高中数学导数知识点归纳总结与例题.docx
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高中数学导数知识点归纳总结与例题
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导数
考试内容：
导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景．
（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c（c为常数）、y=xn（n∈N+）的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．§14.导数知识要点
导数的概念导数的几何意义、物理意义
常见函数的导数导导数的运算数导数的运算法则函数的单调性
导数的应用函数的极值
函数的最值
1.导数（导函数的简称）的定义：
设是函数定义域的一点，如果自变量在处xx）y?
f（xx00有增量，则函数值也引起相应的增量；比值x?
y）（x?
x）?
f?
y?
f（x?
00f（x?
?
x）?
f（x）y?
00称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限xx?
x?
）xy?
f（?
00
?
x?
xf（x?
?
x）?
f（x）?
y00存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做x）?
f（xy?
limlim0
xx?
?
0?
x?
x?
0?
f（x?
?
x）?
f（x）?
y'''00.=在记作处的导数，或，即）（xff）（xx）（xy?
f|y?
limlim000x?
x
?
x?
x00?
?
x?
0x?
注：
①是增量，我们也称为“改变量”，因为可正，可负，但不为零.
x?
x?
'的定义域为，则与关系为②以知函数定义域为，.）fx（y?
B?
A）（xy?
fBABA2.函数在点处连续与点处可导的关系：
）xf（?
yxx00⑴函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.）f（xy?
xx）fy?
（x00可以证明，如果在点处可导，那么点处连续.xx）fy?
xy?
f（）（x00事实上，令，则相当于.
0x?
?
x?
xx?
?
x?
x00于是）]xf（?
（）（fx?
x?
fx）[?
x?
xf?
xflim（）lim（?
）lim0000x?
x?
x?
0?
x?
00只供学习与交流．
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f（x?
?
x）?
f（x）f（x?
?
x）?
f（x）'0000（x）?
0?
f（x）?
f（x）.?
lim[f?
?
x?
f（x）]?
lim?
lim?
limf（x）?
00000
x?
?
x0?
0?
x?
0?
?
x?
x?
0?
x.处可导，是不成立的处连续，那么在点⑵如果点xx）xf（y?
y?
f（x）00y?
|x|?
时，例：
在点处连续，但在点处不可导，因为0，当＞0?
xx?
0|x?
|f（x）x?
?
00
x?
?
xy?
?
y?
y，故；当.＜0时，不存在x?
lim1?
1?
?
xx?
?
x?
0?
?
x.
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数注：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.导数的几何意义：
3.
处的切线的斜率，在点函数在点处的导数的几何意义就是曲线x））f（xf（）xy?
f（x）（x,y?
00'为程切线的斜率是方，处也就是说，曲线在点P的切线）fx（））fxy?
f（x）,（x（00'）.?
x?
fx（）（xy?
y004.求导数的四则运算法则：
'''''''vu（u?
v）?
?
）?
?
...fx（x）?
f（（x）f?
y?
f（x）?
（x）?
...?
f（x）?
y?
fn2211n'''''''cvv?
cvu?
（cv）?
?
（uv）c?
vuv?
（为常数）c'''u?
vuvu?
?
?
）（v?
0?
?
2vv?
?
.
必须是可导函数注：
①v,u差、则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，②若两个函数可导，则它们和、.
积、商不一定不可导22处均不可导，但它们和在例如：
设，，则）（xf（x）,g0x?
?
）?
cosx2sinx?
（gx?
f（x）
xx.
在处均可导0?
x?
）g（xf（x）?
xx?
cossin''''''?
?
或5.复合函数的求导法则：
u?
?
yy）f（（u）f（x（x））?
xxux.复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形6.函数单调性：
'为则如果＞0，⑴函数单调性的判定方法：
设函数在某个区间内可导，）fx（）?
f（y?
fx）（xy'.为减函数＜0，则增函数；如果）（xf）（xy?
f⑵常数的判定方法；'.
=0，则如果函数在区间内恒有为常数）fx（）y?
f（?
fx）（xyI3上并不是（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如在是注：
①fx?
2y）?
?
xf（）0?
?
（）递减的充分非必f，同样（x是f，有一个点例外即x都有=0时（x）=00）xf（）0f（x.
要条件）（）（在其余各点均为正（或负），那么如果②一般地，fx在某区间内有限个点处为零，fx只供学习与交流．
请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权.在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的是函数，则（极值是在附近所有的点，都有＜7.极值的判别方法：
x）（x）f（x）xff（f（x）000的极大值，极小值同理）在点处连续时，当函数x）（xf0''是极大值；＜0附近的左侧①如果在，那么＞0，右侧））（ffx（xx）xf（00''.
