分段函数的几种常见题型及解法.docx

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分段函数的几种常见题型及解法

函数的概念和性质

考点分段函数

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就几种具体的题型做了一些思考,解析如下：

1．求分段函数的定义域和值域

2x2x[1,0];

12x

x

（0,2）;的定义域、值域

3

x

[2,）;

例1．求函数f（x）

2．求分段函数的函数值

|x1|2,（|x|1）例2．已知函数f（x）1求f[f（12）].

2,（|x|1）

1x

3．求分段函数的最值

4x3（x0）

例3．求函数f（x）

x3（0x1）的最大值.

x5（x1）

4．求分段函数的解析式

x对

所得

例4．在同一平面直角坐标系中,函数yf（x）和yg（x）的图象关于直线y称,现将yg（x）的图象沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,

5．作分段函数的图像

6．求分段函数得反函数

的反函数为yg（x）,求g（x）的表达式.

7．判断分段函数的奇偶性

8．判断分段函数的单调性

x3x（x0）

的单调性.

例8．判断函数f（x）2

x2（x0）

例9．写出函数f（x）|12x||2x|的单调减区间

9．解分段函数的方程

10．解分段函数的不等式

x

2x1（x

0）

例11．设函数f（x）1

若f（x0）1,则x0得取值范围是（

）

x2（x

0）

A.（1,1）

例12．设函数

B.（1,

）

1）2

x

C.（,

2）（0,）

则使得f（x）

D.（,1）（1,）

1的自变量x的取值范围为

f（x）

（x

4

（x

1（x

1）,

1）

）

A．（

2]

[0,10]

B.

（,

2][0,1]

C.（

2]

[1,10]

D.

[2,0]

[1,10]

反馈练习

－x2＋2x，x≤0，

5分）已知函数f（x）＝

lnx＋1，x>0.

的取值范围是（）

2x3，x<0，

x2＋1，x≤1，

4．（2012江西，5分）若函数f（x）＝则f（f（10））＝（）

lgx，x>1，

装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）

A．75,25B．75,16

ax＋1，－1≤x<0，

bx＋2

13

其中a，b∈R.若f

（2）＝f

（2），则a＋3b的值为

x＋1，0≤x≤1，

函数的概念和性质

考点一分段函数

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就几种具体的题型做了一些思考,解析如下：

解析】

2．求分段函数的函数值

例2．已知函数

f（x）

|x1|2,（|x|1）

1求f[f（12）].

2,（|x|1）

1x

【解析】

因为f（21）|12

1|2

14

2,所以f[f

（2）]f

（2）1（3）213

1

（2）13

3．求分段函数的最值

4x3（x0）

例3．求函数f（x）

x3（0x1）的最大值.

x5（x1）

例4．在同一平面直角坐标系中,函数y称,现将yg（x）的图象沿x轴向左平移的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）

解析】

4．求分段函数的解析式

f（x）和yg（x）的图象关于直线yx对

2个单位,再沿y轴向上平移1个单位,所得

则函数f（x）的表达式为（）

当x[2,0]时,y21x1,将其图象沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平

移1个单位,得解析式为y12（x2）1112x1,所以f（x）2x2（x[1,0]）,

当x[0,1]时,y2x1,将其图象沿x轴向右平移2个单位,再沿y轴向下平移1个

|lnx|

5．作分段函数的图像

例5．函数ye|lnx||x1|的图像大致是（

6．求分段函数得反函数

的反函数为yg（x）,求g（x）的表达式.

解析】

x

设x0,则x0,所以f（x）3x

1,又因为f（x）是定义在R上的奇函数,

所以f（x）f（x）,且f（0）

0,所以f（x）13x,

因此

3x1（xf（x）0（xx

13x（x

0）

0）,

0）

从而可得g（x）

log3（x1）（x

0

log3（1

（xx）（x

0）

0）.

0）

7．判断分段函数的奇偶性

例7．判断函数

f（x）

x2（x

2

1）

解析】

f（0）f（0）0,

当x

此,对于任意xR都有f（

8．判断分段函数的单调性

例8．判断函数f（x）

解析】

显然f（x）连续.当x

当x0时,f'（x）2x

（xx2（x1）（x

0）的奇偶性.

