高中数学导数知识点归纳总结与例题.docx

1、高中数学导数知识点归纳总结与例题资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除 导 数 考试内容： 导数的背影导数的概念多项式函数的导数利用导数研究函数的单调性和极值函数的最大值和最小值考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(nN+)的导数公式，会求多项式函数的导数（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值 和最小值14. 导 数 知识要点 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导 导数的运算

2、 数 导数的运算法则 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 1. 导数（导函数的简称）的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处xx)y?f(xx00有增量，则函数值也引起相应的增量；比值x?y)(x?x)?f?y?f(x?00f(x?x)?f(x)y?00称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限xx?x?)xy?f(?00 ?x?xf(x?x)?f(x)?y00存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做x)?f(xy?limlim0 xx?0?x?x?0?f(x?x)?f(x)?y00. =在记作处的导数，或，即)(xff)(xx)(xy?f|y?limlim000x?x ?x

3、?x00?x?0x?注：是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零. x?x?的定义域为，则与关系为以知函数定义域为，. )fx(y?B?A)(xy?fBABA2. 函数在点处连续与点处可导的关系： )xf(?yxx00函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件. )f(xy?xx)fy?(x00可以证明，如果在点处可导，那么点处连续. xx)fy?xy?f()(x00事实上，令，则相当于. 0x?x?xx?x?x00于是 )xf(?()(fx?x?fx)?x?xf?xflim()lim(?)lim0000x?x?x?0?x?00 只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权 请联系网站

4、删除 f(x?x)?f(x)f(x?x)?f(x)0000(x)?0?f(x)?f(x).?limf?x?f(x)?lim?lim?limf(x)?00000 x?x0?0?x?0?x?x?0?x. 处可导，是不成立的处连续，那么在点如果点xx)xf(y?y?f(x)00y?|x|?时，例：在点处连续，但在点处不可导，因为0，当0?xx?0|x?|f(x)x?00 x?xy?y?y，故；当. 0时，不存在x?lim1?1? xx?x?0?x. 可导的偶函数函数其导函数为奇函数注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数. 导数的几何意义：3. 处的切线的斜率，在点函数在点处的导数的几何意义就是曲线x)

5、f(xf()xy?f(x)(x,y?00为程切线的斜率是方，处也就是说，曲线在点P的切线)fx()fxy?f(x),(x(00 ).?x?fx()(xy?y00 4. 求导数的四则运算法则： vu(u?v)?)?.fx(x)?f(x)f?y?f(x)?(x)?.?f(x)?y?fn2211ncvv?cvu?(cv)?(uv)c?vuv? （为常数）cu?vuvu?)(v?0? 2vv?. 必须是可导函数注：v,u差、则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，若两个函数可导，则它们和、. 积、商不一定不可导22处均不可导，但它们和在例如：设，则)(xf(x),g0x?)?cosx2sin

6、x?(gx?f(x) xx. 在处均可导0?x?)g(xf(x)?xx?cossin? 或5. 复合函数的求导法则：u?yy)f(u)f(x(x)?xxux. 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形 6. 函数单调性：为则如果0，函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，)fx()?f(y?fx)(xy. 为减函数0，则增函数；如果)(xf)(xy?f 常数的判定方法；. =0，则如果函数在区间内恒有为常数)fx()y?f(?fx)(xyI3上并不是（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在是注：fx?2y)?,xf() 0?(）递减的充分非必f，同样（x是 f，有一个点例外即x都有

7、=0时（x）= 00) xf()0 f(x. 要条件）（）（在其余各点均为正（或负），那么如果一般地，fx在某区间内有限个点处为零，fx 只供学习与交流 请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权. 在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的是函数，则（极值是在附近所有的点，都有7. 极值的判别方法：x)(x)f(x)xff(f(x)000 的极大值，极小值同理） 在点处连续时，当函数x)(xf0 是极大值；0附近的左侧如果在，那么0，右侧)(ffx(xx)xf(00. 是极小值0如果在附近的左侧，那么0，右侧)(xff)(xx)xf(00此外，函数不=0点两侧导数异号，而不是. 也就是说是极值点的