是极小值＞0②如果在附近的左侧，那么＜0，右侧）（xff）（xx）xf（00'①此外，函数不=0点两侧导数异号，而不是.也就是说是极值点的充分条件是）fx（xx00②当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确可导的点也可能是函数的极值点..
定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）'对于可导函.=0.但反过来不一定成立注①：
若点是可导函数的极值点，则）（xfx）xf（0.是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零数，其一点x0'3.
不是极值点=0例如：
函数，但，使）（xfx?
（x）y?
f0x?
0x?
.
，在点②例如：
函数处不可导，但点是函数的极小值点0x?
0?
x|y|xx）?
?
f（极值与最值的区别：
极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进8.
.行比较.注：
函数的极值点一定有意义9.几种常见的函数导数：
1''xcos（sinx）?
'?
）（arcsinxI.（为常数）C0C?
2x?
111n?
n'''nx（x?
）x）sin?
?
（cosx?
）?
（arccosx（）R?
n2x1?
111'（arctanx）?
''II.e?
（logx?
）log）（lnx
aa2
x?
1xx1x'xx'x'e）（e?
aaa）ln?
（?
?
x）（arccot
21x?
求导的常见方法：
III.
（x?
a）（x?
a）...（x?
a）1n12'.①常用结论：
②形如或两?
y）ax?
a）...（x?
（y?
x?
a）（?
|）（ln|xn12
（x?
b）（x?
b）...（x?
b）xn12边同取自然对数，可转化求代数和形式.
xx取自然对数之后可变形为这类函数，如③无理函数或形如，对两边xyy?
x?
xlny?
xln'y1''xxx?
xlnxyyxy?
xx?
ln?
?
y?
ln?
?
?
.
求导可得
yx导数中的切线问题
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例题1：
已知切点，求曲线的切线方程
32在点处的切线方程为（曲线）1x?
y?
x?
31）?
（1，
例题2：
已知斜率，求曲线的切线方程
2的切线方程是（的平行的抛物线与直线）x?
y04?
x?
y?
2
注意：
此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，bx?
y?
2?
22，又因为，得，得，故选Ｄ．代入xy?
0?
?
2x?
bx1?
?
?
?
0b例题3：
已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．
3上的点的切线方程．求过曲线x?
x?
2y1）?
（1，
例题4：
已知过曲线外一点，求切线方程
1求过点且与曲线相切的直线方程．0）（2，?
y
x
3，过点已知函数作曲线的切线，求此切线方程．练习题：
xy?
?
x3）xf，A（016）y?
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看看几个高考题
x?
?
1,1?
y处的切线方程为在点（2009全国卷Ⅱ）曲线1.
2x?
12f（x）?
g（x）?
xy?
g（x）（1,g
（1））处的切线方程为，曲线2010江西卷）设函数在点2.（y?
2x?
1y?
f（x）（1,f
（1））处切线的斜率为，则曲线在点x1?
2xy?
xe?
。
宁夏海南卷）曲线在点（0,1）处的切线方程为3.（2009
23b2）x?
）x?
a（a?
f（x）?
x?
（1?
a）b?
R（a,已知函数．分）4.（2009浙江）（本题满分153?
bf（x）a,的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求I）若函数的值；（14分）5.（2009北京）（本小题共30）?
b（a?
?
f（x）?
x3ax.
设函数b?
8a,y））（x）f（x（2,fy?
的值；（Ⅰ）若曲线相切，求在点处与直线
.1函数的单调性和导数
1．利用导数的符号来判断函数单调性:
y?
f（x）在某个区间可导，一般地，设函数
'0?
）f（x）x?
f（y；，则为这个区间内的如果在这个区间内
'0）?
f（x）xy?
f（。
如果在这个区间内，则为这个区间内的
2．利用导数确定函数的单调性的步骤：
）的定义域；
（1）确定函数f（x求出函数的导数；
（2）
0，得函数的单调递增区间；＞?
（3）解不等式f（x）0，得函数的单调递减区间．＜x?
解不等式f（）
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31?
?
xy,0）?
?
（求证：
在a）上是增函数。
23.
在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数－6x+7xb）确定函数f（）=2x
【课堂练习】1．确定下列函数的单调区间323x
（1）y=xx－9x+24x
（2）y=3－
x?
f（x）xln２．已知函数，则（））,?
?
（00（,?
?
）．在A．在B上递减上递增
11?
?
?
?
0,0,?
?
?
?
上递减C上递增．在D．在
ee?
