八年级上册数学全等三角形问题中常见的辅助线的作法Word文档下载推荐.docx

1、EF证明：延长FD到点G，使DG=DF，连接BGBD=CD，FD=DG，BDG=CDFBDGCDFBG=CFEDFGEF=EG在ABG中，BE+BGEGBG =CF，EG=EFBE+CF 例3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2ACACE=BCA，所以BCAACE所以ABC=CAE因为DC=AC，所以ADC=DACADC=ABC+BAD所以ABC+BAD=DAE+CAE所以BAD=DAE即AD平分BAE应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和

2、等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系（1）如图 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ；（2）将图中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（0PE-PCEC=AE-AC，AE=ABEC=AB-AC又PB=PEPE-PC=PB-PCAB-ACPB-PC 三、平移变换1 AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证.设C1点为C的对称点，连接A、C1,E、C1.那么AC=AC1,CE=C1E,又B、A、C1在一直线上（1/2BAC+1/2CAC1=90，所以BAC+CAC1

3、=180），那么BEC1为三角形，BE+C1EBA+AC1（BC1）,因此BE+CEBA+AC,不等式两边同加BC得：PbPa。例2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.我不懂其解答过程：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN. BD=CE,DM=EM,DMNEMA（SAS）,DN=AE,同理BN=CA.延长ND交AB于P,则（为什么要“延长ND交AB于P”？又是怎样想到要这样做的？）BN+BPPN,DP+PAAD,相加得BN+BP+DP+PAPN+AD,各减去DP,得BN+ABDN+AD,AB+ACAD+AE。四、借助角平分线造全等

4、1、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD在AC上取点F，使AF=AEAD是角A的平分线角EAO角FAEAO=AO三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等）EO=FO ，角AOE角AOFCE是角C的平分线角DCO角FCO角B60角A+角C18060120角COD=角CAO角OCA角A/2角C/260度角OCF180角AOF-角COD180606060角OCF角CODOC=OC三角形OCD与CFO全等 （两边夹角相等）CF=CDAC=AF+CFAE+CD即：AE+CD=AC2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC

5、于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.（1）证明:连接DB,DC.DG垂直平分BC,则DB=DC;DE垂直AB,DF垂直AC,AD平分角BAC,则DE=DF.故RtDEBRtDFC（HL）,得:BE=CF.（2）解:DE=DF（已证）;AD=AD.则RtAEDRtAFD（HL）,AE=AF.故AB+AC=（AE+BE）+（AF-CF）=AE+AF=2AE,即a+b=2AE,AE=（a+b）/2;AB-AC=（AE+BE）-（AF-CF）=（AE+BE）-（AE-CF）=2BE,a-b=2BE,BE=（a-b）/2.1、如图，OP是MON的平分线，请你利

6、用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。解：图略.画图正确得1分. （1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD. 2分 （2）答：（1）中的结论FE=FD仍然成立. 证法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG. 3分 因为1=2，AF为公共

7、边， 可证AEFAGF. 所以AFE=AFG，FE=FG. 4分 由B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，可得2+3=60 所以AFE=CFD=AFG=60 所以CFG=60. 5分 由3=4及FC为公共边，可得CFGCFD. 所以FG=FD. 所以FE=FD. 6分 证法二：如图2，过点F分别作FGAB于点G，FHBC于点H. 3分 因为B=60，且AD、CE分别是BAC、BCA的平分线， 所以可得2+3=60，F是ABC的内心. 4分 所以GEF=60+1，FG=FH. 又因为HDF=B+1， 所以GEF=HDF. 5分 因此可证EGFDHF.五、旋转1 正方形ABCD中，E为

8、BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以EAF=GAE=BAE+GAB=BAE+DAF又EAF+BAE+DAF=90所以EAF=45度例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。做DPBC，垂足为P，做DQAC，垂足为QD为中点，且ABC为等腰RTABCDP=DQ=BC=AC又FDQ=PDE（旋转）DQF=D

9、PE=90DQFDPESDQF=SDPE又S四边形DECF=S四边形DFCP+SDPES四边形DECF=S四边形DFCP+SDQF=BC*AC=AC（AC=BC=定值）四边形DECF面积不会改变例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；三角形BDC是等腰三角形，且BDC=120所以BCD=DBC=30三角形ABC是边长为3的等边三角形，ABC=BAC=BCA=60DBA=DCA=90顺时针旋转三角形BDM使DB与DC重合，在DMN和DNM中DM=DMMDN=NDM=60DN=DN所以DMN和DNM全

10、等MN=NM=NC+BM所以 AM+AN+MN=NC+BM+AM+AN=AB+AC=6 所以AMN的周长为6赞同1、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点旋转到时（如图1），易证时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，ABECBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120，MBN=60ABE=CBF=30，BEF为等边三角形；AE= BE，CF= BF；AE+CF= BE+ BF=BE=EF；图2成立，图3不成立证明图2延长DC至点

11、K，使CK=AE，连接BK，则BAEBCK，BE=BK，ABE=KBC，FBE=60，ABC=120FBC+ABE=60FBC+KBC=60KBF=FBE=60KBFEBF，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF图3不成立，AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且, ,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； ）如图2，点M、

12、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示） 1.将NDC逆时针旋转120，点N落在P处PD=ND，PDB=NDC，BP=NC，DNC=PBDC=120，MDN=60BDM+NDC=60PDB+BDM=60即MDP=60MD=NDMD=PDMDP是等边BD=CD,BDC=120CBD=（180-120）/2=30ABC为等边ABC=60MBD=90即DBDMMB=BPMB=NCQ=AM+AN+MN=AM+MB+AN+NC=4AM又L=6AMQ/L=2/3又DNC=P，PD=ND，MDP=MDNPDM全等于MDNPM=MNPM=PB+MBMN=MB+NC2.成立.将NDC逆时针旋转120，点N落在P处。DNC=P，PD=ND，PDB=NDC，PB=NC=MDN