八年级上册数学全等三角形问题中常见的辅助线的作法Word文档下载推荐.docx
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EF
证明:
延长FD到点G,使DG=DF,连接BG
∵BD=CD,FD=DG,∠BDG=∠CDF
∴△BDG≌△CDF
∴BG=CF
∵ED⊥FG
∴EF=EG
在△ABG中,BE+BG>
EG
∵BG=CF,EG=EF
∴BE+CF>
例3、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E是DC的中点,求证:
AD平分∠BAE.
因为BD=DC=AC,所以AC=1/2BC
因为E是DC中点,所以EC=1/2DC=1/2AC
∠ACE=∠BCA,所以△BCA∽△ACE
所以∠ABC=∠CAE
因为DC=AC,所以∠ADC=∠DAC
∠ADC=∠ABC+∠BAD
所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE
所以∠BAD=∠DAE
即AD平分∠BAE
应用:
1、(09崇文二模)以
的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt
和等腰Rt
,
连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究:
AM与DE的位置关系及数量关系.
(1)如图①当
为直角三角形时,AM与DE的位置关系是,
线段AM与DE的数量关系是;
(2)将图①中的等腰Rt
绕点A沿逆时针方向旋转
(0<
<
90)后,如图②所示,
(1)问中得到的两个结论是否发生改变?
并说明理由.
二、截长补短
1、如图,
中,AB=2AC,AD平分
,且AD=BD,求证:
CD⊥AC
过D作DM⊥AB,垂足为M,
所以∠AMD=∠BMD=90°
又因为AD=BD,DM是公共边
所以△ADM≌△BDM(HL)
所以AM=BM
因为AB=2AC,
所以AC=AM,
因为AD平分∠BAC,
所以∠1=∠2,
在△ADC和△ADM中,
AC=AM,
∠2=∠1,
AD为公共边,
所以△ADC≌△ADM,
所以∠ACD=∠ADM=90,
即:
2、如图,AC∥BD,EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA,CD过点E,求证;
AB=AC+BD
在AB上取点N,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE
又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
3、如图,已知在
内,
,P,Q分别在BC,CA上,并且AP,BQ分别是
的角平分线。
求证:
BQ+AQ=AB+BP
做辅助线PM‖BQ,与QC相交与M。
(首先算清各角的度数)
∵∠APB=180°
—∠BAP—∠ABP=180°
—30°
—80°
=70°
且∠APM=180°
—∠APB—∠MPC=180°
—70°
—∠QBC(同位角相等)=180°
—40°
∴∠APB=∠APM
又∵AP是BAC的角平分线,
∴∠BAP=∠MAP
AP是公共边
∴△ABP≌△AMP(角边角)
∴AB=AM,BP=MP
在△MPC中,∠MCP=∠MPC=40°
∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC
在△QBC中
∵∠QBC=QCB=40°
∴BQ=QC
∴BQ+AQ=AQ+QC=AC
∴BQ+AQ=AB+BP
4、如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分
过点D分别作AB、BC边上的垂线,垂足分别是E、F
∵BC<BA
∴点E在AB上,而点F在BC的延长线上
∵DB平分∠ABC
∴DE=DF
在Rt△AED和Rt△DCF中
DA=DC
DE=DF
∴Rt△AED≌Rt△DCF
∴∠ADE=∠CDF
∵∠A+∠BCD=∠A+(∠F+∠CDF)=∠A+∠ADF+90°
=90°
+90°
=180°
∴∠A+∠C=180°
5、如图在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,求证;
AB-AC>PB-PC
延长AC至E,使AE=AB,连结PE。
然后证明一下△ABP≌AEP得到PB=PE备用(角边角证很容易吧~)
△PCE中,EC>
PE-PC
∵EC=AE-AC,AE=AB
∴EC=AB-AC
又PB=PE
∴PE-PC=PB-PC
∴AB-AC>
PB-PC
三、平移变换
1AD为△ABC的角平分线,直线MN⊥AD于A.E为MN上一点,△ABC周长记为
,△EBC周长记为
.求证
>
.