?
?
?
235?
xf（）xx?
3?
．３．函数_____________的单调递增区间是
函数图象及其导函数图象
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3）（?
）（xy?
f内可导，在定义域1.函数其图象如
2/）xy?
f（）y?
f（x，则不等图，记的导函数为/0（x）?
f的解集为_____________式3
3）（?
）xf（，导函数的定义域为开区间函数2.?
）（y?
fx
23?
3）?
（）（x）fxf（内的图象如图所示，则函数在
2_____________
的单调增区间是
y
23d?
cx?
bx?
f（x）?
ax3.）f'（x为函数如图为函数的图象，0）?
f'（xf（x）x?
______的导函数，则不等式的解集为ox3-3
2c?
x?
bx（fx）?
）xf'（的图象的顶点在第四象限，则其导函数4.若函数的图象是（）
）'（xfy?
f（x）的图象是如图所示的一函数的图象过原点且它的导函数5.）（xy?
f条直线，则）图象的顶点在（?
）xy?
f（DA．第一象限B．第二象限C．第三象限．第四象限
y
?
?
）（xff（x））（?
yfx的图的导函数,设年广东佛山6.（2007）是函数y
yy
y1x
2
）yf（x?
O
的图象最有可能的是（）象如右图所示，则
2
O
112O2211
x
x
Ox
x
O
D
A
CB
的图象可能x（y=f）x（设函数7.f在定义域内可导，））x（y=f的图象如下左图所示，则导函数?
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）xy?
f（的图像如下右图（安微省合肥市2010函数年高三第二次教学质量检测文科）8.?
）（fxy?
）的图像可能是所示，则（
y已月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科）（2010年39.2?
fbx?
（x）?
axc?
的导函数的图象如右图，则知函数）xf（o
）
的图象可能是（）f（xx
如右图所示是某一2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）10.（th随时间容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度
）变化的可能图象是（视图正视图侧
hhhh
视图俯tOtOOttO
（D）
（A）（B）（C）
?
?
?
?
'xfxf的图则其导函数,）（200811.广州二模文、理已知二次函数所示的图象如图1
象大致形状是（）只供学习与交流．
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）（x?
）[a,b]yfy?
f（x则函数的导函数在区间上是增函数，12.（2009湖南卷文）若函数．．．],b[a）在区间（上的图象可能是
y
y
y
．．．．DCBAy
的图象如右图，那么导）如果函数（福建卷11）（xy?
f13.?
的图象可能是函数）（y?
fx）
（o
ooox
xx
x
bbaa
a
abb
么那下图，函数的图象如y=f（x）,y=g（x）福14.（2008年建卷12）已知函数的导）（y=f（x）,y=g（x）的图象可能是
）x'（?
f（x）yfy（xf'（）fx）?
的图15.（2008和是函数设珠海一模文、理）的导函数，将）像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（
DCB．A．．．
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y
已知函数）湖南省株洲市2008届高三第二次质检16.（?
）fx（f（x）y?
y?
的图像如下，）的导函数则（）xf（函数个极小值点1个极大值点，1有）（xf函数个极大值点，2个极小值点有2）f（x个极大值点，1个极小值点有3函数?
?
?
?
xxx）（xf3个极小值点有函数1个极大值点，xx
O4123
）f（x的定义域为函数（2008珠海质检理）17.
?
）,bx）在（af（）,b（a内的图象如图所示，则函，其导函数）（xf）,b（a）在区间数内极小值点的个数是（
4
3（D）.1
（B）.2（C）.（A）.12xx?
x）?
lnf（的图象大致是18.【湛江市·文】函数
2
y
yyy
xOOxOxOx
CDBA．．．．
19.
2abx?
x?
?
）f（x的部分图【珠海·文】如图是二次函数20.?
）（xg（x）?
lnx?
f）则函数象，的零点所在的区间是（
111）1（,）,（B.A.
242）32）1,2（,（D.C.
21.
?
）（x（x）?
f（x）f（4）1ffy的导函．满足上的函数22.定义在R为?
b）a?
yf,（x满足数，已知函数的图象如右图所示.若两正数2?
b1b）?
af（2?
）（，则的取值范围是2a?
O
x只供学习与交流．
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?
,3））（（?
?
）3,（?
?
3）（?
?
?
．．．CB．DA
223223xcxaxf（x）?
?
?
bx5，处取得极大值已知函数23.在点
0（2,0）（1,0）?
yf'（x），如图所，其导函数的图象经过点示.求：
x（Ⅰ）的值；0c,a,b.（Ⅱ）的值
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