初中数学竞赛.docx
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初中数学竞赛
全国初中数学竞赛试题参照答案
一、选取题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一种选项是对的.请将对的选项代号填入题后括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．若
，则
值为（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
解：
由题设得
．
代数式变形，同除b
2．若实数a，b满足
，则a取值范畴是（ ）．
（A）a
（B）a
4 （C）a≤
或a≥4 （D）
≤a≤4
解．C
由于b是实数，因此关于b一元二次方程
鉴别式
≥0,解得a≤
或a≥4．
方程思想，鉴别式定理；要解一元二次不等式
3．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=
，BC=
，CD＝
，则AD边长为（ ）．
（A）
（B）
（C）
（D）
解：
D
如图，过点A，D分别作AE，DF垂直于直线BC，垂足分别为E，F．
由已知可得
BE=AE=
，CF＝
，DF＝2
，
于是EF＝4＋
．
过点A作AG⊥DF，垂足为G．在Rt△ADG中，依照勾股定理得
AD
＝
．
勾股定理、涉及双重二次根式化简，补全图形法
4．在一列数
……中，已知
，且当k≥2时，
（取整符号
表达不超过实数
最大整数，例如
，
），则
等于（ ）．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解：
B
由
和
可得
，
，
，
，
，
，
，
，
……
由于=4×502+2，因此
=2．
高斯函数；找规律。
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P坐标是（ ）．
（A）（，2）（B）（，
）
（C）（，
） （D）（0，2）
解：
B由已知可以得到，点
，
坐标分别为（2，0），（2，
）．
记
，其中
．
依照对称关系，依次可以求得：
，
，
，
．
令
，同样可以求得，点
坐标为（
），即
（
），
由于=4
502+2，因此点
坐标为（，
）．
二、填空题
6．已知a＝
－1，则2a3＋7a2－2a－12值等于 ．
解：
0
由已知得（a＋1）2＝5，因此a2＋2a＝4，于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．
解：
15
设在某一时刻，货车与客车、小轿车距离均为S千米，小轿车、货车、客车速度分别为
（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，由题意得
， ①
， ②
． ③
由①②，得
，因此，x=30． 故
（分）．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l通过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等两某些，则直线l函数表达式是 ．
解：
如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AF
CE，DF，且相交于点N．
由已知得点M（2，3）是OB，AF中点，即点M为矩形ABFO中心，因此直线
把矩形ABFO提成面积相等两某些．又由于点N（5，2）是矩形CDEF中心，因此，
过点N（5，2）直线把矩形CDEF提成面积相等两某些．
于是，直线
即为所求直线
．
设直线
函数表达式为
，则
解得
故所求直线
函数表达式为
．
9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则
．
解：
见题图，设
．
由于Rt△AFB∽Rt△ABC，因此
．
又由于FC＝DC＝AB，因此
即
，
解得
，或
（舍去）．
又Rt△
∽Rt△
，因此
， 即
=
．
10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得余数为i－1．若
最小值
满足
，则正整数
最小值为 ．
解：
由于
为
倍数，因此
最小值
满足
，
其中
表达
最小公倍数．
由于
，
因而满足
正整数
最小值为
．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．如图，△ABC为等腰三角形，AP是底边BC上高，点D是线段PC上一点，BE和CF分别是△ABD和△ACD外接圆直径，连接EF.求证：
（第12A题）
．
（第12B题）
（第12B题）
证明：
如图，连接ED，FD.由于BE和CF都是直径，因此
ED⊥BC， FD⊥BC，
因而D，E，F三点共线. …………（5分）
连接AE，AF，则
，
因此，△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF，垂足为H，则AH=PD.由△ABC∽△AEF可得
，
从而
，
因此
. …………（20分）
12．如图，抛物线
（a
0）与双曲线
相交于点A，B.已知点A坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a，b，k值；
（2）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，求所有满足△EOC∽△AOB点E坐标.
解：
（1）由于点A（1，4）在双曲线
上，
因此k=4.故双曲线函数表达式为
.
设点B（t，
），
，AB所在直线函数表达式为
，则有
解得
，
.
于是，直线AB与y轴交点坐标为
，故
，整顿得
，
解得
，或t＝
（舍去）．因此点B坐标为（
，
）．
由于点A，B都在抛物线
（a
0）上，因此
解得
…………（10分）
（2）如图，由于AC∥x轴，因此C（
，4），于是CO＝4
.又BO=2
，因此
.
设抛物线
（a
0）与x轴负半轴相交于点D，则点D坐标为（
，0）.
由于∠COD＝∠BOD＝
，因此∠COB=
.
（i）将△
绕点O顺时针旋转
，得到△
.这时，点
（
，2）是CO中点，点
坐标为（4，
）.
延长
到点
，使得
=
，这时点
（8，
）是符合条件点.
（ii）作△
关于x轴对称图形△
，得到点
（1，
）；延长
到点
，使得
＝
，这时点E２（2，
）是符合条件点．
因此，点
坐标是（8，
），或（2，
）. …………（20分）
13．求满足
所有素数p和正整数m.
．解：
由题设得
，
因此
，由于p是素数，故
，或
. ……（5分）
（1）若
，令
，k是正整数，于是
，
，
故
，从而
.
因此
解得
…………（10分）
（2）若
，令
，k是正整数.
当
时，有
，
，
故
，从而
，或2.
由于
是奇数，因此
，从而
.
于是
这不也许.
当
时，
，
；当
，
，无正整数解；当
时，
，无正整数解.
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9. …………（20分）
14．从1，2，…，这个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出数中任意三个数之和都能被33整除？
解：
一方面，如下61个数：
11，
，
，…，
（即1991）满足题设条件. …………（5分）
另一方面，设
是从1，2，…，中取出满足题设条件数，对于这n个数中任意4个数
，由于
，
，
因此
.
因而，所取数中任意两数之差都是33倍数. …………（10分）
设
，i=1，2，3，…，n.
由
，得
，
因此
，
，即
≥11. …………（15分）
≤
，
故
≤60.因此，n≤61.
综上所述，n最大值为61. …………（20分）
（64至91为荆州市全国三等奖至一等奖）
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