8、充分条件是)fx(xx00 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确可导的点也可能是函数的极值点. 定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）对于可导函. =0. 但反过来不一定成立注： 若点是可导函数的极值点，则)(xfx)xf(0. 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零数，其一点x03. 不是极值点=0例如：函数，但，使)(xfx?(x)y?f0x?0x?. ，在点例如：函数处不可导，但点是函数的极小值点0x?0?x|y|xx)?f(极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进8. . 行比较.注：函数的极值点一定有意义

9、 9. 几种常见的函数导数：1xcos(sinx)?)(arcsinx I.（为常数） C0C?2x?111n?nnx(x?)x)sin?(cosx?)?(arccosx （） R?n2x1?111(arctanx)? II. e?(logx?)log)(lnx aa2 x?1xx1xxxxe)(e?aaa)ln?(?x)(arccot 21x? 求导的常见方法：III. (x?a)(x?a).(x?a)1n12.常用结论：形如或两?y)ax?a).(x?(y?x?a)(?|)(ln|xn12 (x?b)(x?b).(x?b)xn12边同取自然对数，可转化求代数和形式. xx取自然对数之后可变

10、形为这类函数，如无理函数或形如，对两边xyy?x?xlny?xlny1xxx?xlnxyyxy?xx?ln?y?ln?. 求导可得 yx导数中的切线问题 只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除 例题1：已知切点，求曲线的切线方程 32在点处的切线方程为（ 曲线） 1x?y?x?31)?(1， 例题2：已知斜率，求曲线的切线方程 2的切线方程是（ 的平行的抛物线与直线） x?y04?x?y?2 注意：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，bx?y?2?22，又因为，得，得，故选 代入xy?0?2x?bx1?0b例题3：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上

11、一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法 3上的点的切线方程求过曲线 x?x?2y1)?(1， 例题4：已知过曲线外一点，求切线方程 1求过点且与曲线相切的直线方程 0)(2，?y x 3，过点 已知函数作曲线的切线，求此切线方程 练习题：xy?x3)xf，A(016)y?( 只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除 看看几个高考题 x?1,1?y处的切线方程为在点（2009全国卷）曲线1. 2x?12f(x)?g(x)?xy?g(x)(1,g(1)处的切线方程为，曲线2010江西卷）设函数在点2.（y?2x?1y?f(x)(1,f(1)处切线的斜率为

12、，则曲线 在点x1?2xy?xe? 。 宁夏海南卷）曲线 在点（0,1）处的切线方程为 3.（2009 23b2)x?)x?a(a?f(x)?x?(1?a)b?R(a, 已知函数分）4.（2009浙江）（本题满分153?bf(x)a, 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求I）若函数的值； （ 14分）5.（2009北京）（本小题共30)?b(a?f(x)?x3ax. 设函数b?8a,y)(x)f(x(2,fy? 的值；（）若曲线相切，求在点处与直线 .1 函数的单调性和导数 1利用导数的符号来判断函数单调性: y?f(x)在某个区间可导，一般地，设函数 0?)f(x)x?f(y ； ，则

13、为这个区间内的如果在这个区间内 0)?f(x)xy?f( 。如果在这个区间内 ，则 为这个区间内的 2利用导数确定函数的单调性的步骤： )的定义域；(1) 确定函数f(x 求出函数的导数；(2) 0，得函数的单调递增区间；?(3) 解不等式f (x) 0，得函数的单调递减区间x?解不等式f () 【例题讲解】 只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除 31?xy,0)?( 求证：在a) 上是增函数。 23. 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数6x+7xb) 确定函数f()=2x 【课堂练习】 1确定下列函数的单调区间323 x(1)y=xx9x+24x (2)y=3 x?f

14、(x)xln 已知函数，则（ ）),?(00(,?) 在 A在 B上递减上递增 11?0,0,?上递减C 上递增在 D在 ee?235?xf()xx?3? 函数_的单调递增区间是 函数图象及其导函数图象 只供学习与交流 请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权3 ,3)(?)(xy?f内可导，在定义域1. 函数其图象如 2/)xy?f()y?f(x，则不等图，记的导函数为/0(x)?f 的解集为_ 式3 ,3)(?)xf(，导函数的定义域为开区间 函数2. ?)(y?fx 23?,3)?()(x)fxf(内的图象如图所示，则函数在 2_ 的单调增区间是 y 23d?cx?bx?f(x)?ax 3