设C1点为C的对称点,连接A、C1,E、C1.那么AC=AC1,CE=C1E,又B、A、C1在一直线上(1/2∠BAC+1/2∠CAC1=90°
,所以∠BAC+∠CAC1=180°
),那么BEC1为三角形,BE+C1E>BA+AC1(BC1),因此BE+CE>BA+AC,不等式两边同加BC得:
Pb>Pa。
例2如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:
AB+AC>
AD+AE.
我不懂其解答过程:
取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.
∵BD=CE,
∴DM=EM,
∴△DMN≌△EMA(SAS),
∴DN=AE,
同理BN=CA.
延长ND交AB于P,则(为什么要“延长ND交AB于P”?
‘又是怎样想到要这样做的?
)
BN+BP>
PN,DP+PA>
AD,
相加得BN+BP+DP+PA>
PN+AD,
各减去DP,得BN+AB>
DN+AD,
∴AB+AC>
AD+AE。
四、借助角平分线造全等
1、如图,已知在△ABC中,∠B=60°
,△ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:
OE=OD
在AC上取点F,使AF=AE
∵AD是角A的平分线
∴角EAO=角FAE
∵AO=AO
∴三角形AEO与AFO全等(两边夹角相等)
∴EO=FO,角AOE=角AOF
∵CE是角C的平分线
∴角DCO=角FCO
∵角B=60°
∴角A+角C=180-60=120°
∴角COD=角CAO+角OCA=角A/2+角C/2=60度
∴角OCF=180-角AOF-角COD=180-60-60=60°
∴角OCF=角COD
∵OC=OC
∴三角形OCD与CFO全等(两边夹角相等)
∴CF=CD
∴AC=AF+CF=AE+CD
即:
AE+CD=AC
2、如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.
(1)说明BE=CF的理由;
(2)如果AB=
,AC=
,求AE、BE的长.
(1)证明:
连接DB,DC.
DG垂直平分BC,则DB=DC;
DE垂直AB,DF垂直AC,AD平分角BAC,则DE=DF.
故Rt⊿DEB≌Rt⊿DFC(HL),得:
BE=CF.
(2)解:
DE=DF(已证);
AD=AD.
则Rt⊿AED≌Rt⊿AFD(HL),AE=AF.
故AB+AC=(AE+BE)+(AF-CF)=AE+AF=2AE,即a+b=2AE,AE=(a+b)/2;
AB-AC=(AE+BE)-(AF-CF)=(AE+BE)-(AE-CF)=2BE,a-b=2BE,BE=(a-b)/2.
1、如图①,OP是∠MON的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°
,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而
(1)中的其它条件不变,请问,你在
(1)中所得结论是否仍然成立?
若成立,请证明;
若不成立,请说明理由。
解:
图略.画图正确得1分.
(1)FE与FD之间的数量关系为FE=FD.……2分
(2)答:
(1)中的结论FE=FD仍然成立.
证法一:
如图1,在AC上截取AG=AE,连接FG.……3分
因为∠1=∠2,AF为公共边,
可证△AEF≌△AGF.
所以∠AFE=∠AFG,FE=FG.……4分
由∠B=60°
,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,可得∠2+∠3=60°
所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°
所以∠CFG=60°
.……5分
由∠3=∠4及FC为公共边,可得△CFG≌△CFD.
所以FG=FD.
所以FE=FD.……6分
证法二:
如图2,过点F分别作FG⊥AB于点G,FH⊥BC于点H.……3分
因为∠B=60°
,且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,
所以可得∠2+∠3=60°
,F是△ABC的内心.……4分
所以∠GEF=60°
+∠1,FG=FH.
又因为∠HDF=∠B+∠1,
所以∠GEF=∠HDF.……5分
因此可证△EGF≌△DHF.
