初中数学竞赛.docx

1、初中数学竞赛全国初中数学竞赛试题参照答案一、选取题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一种选项是对的. 请将对的选项代号填入题后括号里，不填、多填或错填都得0分）1若，则值为（ ）（A） （B） （C） （D）解： 由题设得代数式变形，同除b2若实数a，b满足，则a取值范畴是（ ）（A）a （B）a4 （C）a或 a4 （D）a4解C由于b是实数，因此关于b一元二次方程鉴别式 0,解得a或 a4方程思想，鉴别式定理；要解一元二次不等式3如图，在四边形ABCD中，B135，C120，AB=，BC=，CD，则AD边长为（ ）（A） （B）（C） （D）解：D如图，过点A，D分别作AE，D

2、F垂直于直线BC，垂足分别为E，F由已知可得BE=AE=，CF，DF2，于是 EF4过点A作AGDF，垂足为G在RtADG中，依照勾股定理得AD勾股定理、涉及双重二次根式化简，补全图形法4在一列数中，已知，且当k2时，（取整符号表达不超过实数最大整数，例如，），则等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由和可得，由于=4502+2，因此=2高斯函数；找规律。5如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD顶点坐标分别为A（1，1），B（2，1），C（2，1），D（1，1）y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180得点P1，点P1绕点B旋转180得点P2，点P2绕点C旋转18

3、0得点P3，点P3绕点D旋转180得点P4，重复操作依次得到点P1，P2， 则点P坐标是（ ） （A）（，2） （B）（，） （C）（，） （D）（0，2）解：B由已知可以得到，点，坐标分别为（2，0），（2，）记，其中依照对称关系，依次可以求得：，令，同样可以求得，点坐标为（），即（），由于=4502+2，因此点坐标为（，）二、填空题6已知a1，则2a37a22a12 值等于 解：0 由已知得 (a1)25，因此a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a123a26a1207一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直公路上朝同一方向匀速行驶在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车

4、在客车与小轿车正中间过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t 解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车距离均为S千米，小轿车、货车、客车速度分别为（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得， ， 由，得，因此，x=30 故 （分） 8如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直线l通过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等两某些，则直线l函数表达式是 解：如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交

5、于点N由已知得点M（2，3）是OB，AF中点，即点M为矩形ABFO中心，因此直线把矩形ABFO提成面积相等两某些又由于点N（5，2）是矩形CDEF中心，因此，过点N（5，2）直线把矩形CDEF提成面积相等两某些于是，直线即为所求直线设直线函数表达式为，则解得 ,故所求直线函数表达式为9如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM垂线CD，垂足为D若CDCF，则 解： 见题图，设由于RtAFBRtABC，因此 又由于 FCDCAB，因此 即 ，解得，或（舍去）又RtRt，因此， 即=10对于i=2，3，k，正整数n除以i所得

6、余数为i1若最小值满足，则正整数最小值为 解： 由于为倍数，因此最小值满足，其中表达最小公倍数由于，因而满足正整数最小值为 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11如图，ABC为等腰三角形，AP是底边BC上高，点D是线段PC上一点，BE和CF分别是ABD和ACD外接圆直径，连接EF. 求证： （第12A题）（第12B题）（第12B题）证明：如图，连接ED，FD. 由于BE和CF都是直径，因此EDBC， FDBC，因而D，E，F三点共线. （5分）连接AE，AF，则，因此，ABCAEF. （10分）作AHEF，垂足为H，则AH=PD. 由ABCAEF可得，从而 ， 因此 . （20分）12

7、如图，抛物线（a0）与双曲线相交于点A，B. 已知点A坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB面积为3（O为坐标原点）.（1）求实数a，b，k值；（2）过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足EOCAOB点E坐标.解：（1）由于点A（1，4）在双曲线上，因此k=4. 故双曲线函数表达式为.设点B（t，），AB所在直线函数表达式为，则有 解得，.于是，直线AB与y轴交点坐标为，故，整顿得，解得，或t（舍去）因此点B坐标为（，）由于点A，B都在抛物线（a0）上，因此解得 （10分）（2）如图，由于ACx轴，因此C（，4），于是CO4. 又BO=2，因此.设抛物线（a0）与x

8、轴负半轴相交于点D， 则点D坐标为（，0）.由于CODBOD，因此COB=.（i）将绕点O顺时针旋转，得到.这时，点(，2)是CO中点，点坐标为（4，）.延长到点，使得=，这时点（8，）是符合条件点.（ii）作关于x轴对称图形，得到点（1，）；延长到点，使得，这时点E（2，）是符合条件点因此，点坐标是（8，），或（2，）. （20分） 13求满足所有素数p和正整数m.解：由题设得，因此，由于p是素数，故，或. （5分） （1）若，令，k是正整数，于是，故，从而. 因此解得 （10分）（2）若，令，k是正整数. 当时，有，故，从而，或2. 由于是奇数，因此，从而. 于是这不也许. 当时，；当，无正整数解；当时，无正整数解. 综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. （20分）14从1，2，这个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出数中任意三个数之和都能被33整除？解：一方面，如下61个数：11，（即1991）满足题设条件. （5分） 另一方面，设是从1，2，中取出满足题设条件数，对于这n个数中任意4个数，由于， ，因此 .因而，所取数中任意两数之差都是33倍数. （10分）设，i=1，2，3，n.由，得，因此，即11. （15分），故60. 因此，n61.综上所述，n最大值为61. （20分）（64至91为荆州市全国三等奖至一等奖）