数学专升本考试试题.docx
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数学专升本考试试题
高等数学
（二）命题预测试卷
（二）
一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
在每个小题给出的选
项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1．下列函数中，当x
1时，与无穷小量（1x）相比是高阶无穷小的是（
）
A．ln（3
x）
B．x3
2x2
x
C．cos（x1）
D．x2
1
2．曲线y
3
x
3
1在（1,
）内是（
）
x
A．处处单调减小
B．处处单调增加
C．具有最大值
D．具有最小值
f（x0
2h）
f（x0）
1，则f（x0）为（
）
3．设f（x）是可导函数，且lim
h
x
0
A．1
B．0
C．2
D．1
1
x
2
4．若f（
）
1
，则
f（x）dx为（
）
x
x
1
0
A．1
B．1ln2
2
C．1
D．ln2
5．设u
xyz,u等于（
）
x
A．zxyz
B．xyz1
C．yz1
D．yz
二、填空题：
本大题共
10个小题，10个空，每空
4分，共40分，把答案填在
题中横线上。
6．设z
exy
yx2，则z（1,2）
=
．
y
7．设f（x）
ex
lnx，则f（3）
．
8．f（x）
x，则f
（1）
．
1
x
x
9．设二重积分的积分区域D是1
x2
y2
4，则dxdy
．
D
10．lim（1
1
）x=
．
x2x
11．函数f（x）
1（ex
ex）的极小值点为
．
2
12．若lim
x2
ax4
3，则a
．
x
1
x1
13．曲线y
arctanx在横坐标为1点处的切线方程为
．
14．函数y
x2
sintdt在x
处的导数值为
．
0
2
1
xsin2
x
．
15．
dx
11
cos2x
三、解答题：
本大题共13小题，共90分，解答应写出推理、演算步骤。
16．（本题满分6分）
arctan
1
x
0
求函数f（x）
x
的间断点．
0
x
0
17．（本题满分6分）
计算limxx1．
x2x21
18．（本题满分6分）
1
计算limlnarcsinx（1x）x．
x0
19．（本题满分6分）
1
设函数f（x）xex
x
0
，求f（x）．
ln（1x）
1
x
0
20．（本题满分6分）
求函数ysin（xy）的二阶导数．
21．（本题满分6分）
求曲线f（x）x42x3的极值点．
22．（本题满分6分）
x3
计算dx．
2
x1
23．（本题满分6分）
若f（x）的一个原函数为xlnx，求xf（x）dx．
24．（本题满分6分）
0
k
1，求常数k的值．
已知
1
x2dx
2
25．（本题满分6分）
求函数f（x,y）y3x26x12y5的极值．
26．（本题满分10分）
求（x2y）dxdy，其中D是由曲线yx2与xy2所围成的平面区域．
D
27．（本题满分10分）
设f（x）x2
a
a
a
3
．
f（x）dx，且常数a
1，求证：
f（x）dx
0
0
3（a
1）
28．（本题满分10分）
求函数ylnx的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近
x
线并作出函数的图形．
参考答案
一、选择题
1．B
2．B
3．D4．D5．D
二、填空题
6．2e2
1
7．e31
8．1
3
1
9．3
x
10．e
12．5
1
2
11．x
0
13．y
4
1（x1）
2
2
14．
sin
15．0
4
三、解答题
16．解
这是一个分段函数，
f（x）在点x
0的左极限和右极限都存在．
lim
f（x）
lim
arctan1
2
x
0
x0
x
lim
f（x）
limarctan1
2
x
0
x0
x
lim
f（x）
lim
f（x）
x
0
x0
故当x
0时，f（x）的极限不存在，点x
0是f（x）的第一类间断点．
1
1
1
xx
1
x
x2
1
2
17．解原式=lim
lim
．
2x2
1
1
2
2
x
x
2
x2
1
18．解
设f（x）
arcsinx（1x）x．
由于x0是初等函数lnf（x）的可去间断点，
1
故limlnf（x）
x0
lnlimf（x）lnlimarcsinx（1x）x
x0x0
1
lnlimarcsinx
lim（1x）x
x0
x0
ln（0e）lne1．
19．解首先在x0时，分别求出函数各表达式的导数，即
1
1
1
1
1
1）
当x
0时，f（x）（xex）
e
x
xex
ex（1
x2
x
当1
x0时，f
（x）
ln（x
1）
1
．
x
1
然后分别求出在x
0处函数的左导数和右导数，即
f
（0）
lim
1
x
1
x
0
1
1
1
f
（0）
lim
e
x（1
）0
x
x
0
从而f
（0）
f