五、旋转
1正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度,至三角形ABG
则GE=GB+BE=DF+BE=EF
又AE=AE,AF=AG,
所以三角形AEF全等于AEG
所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF
又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90
所以∠EAF=45度
例2D为等腰
斜边AB的中点,DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
(1)
当
绕点D转动时,求证DE=DF。
(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。
做DP⊥BC,垂足为P,做DQ⊥AC,垂足为Q
∵D为中点,且△ABC为等腰RT△ABC
∴DP=DQ=½
BC=½
AC
又∵∠FDQ=∠PDE(旋转)∠DQF=∠DPE=90°
∴△DQF≌△DPE
∴S△DQF=S△DPE
又∵S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DPE
∴S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DQF=½
BC*½
AC=¼
AC²
(AC=BC=定值)
∴四边形DECF面积不会改变
例3如图,
是边长为3的等边三角形,
是等腰三角形,且
,以D为顶点做一个
角,使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则
的周长为;
三角形BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°
所以∠BCD=∠DBC=30°
三角形ABC是边长为3的等边三角形,
∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∠DBA=∠DCA=90°
顺时针旋转三角形BDM使DB与DC重合,
在△DMN和△DNM`中
DM=DM`
∠MDN=∠NDM`=60°
DN=DN
所以△DMN和△DNM全等
MN=NM`=NC+BM
所以AM+AN+MN=NC+BM+AM+AN=AB+AC=6
所以△AMN的周长为6
赞同
1、已知四边形
中,
绕
点旋转,它的两边分别交
(或它们的延长线)于
.
点旋转到
时(如图1),易证
时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;
若不成立,线段
又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
∵AB⊥AD,BC⊥CD,AB=BC,AE=CF,
∴△ABE≌CBF(SAS);
∴∠ABE=∠CBF,BE=BF;
∵∠ABC=120°
,∠MBN=60°
∴∠ABE=∠CBF=30°
,△BEF为等边三角形;
∴AE=BE,CF=BF;
∴AE+CF=BE+BF=BE=EF;
图2成立,图3不成立.
证明图2.
延长DC至点K,使CK=AE,连接BK,
则△BAE≌△BCK,
∴BE=BK,∠ABE=∠KBC,
∵∠FBE=60°
,∠ABC=120°
∴∠FBC+∠ABE=60°
∴∠FBC+∠KBC=60°
∴∠KBF=∠FBE=60°
∴△KBF≌△EBF,
∴KF=EF,
∴KC+CF=EF,
即AE+CF=EF.
图3不成立,AE、CF、EF的关系是AE-CF=EF.
3、在等边
的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为
外一点,且
BD=DC.探究:
当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及
的周长Q与等边
的周长L的关系.
图1图2图3
(
)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;
此时
;
)如图2,点M、N边AB、AC上,且当DM
DN时,猜想(
)问的两个结论还成立吗?
写出你的猜想并加以证明;
)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,
若AN=
,则Q=(用
、L表示).
1.将△NDC逆时针旋转120°
,点N落在P处
∴PD=ND,∠PDB=∠NDC,BP=NC,∠DNC=∠P
∵∠BDC=120°
,∠MDN=60°
∴∠BDM+∠NDC=60°
∴∠PDB+∠BDM=60°
即∠MDP=60°
∵MD=ND
∴MD=PD
∴△MDP是等边△
∵BD=CD,∠BDC=120°
∴∠CBD=(180°
-120°
)/2=30°
∵△ABC为等边△
∴∠ABC=60°
∴∠MBD=90°
即DB⊥DM
∴MB=BP
∴MB=NC
∵Q=AM+AN+MN=AM+MB+AN+NC=4AM
又∵L=6AM
∴Q/L=2/3
又∵∠DNC=∠P,PD=ND,∠MDP=∠MDN
∴△PDM全等于△MDN
∴PM=MN
∵PM=PB+MB
∴MN=MB+NC
2.成立.将△NDC逆时针旋转120°
,点N落在P处。
∴∠DNC=∠P,PD=ND,∠PDB=∠NDC,PB=NC
=∠MDN