1、数学专升本考试试题高等数学(二)命题预测试卷(二)一、选择题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分。在每个小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内)1下列函数中,当 x1时,与无穷小量 (1 x) 相比是高阶无穷小的是()A ln( 3x)B x 32x 2xC cos(x 1)D x212曲线 y3x31 在(1,) 内是()xA处处单调减小B处处单调增加C具有最大值D具有最小值f ( x02h)f ( x0 )1,则 f ( x0 ) 为()3设 f (x) 是可导函数,且 limhx0A1B0C2D 11x24若 f ()1,则f ( x
2、)dx 为()xx10A 1B 1 ln 22C1D ln 25设 uxyz , u 等于()xA zxyzB xy z 1C y z 1D y z二、填空题:本大题共10 个小题, 10 个空,每空4 分,共 40 分,把答案填在题中横线上。6设 zexyyx2 ,则 z (1, 2)=y7设 f ( x)exln x ,则 f (3)8 f ( x)x ,则 f ( 1 )1xx9设二重积分的积分区域 D 是1x2y 24,则 dxdyD10 lim (11) x =x2x11函数 f (x)1 (exe x ) 的极小值点为212若 limx2ax 43 ,则 ax1x 113曲线 ya
3、rctanx 在横坐标为 1 点处的切线方程为14函数 yx2sintdt 在 x处的导数值为021x sin 2x15dx1 1cos2 x三、解答题:本大题共 13 小题,共 90 分,解答应写出推理、演算步骤。16(本题满分 6 分)arctan1x0求函数 f (x)x的间断点0x017(本题满分 6 分)计算 lim x x 1 x2x 2 118(本题满分 6 分)1计算 lim ln arcsin x (1 x) x x 019(本题满分 6 分)1设函数 f (x)xe xx0,求 f ( x) ln(1 x)1x020(本题满分 6 分)求函数 y sin( x y) 的二阶
4、导数21(本题满分 6 分)求曲线 f (x) x4 2x3 的极值点22(本题满分 6 分)x3计算 dx 2x 123(本题满分 6 分)若 f ( x) 的一个原函数为 xln x ,求 x f ( x)dx 24(本题满分 6 分)0k1 ,求常数 k 的值已知1x 2 dx225(本题满分 6 分)求函数 f (x, y) y3 x 2 6x 12 y 5 的极值26(本题满分 10 分)求 ( x2 y)dxdy ,其中 D 是由曲线 y x 2 与 x y2 所围成的平面区域D27(本题满分 10 分)设 f ( x) x 2aaa3f ( x) dx ,且常数 a1 ,求证:
5、f (x)dx003(a1)28(本题满分 10 分)求函数 y ln x 的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近x线并作出函数的图形参考答案一、选择题1B2B3D4D5D二、填空题6 2e217 e3 18 1319 3x10 e12 51211 x013 y41 ( x 1)2214sin15 04三、解答题16解这是一个分段函数,f ( x) 在点 x0 的左极限和右极限都存在limf ( x)limarctan12x0x 0xlimf ( x)lim arctan 12x0x 0xlimf ( x)limf ( x)x0x 0故当 x0 时,f ( x) 的极限不存在,点
6、 x0 是 f (x) 的第一类间断点111xx1xx21217解 原式 = limlim2x 21122xx2x2118解设 f (x)arcsin x (1 x) x 由于 x 0 是初等函数 ln f (x) 的可去间断点,1故lim ln f (x)x0ln lim f ( x) ln lim arcsin x (1 x) xx 0 x 01ln lim arcsin xlim (1 x) xx 0x 0ln( 0 e) ln e 119解 首先在 x 0 时,分别求出函数各表达式的导数,即111111 )当 x0 时, f ( x) ( xe x )exxe xe x (1x2x当