15、.)f(x为函数如图为函数的图象， 0)?f(xf(x)x?_ _ 的导函数，则不等式的解集为ox3-3 2c?x?bx(fx)?)xf( 的图象的顶点在第四象限，则其导函数 4. 若函数的图象是（ ） )(xfy?f(x)的图象是如图所示的一函数的图象过原点且它的导函数 5.)(xy?f 条直线，则 ）图象的顶点在（ ?)xy?f( DA第一象限 B第二象限 C第三象限第四象限 y ?)(xff(x)(?yfx的图的导函数,设年广东佛山6. (2007)是函数y y y y 1 x 2 )yf(x?O 的图象最有可能的是（） 象如右图所示，则 2 O 1 1 2 O 2 2 1 1 x x

16、O x x O D A C B 的图象可能x(y=f)x(设函数 7.f在定义域内可导，)x( y=f的图象如下左图所示，则导函数? ( 为) 只供学习与交流 资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除 )xy?f(的图像如下右图 （安微省合肥市2010函数年高三第二次教学质量检测文科）8.?)(fxy?）的图像可能是 所示，则 （ y 已月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科) (2010年39.2?fbx?(x)?axc?的导函数的图象如右图，则知函数)xf(o ) 的图象可能是( )f(xx 如右图所示是某一2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）10. （th随时间容器的三视图，现

17、向容器中匀速注水，容器中水面的高度 ）变化的可能图象是（ 视图正视图侧 hhhh 视图俯 tOtOOttO (D) (A) (B) (C) ?xfxf的图则其导函数, )(200811. 广州二模文、理已知二次函数所示的图象如图1 象大致形状是（ ） 只供学习与交流 资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除 )(x?)a,byfy?f(x则函数的导函数在区间上是增函数，12. （2009湖南卷文）若函数,ba) 在区间 ( 上的图象可能是 y y y D C B A y 的图象如右图，那么导）如果函数（福建卷11)(xy?f 13.?的图象可能是函数)(y?fx) ( o o o o x x

18、x x b b a a a a b b 么那下图，函数的图象如y=f(x),y=g(x)福14. （2008年建卷12)已知函数的导 ）（ y=f(x),y=g(x)的图象可能是 )x(?f(x)yfy(xf()fx)?的图 15.(2008和是函数设珠海一模文、理)的导函数，将 ） 像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D C B A 只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除 y 已知函数)湖南省株洲市2008届高三第二次质检16. (?)fx(f(x)y?y?的图像如下， ）的导函数则（)xf( 函数个极小值点1个极大值点，1有)(xf函数 个极大值点，2个极小值点有2

19、)f(x 个极大值点，1个极小值点有3函数?xxx)(xf 3个极小值点有函数1个极大值点，xx O4 123 )f(x的定义域为函数(2008珠海质检理)17. ?),bx)在(af(),b(a内的图象如图所示，则函，其导函数)(xf),b(a ）在区间数内极小值点的个数是（ 4 3 (D).1 (B).2 (C).(A). 12xx?x)?lnf( 的图象大致是 18. 【湛江市文】函数 2 y yyy xOO xOxOx CDBA 19. 2abx?x?)f(x的部分图 【珠海文】如图是二次函数20.?)(xg(x)?lnx?f ）则函数象， 的零点所在的区间是 （ 111)1(,),( B.A. 242)32)1,2(,( D. C. 21. ?)(x(x)?f(x)f(4)1ffy的导函满足上的函数22. 定义在R为?b)a?yf,(x满足数，已知函数的图象如右图所示.若两正数2?b1b)?af(2? ） （ ，则的取值范围是 2a?Ox 只供学习与交流 请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权1111?,3)(?,)3,(?3)(?,? C B D A 223223xcxaxf(x)?bx5，处取得极大值已知函数23. 在点 0(2,0)(1,0)?yf(x)，如图所，其导函数的图象经过点 示.求：x （）的值；0c,a,b. （）的值 只供学习与交流