式；
九、二次函数的最值
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小
此范围内，则需要考虑函数在Xi_X_X2范围内的增减性，如果在此范围内，y
随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax|bx2c，当x=为时，y最小二ax；bx1c;如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=论时，y最大=ax；bxic，当x=X2时，y最小=ax；bx?
c。
十、掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系（以a>0为例，a<0请同学们自己补充）
判别式A二护一4处
A>0
A=0
A<0
二次函数a>0
A
y=ax+c
丄卜为对称轴：
\-■x%+x2
交点式：
y=a（x_xj（x_x2）
当xvx!
或xax2时，y>0
当为kz
当"la时，
y>0
J
当X为全体实数时，y>0
二次函数a<0
2
y=ax+c
I
1
J
1
■
1
兀二次方程
ax2+Ax+c=0
两根为x-i,x2
-b±VX/、
X—（XiVX2）
2a
（有两个不相等的实数根）
b
X］二屯二
1彳2a
（有两个相等的实数根）
无实根
▲抛物线上两点A（Xi,y°）,B（X2,yo）,则抛物线对称轴为直线x山X2
十一、函数的应用
「刹车距离
二次函数应用何时获得最大利润
、最大面积是多少
十二、二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
f2、b
⑵求二次函数的最大（小）值利用顶点坐标公式，4a_b，即当％时
I2a4a丿2a
⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2•bx•c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，
b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标
二次函数考查重点与常见题型
1、已知以x为自变量的二次函数y=（m-2）x2•m2-m-2的图像经过原点，则m的
值是-1
2•写出一个开口向上，顶点坐标是（2,-3）的函数解析式。
3.将二次函数y=』x2+6x—5配成y=（x—h）2+k的形式是.
4•抛物线y=x2—5x+6与x轴交点的坐标是（2,0）、（3,0）
5.已知函数y=x2_3x+m，当x=1时，y=—5,则x=—1时，y的值是-1-。
6•王翔同学在一次跳高训练中采用了背跃式，跳跃路线正好和抛物线y=2x2•3x3相吻
合，那么他能跳过的最大高度为m
7.将抛物线y=3x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是
（B）。
2222
A.y=3（x2）-3b•y=3（x2）-2C•y=3（x—2）-3D•y=3（x—2）-2
&下列描述抛物线y=（1-x）（x2）的开口方向及其最值情况正确的是（C）。
A.开口向上，y有最大值B.开口向上，y有最小值
■
min
A
D
B
i
C
C.开口向下，y有最大值D.开口向下，y有最小值
9•如图，一边靠墙（墙有足够长），其他三边用12米长的篱笆围成一个矩形（ABCD花园，这个花园的最大面积是（18）平方米。
10、如图，如果函数y二kx•b的图像在第一、二、三象限内，那么函数
11、
A
12、
二次函数
y
=ax2
bxc的图像如图1,则点
.第二象限C.第三象限
•第一象限
2
已知二次函数y=ax+bx+c（0）的图象如图
当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0;④当
数是（B）
A.1个B
.4个
c亠
M（b,—）在
a
D.第四象限
2所示，？
则下列结论：
①a、b同号；②y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个
13、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2,0）、（xi,0），且1①a0;③4a+c<0;④2a-b+1>0,其中正确结论的个数为（D）
A1个B.2个C.3个D.4个
14、已知：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为（C）
A（2,-3）B.（2,1）C（2,3）D.（3,2）
15、你知道吗？
平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线.如图所示，
正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m距地面均为1m学生丙、丁分别站在
距甲拿绳的手水平距离1m2.5m处•绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶•已
知学生丙的身高是1.5m，则学生丁的身高为（建立的平面直角坐标系如右图所
示）（B）
A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67m
16、已知一条抛物线经过
5
（0,3）,（4,6）两点，对称轴为x，求这条抛物线的解析式。
3
17、已知抛物线y二ax2，bx（a丰0）与x轴的两个交点的横坐标是一1、3，与y轴交点
一3
的纵坐标是一
（1）确定抛物线的解析式；
（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
125
18、已知抛物线y=x2+x-」
22
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴.
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长.
19、如图，二次函数y=ax2bxc的图象经过a、b、c三点.
（1）观察图象，写出A、BC三点的坐标，并求出抛物线解析式
（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
22
20、已知抛物线y=x+（2k+1）x-k+k
（1）求证：
此抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设A（X1,0）和B（X2,0）是此抛物线与x轴的两个交点，且满足X12+X22=-2k2+2k+1,
①求抛物线的解析式
②此抛物线上是否存在一点巳使厶PAB的面积等于3,若存在，请求出点P的坐标;
若不存在，请说明理由。
【解析】⑴•••△=（2k+1）2-4*1*（-k2+k）=8k2+1>0恒成立
•••此抛物线线与x轴总有两个不同的交点
（2）①TX12+X22=-2k2+2k+1x1+X2=-b/a=2k+1x1*X2=c/a=-k2+k
•••X12+X22=（X1+X2）2-2x1X2=（2k+1）2-2（-k2+k）=6K2+2k+1=-2k2+2k+1
解得k=0•抛物线的解析式是y=x2+x
②•••点A和点B是抛物线y=x2+x与x轴的两个交点
•••由x2+x=0，得x1=-1,X2=0则AB=1
又•••△PAB的面积等于3设P（x,y）「.S=（1/2）*1*y=3贝Uy=6
•••由x2+x=6，得X1=2,X2=-3即R（2,6）或P2（-3,6）
21、如图（单位：
m）,等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合.设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为丫卅.
（1）写出y与x的关系式；
（2）当x=2,3.5时，y分别是多少？
（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？
求抛物线顶点坐
标、对称轴.
22、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）?
与产品的日销售量y（件）
之间的关系如下表：
x（元）
15
20
30
y（件）
25
20
10
若日销售量y是销售价x的一次函数.
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？
？
此时每日销售利润是多少元？
【解析】
（1）设此一次函数表达式为y=kx+b.则15kb25,解得k=-1,b=40,?
即一
2k+b=20
次函数表达式为y=-x+40.
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
22
w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225.
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.
23.如图，抛物线y--X25x•n经过点A（1,0），与
y轴交于点B。
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请
写出P点坐标。
解：
（1）•••A（1,0）在抛物线上，•••可把A点坐标代入方程得-12+5X1+n=0,
2
解得n=-4,•抛物线的解析式为y=-x+5x-4;
（2）把x=0代入抛物线方程得y=-4,•B点坐标为（0,-4）,
•••△PAB是以AB为腰的等腰三角形,
•可分两种情况：
①PA=AB②PB=AB
若PA=AB则P点和B点关于原点对称,
•P点坐标为（0,4）;
若PB=AB且曲二如,
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