7、1x 0 时, f( x)ln( x1)1x1然后分别求出在 x0 处函数的左导数和右导数,即f(0)lim1x1x0111f(0)limex (1) 0xx0从而 f( 0)f(0) ,函数在 x0 处不可导11ex (1x0)所以 f( x)x1x0x120解ysin( x y)ycos(xy)(1y ) cos( xy)y cos(xy)ysin( xy)(1y )ycos( xy)y sin( x y) (1 y )1 cos(x y) ysin( xy)(1y ) 2ysin( xy)(1y ) 21 cos( xy)又由解得 ycos( xy)1cos(xy)cos(x y)2co
8、s(x y) 11cos( xy)代入得 y1cos(xy)sin( xy)1cos( xy) 321解先出求 f ( x) 的一阶导数: f ( x)4x 36x24 x2 (x3 )2令 f( x) 0即 4x 2 (x3)0解得驻点为 x1 0, x23 22再求出 f ( x) 的二阶导数 f( x)12x 212x12x( x 1) 当 x23 时, f ( 3)90 ,故 f ( 3)27 是极小值222160 ,在 (0, 3) 内 f ( x) 0当 x10 时,f (0)0,在 (,0) 内,f (x)2故 x1 0 不是极值点总之曲线 f (x)x42x 2 只有极小值点
9、x3 222解x3x3x xx(x 21) xxx21x21x21x21xx3dx( xx)dxxdxxdxx 21x2x 2111 x 21d( x 21)1 x 21 ln( x 21)C22x12223解 由题设知 f (x)(x ln x)ln xx(ln x)ln x1故 xf (x)dxx(ln x1)dxx ln xdxxdxln x1dx 21x2221 ln xx 2x2 d (ln x)1 x 2221 ln x x21 x 2 1 dx 1 x 222x21 x 2 ln x1xdx1 x 22221x 2 ln x1x 2C 240kdx01dxklim012 dx24
10、解1x2k1x2a1xaklimarctan x a0klim (arctan a) kaa2又0kdx11x22故k1解得 k1 2225解f2x6,f3y 212xy解方程组2x60得驻点 A0 (3,2), B0 (3,2)3y 2120又Af xx2, Bfxy0,Cfyy6 y对于驻点 A0 : A2, B0,C6y x312,故 B2AC240y2驻点 A0 不是极值点对于驻点 B0 : A2, B0, C6y x312y2故 B 2AC24 0,又A 2 0函数 f ( x, y) 在 B0 (3, 2) 点取得极大值f (3, 2)(2) 391824 53026解 由 yx
11、2 与 xy 2 得两曲线的交点为 O(0,0) 与 A(1,1)xy2 ( y0) 的反函数为 yx ( x 21x(x 212 y1 y2 )2x dxy) dxdy0dx2y)dy(xxDx02151 x) ( x41 x 4 ) dx0( x 222( 2 x 721 x 23 x5 ) 1033741014027证aa2af ( x)dxxf ( x)dx dx000aaax 2 dx0f (x)dx dx001 x30aaaf (x)dxdx300a 3aaf ( x)dx30aaa3f ( x)dx af ( x)dx003aa3于是 f ( x) dx03(a1)28解 (1)
12、先求函数的定义域为 (0, ) (2)求 y和驻点: y1ln x,令 y 0 得驻点 x e x2(3)由 y的符号确定函数的单调增减区间及极值当 0x1ln x0 ,所以 y 单调增加;e 时, yx2当 xe 时, y0 ,所以 y 单调减少由极值的第一充分条件可知y x1 为极大值e e(4)求 y并确定 y 的符号:2 ln x 3 ,令 y3y0 得 x e2 x33当 0xe2 时, y0 ,曲线 y 为凸的;3当 xe2时, y0 ,曲线 y 为凹的33根据拐点的充分条件可知点 (e2 ,3 e 2 ) 为拐点2这里的 y 和 y 的计算是本题的关键, 读者在计算时一定要认真、 仔细。另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷,现列表如下:x(0, e)e333(e,e2)e2(e 2 , )y0y0就表上所给的 y 和 y 符号,可得到:函数 yln x 的单调增加区间为 ( 0,e) ;x函数 yln x 的单调减少区间为 ( e,) ;x函数 yln x 的极大值为 y(e)1 ;xeln x3函数 y的凸区间为 (0, e2 ) ;
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