0）

f（

x）（

2

x）2（x1）

x2（x1）

f（x）,

当x0时,

0,

x）

3

x

2

x

0时,

f（x）（x）2（x1）

f（x）,所以f（x）为偶函数.

x（x0）

（x0）

的单调性.

'2

f'（x）3x211恒成立,

所以

0恒成立,f（x）也是单调递增函数

调递增函数;或画图易知f（x）在R上是单调递增函数.

例9．写出函数

f（x）|12x||2x|的单调减区间.

解析】f（x）

3x1（x12）

3x（12x2）,画图易知单调

3x1（x2）

减区间为（

12].

x2（x

1）f（x）因

f（x）是单调递增函数,

所以f（x）在R上是单

9．解分段函数的方程

的值为

解析】

若2x41,则2x

22,

得x2

（,1],所以x2（舍去）

若log81x14

1

则x814,解得x3

（1,

）,所以x

3即为所求.

10．解分段函数的不等式

【解析2】

1因为f（x0）1,当x00时,2x011,解得x01,当x00时,x021,

解得x01,综上x0的取值范围是（,1）（1,）.故选D.

2

（x1）2（x1）

例12．设函数f（x）

则使得f（x）1的自变量x的取值范围为

4x1（x1）

解析】

当x

1时,

f（x）

1

2

（x1）21x

2或x0,所以x

2或0x1,当

x

1时,

f（x）

1

4

x11x1

3x10,所以1

x10,综上所

述,

x

2或0

x

10,

故选A项.

点评：

】

以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解,方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.

反馈练习

－x2＋2x，x≤0，

1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a

lnx＋1，x>0.

的取值范围是（）

A．（－∞，0]B.（－∞，1]

C．[－2,1]D．[－2,0]

解析：

本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的

取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x≤0时，

f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤0，所以|f（x）|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥（a＋2）x，因为

x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x>0时，f（x）＝ln（x＋1）>0，所以|f（x）|≥ax

化简为ln（x＋1）>ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f（x）|≥ax恒成立，选择D.

答案：

D

2x3，x<0，

π

2．（2013福建，4分）已知函数f（x）＝π则ff4＝

－tanx，0≤x<，4

2

解析：

本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．

ππ

＝－tan＝－1，∴ff＝f（－1）＝2×（－1）3＝－2.

44

答案：

－2

log1x，x≥1，

3．（2013北京，5分）函数f（x）＝2的值域为．

2x，x<1

解析：

本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．

分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并

集．当x≥1时，log1x≤0，当x<1时，0<2x<2，故值域为（0,2）∪（－∞，0]＝（－∞，2）．

2

答案：

（－∞，2）

x2＋1，x≤1，

4．（2012江西，5分）若函数f（x）＝则f（f（10））＝（）

B．2

lgx，x>1，

A．lg101

解析：

f（10）＝lg10＝1，故f（f（10））＝f

（1）＝1＋1＝2.

答案：

B

5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：

分钟）为

c

，x

x

f（x）＝（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组

c

，x≥A

A

装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）

A．75,25B．75,16

C．60,25D．60,16

A件产品用时15分钟，所以＝15

（1），所以必有4

A

c

2＝30

（2），联立

（1）

（2）解得c＝60，A＝16.

答案：

D

6．（2012江苏，5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f（x）＝

ax＋1，－1≤x<0，

13

bx＋2其中a，b∈R.若f（）＝f（），则a＋3b的值为．

，0≤x≤1，22

x＋1

31

解析：

因为f（x）是定义在R上且周期为2的函数，所以f

（2）＝f（－2），且f（－1）＝f

（1），

b＋2

由f（－1）＝f

（1），得－a＋1＝，故b＝－2a.②

由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.

答案：

－10

2x＋a，x<1，

7．（2011江苏，5分）已知实数a≠0，函数f（x）＝若f（1－a）＝f（1＋a），

－x－2a，x≥1.

则a的值为．

解析：

①当1－a<1，即a>0时，此时a＋1>1，由f（1－a）＝f（1＋a），得2（1－a）

3

＋a＝－（1＋a）－2a，计算得a＝－2（舍去）；②当1－a>1，即a<0时，此时a＋1<1，

3

由f（1－a）＝f（1＋a），得2（1＋a）＋a＝－（1－a）－2a，计算得a＝－，符合题意，所以综

4

3上所述，a＝－.

4

3

答案：

－