（0），函数在x
0处不可导．
1
1
e
x（1
x
0
）
所以f
（x）
x
1
x
0
x
1
20．解
y
sin（xy）
y
cos（x
y）（1
y）cos（x
y）
ycos（x
y）
①
y
sin（x
y）（1
y）
y
cos（x
y）
ysin（xy）（1y）
1cos（xy）y
sin（x
y）（1
y）2
y
sin（x
y）（1
y）2
②
1cos（x
y）
又由①解得y
cos（x
y）
1
cos（x
y）
cos（xy）
2
cos（xy）1
1
cos（x
y）
代入②得y
1
cos（x
y）
sin（x
y）
1
cos（x
y）3
21．解
先出求f（x）的一阶导数：
f（x）
4x3
6x2
4x2（x
3）
2
令f
（x）0
即4x2（x
3
）
0
解得驻点为x10,x2
3．
2
2
再求出f（x）的二阶导数f
（x）
12x2
12x
12x（x1）．
当x2
3时，f（3）
9
0，故f（3）
27是极小值．
2
2
2
16
0，在（0,3）内f（x）0
当x1
0时，f（0）
0，在（
0）内，f（x）
2
故x10不是极值点．
总之
曲线f（x）
x4
2x2只有极小值点x
3．
2
22．解
x3
x3
xx
x（x2
1）x
x
x
2
1
x
2
1
x2
1
x
2
1
x
x3
dx
（x
x
）dx
xdx
x
dx
x2
1
x2
x2
1
1
1x2
1
d（x2
1）
1x2
1ln（x2
1）
C
2
2
x
1
2
2
23．解由题设知f（x）
（xlnx）
lnx
x（lnx）
lnx
1
故x
f（x）dx
x（lnx
1）dx
xlnxdx
xdx
lnx
1
dx2
1
x2
2
2
1lnx
x2
x2d（lnx）
1x2
2
2
1lnxx2
1x21dx1x2
2
2
x
2
1x2lnx
1
xdx
1x2
2
2
2
1
x2lnx
1
x2
C．
2
4
0
k
dx
0
1
dx
k
lim
0
1
2dx
24．解
1
x
2
k
1
x
2
a
1
x
a
k
lim
arctanxa0
k
lim（
arctana）k
a
a
2
又
0
k
dx
1
1
x
2
2
故
k
1
解得k
1．
2
2
25．解
f
2x
6,
f
3y2
12
x
y
解方程组
2x
6
0
得驻点A0（3,2）,B0（3,
2）
3y2
12
0
又
A
fxx
2,B
f
xy
0,C
f
yy
6y
对于驻点A0:
A
2,B
0,C
6yx
3
12，故B2
AC240
y
2
驻点A0不是极值点．
对于驻点B0:
A
2,B
0,C
6yx
3
12
y
2
故B2
AC
240，又A20．
函数f（x,y）在B0（3,2）点取得极大值
f（3,2）
（
2）3
9
18
245
30
26．解由y
x2与x
y2得两曲线的交点为O（0,0）与A（1,1）
x
y2（y
0）的反函数为y
x．
（x2
1
x
（x2
1
2y
1y2）
2xdx
y）dxdy
0
dx
2
y）dy
（x
x
D
x
0
2
1
5
1x）（x4
1x4）dx
0
（x2
2
2
（2x72
1x2
3x5）10
33
7
4
10
140
27．证
a
a
2
a
f（x）dx
x
f（x）dxdx
0
0
0
a
a
a
x2dx
0
f（x）dxdx
0
0
1x3
0a
a
a
f（x）dx
dx
3
0
0
a3
a
af（x）dx
30
a
a
a3
f（x）dxa
f（x）dx
0
0
3
a
a
3
于是f（x）dx
．
0
3（a
1）
28．解
（1）先求函数的定义域为（0,）．
（2）求y
和驻点：
y
1
lnx
，令y0得驻点xe．
x2
（3）由y
的符号确定函数的单调增减区间及极值．
当0
x
1
lnx
0，所以y单调增加；
e时，y
x2
当x
e时，y
0，所以y单调减少．
由极值的第一充分条件可知
yx
1为极大值．
ee
（4）求y
并确定y的符号：
2lnx3，令y
3
y
0得xe2．
x3
3
当0
x
e2时，y
0，曲线y为凸的；
3
当x
e2
时，y
0，曲线y为凹的．
3
3
根据拐点的充分条件可知点（e2,
3e2）为拐点．
2
这里的y和y的计算是本题的关键，读者在计算时一定要认真、仔细。
另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：
x
（0,e）
e
3
3
3
（e,e2
）
e2
（e2,）
y
＋
0
－
－
－
y
－
0
＋
就表上所给的y和y符号，可得到：
函数y
lnx的单调增加区间为（0,e）；
x
函数y
lnx的单调减少区间为（e,
）；
x
函数y
lnx的极大值为y（e）
1；
x
e
lnx
3
函数y
的凸区间为（0,e2）；
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