分段函数的几种常见题型及解法.docx

1、分段函数的几种常见题型及解法函数的概念和性质考点 分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内 , 有不同的对应法则的函数 , 它 是一个函数 , 却又常常被学生误认为是几个函数 ; 它的定义域是各段函数定义域的并集 , 其值域也是各段函数值域的并集 . 由于它在理解和掌握函数的定义、 函数的性质等知识的程 度的考察上有较好的作用 , 时常在高考试题中“闪亮”登场 , 本文就几种具体的题型做了 一些思考 , 解析如下：1求分段函数的定义域和值域2x 2 x 1,0;12 xx(0, 2); 的定义域、值域3x2, );例 1求函数 f(x)2求分段函数的函数值|x 1| 2,(| x

2、| 1) 例2已知函数 f(x) 1 求 ff (12).2 , (|x| 1)1x3求分段函数的最值4x 3 (x 0)例 3求函数 f(x)x 3 (0 x 1)的最大值.x 5 (x 1)4求分段函数的解析式x对所得例 4在同一平面直角坐标系中 , 函数 y f (x) 和 y g(x) 的图象关于直线 y 称, 现将 y g ( x)的图象沿 x轴向左平移 2 个单位, 再沿 y轴向上平移 1个单位 ,5作分段函数的图像6求分段函数得反函数的反函数为 y g(x), 求g(x)的表达式 .7判断分段函数的奇偶性8判断分段函数的单调性x3 x(x 0)的单调性 .例 8 判断函数 f (

3、x) 2x2 (x 0)例 9写出函数 f (x) |1 2x| |2 x |的单调减区间9解分段函数的方程10 解分段函数的不等式x2x 1 (x0)例 11设函数 f (x) 1, 若 f (x0) 1, 则 x0 得取值范围是()x2 (x0)A.( 1,1)例 12 设函数B.( 1,)1)2xC. ( ,2) (0, )则使得 f (x)D. ( , 1) (1, )1的自变量 x 的取值范围为f(x)(x4(x1 (x1),1)A(, 20,10B.(,2 0,1C. (, 21,10D. 2,01,10反馈练习x22x，x0，5 分)已知函数 f(x)ln x 1 ， x0.的取

4、值范围是 ( )2x3，x1 ，装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是 ( )A 75,25 B75,16ax1， 1x0.的取值范围是 ( )A (， 0 B.(， 1C 2,1 D2,0解析： 本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题， 意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力 当 x0 时，f(x)x22x(x1)210，所以|f(x)|ax化简为 x22xax，即 x2(a2)x，因为 x0，所以 a2x 恒成立，所以 a2 ；当 x0 时，f(x)ln(x1)0，所以 |f(x)|ax化简为 ln(x1)

5、ax 恒成立，由函数图象可知 a0，综上，当 2a0时，不等式 |f(x)| ax 恒成立，选择 D.答案： D2x3，x0 ，2(2013 福建， 4 分)已知函数 f(x) 则 f f 4 tan x， 0x ， 42解析：本题主要考查分段函数的求值， 意在考查考生的应用能力和运算求解能力 tan 1，f f f(1)2(1)3 2.44答案： 2log 1 x， x1 ，3 (2013 北京， 5 分)函数 f(x) 2 的值域为 2x， x1解析： 本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查 考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度分段函数是一个函数，其定义域是

6、各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集当 x1 时，log 1x0，当 x1 时，02 x1 ，Alg 101解析： f(10) lg 101，故 f(f(10)f(1)1 12.答案： B5 (2011 北京， 5 分)根据统计，一名工人组装第 x 件某产品所用的时间 (单位：分钟 )为c，xA，xf(x) (A， c 为常数 )已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟，组c，xAA装第 A 件产品用时 15 分钟，那么 c 和 A 的值分别是 ( )A 75,25 B75,16C60,25 D 60,16A 件产品用时 15 分钟，所以 15(1) ，所以必有 4 A，且Ac23

7、0(2) ，联立 (1)(2) 解得 c 60，A16.答案： D6(2012 江苏， 5 分)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间 1,1 上， f(x)ax1， 1x0，13bx2 其中 a，bR.若f( )f( )，则 a3b的值为 ， 0x 1， 2 2x131解析：因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 f(2)f(2)，且 f(1)f(1)，b 2由f（ 1） f （1） ，得 a1 ，故 b2a. 由得 a2 ，b 4，从而 a3b 10.答案： 102x a，x1，7 （ 2011 江苏， 5分）已知实数 a0 ，函数 f（x） 若f（1a）f（1a），x2a， x1.则 a 的值为 解析：当 1a0 时，此时 a11，由 f（1a）f（1a），得 2（1 a）3a （1a）2a，计算得 a 2（舍去 ）；当 1a1，即 a0 时，此时 a11，3由 f（1a） f（1a），得 2（1 a）a （1a）2a，计算得 a ，符合题意，所以综43 上所述， a .43答案：