全等三角形模型教案.docx

1、全等三角形模型教案全等三角形模型适用学科初中数学适用年级初中一年级适用区域江苏课时时长（分钟）60知识点全等三角形的性质、全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定教学目标熟练掌握三角形全等的判定定理，能够灵活运用这些定理进行推理和证明；能够从模型的观点去 理解复杂的几何图形的推理。教学重点熟练掌握三角形全等的判定定理教学难点能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理教学过程-、课堂导入【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗?【思考】 ABD ACE二、复习预习【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，ZAOB是一个任意角，在边OA ,0B上分别取OM=ON 移动角尺，使角尺两

2、边相同的刻度分别与 M、N重合则过角尺顶点P的射线OP便是ZAOB的角平分线，为什么？请你【解答】OP平分/AOB理由如下：vOM=ON , PM=PN , OP=OP dVIOP 也凰OP (SSS) JVIOP= ZNOPOP 平分/MON(即OP是ZAOB的角平分线)三、知识讲解考点 1全等三角形性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。考点2全等三角形的判定：AAS、SSS;所有三角形SAS、ASA、直角三角形HL四、例题精析【例题1】【题干】如图，正方形 ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE丄BF,垂足为点G .求证：AE=BF

3、 .【答案】证明：正方形 ABCD ,：zABC= ZC=90 ,AB=BC .AE丄 BF,./AGB= ZBAG+ / ABG=90 vzABG+ / CBF=90 ，-BAG= ZCBF.BAECBFAB CBABEBCF在ABE 和BCF 中,BE也MF (ASA),AAE=BF .【解析】根据正方形的性质，可得/ ABC与/C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得/ AGB的度数，根据 直角三角形锐角的关系，可得/ ABG与/BAG的关系，根据同角的余角相等，可得/ BAG与ZCBF的关系，根据ASA, 可得AABEzBCF,根据全等三角形的性质，可得答案.【例题2】【题干】

4、如图，四边形 ABCD是正方形，BE丄BF, BE=BF , EF与BC交于点G.(1) 求证：AE=CF ;(2) 求证：AE丄CF.丄UD3广【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形，/ ABC=90B=BC ,BE丄 BF,aZ FBE=90 ,vzABE+ / EBC=90 , CBF+ / EBC=90 ，.-ABE= ZCBF,AB BC在AEB 和CFB 中， ABE CBFBE BF/ZAEBzCFB (SAS),：AE=CF .(2)延长AE交BC于O,交CF于H , EB ZCFB,azbAE= ZBCF, zABC=90 ,aBAE+ zSAOB=90 , zAOB=

5、/COH , A/BCF+ ZCOH=90 ,zCHO=90 ，-AE 丄 CF(2)利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明.【例题3】【题干】( 2014?顺义区一模)已知：如图,MNQ中，Mg NQ.(1) 请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法;(2) 参考(1)中构造全等三角形的方法解决下面问题：如图 2，在四边形 ABCD 中，/ACB+ /CAD=18 0。，启=ZD .求证：CD=AB .【答案】：（1）如图1，以N为圆心，以MQ为半径画圆弧；以M为圆心，以NQ为半径画圆弧；两圆弧的交点延长DA至E,使得AE=C

6、B，连结CE.VzACB + /CAD =180 ,QACDAC + ZEAC =180 ：BACBCA = ZEACAE CE在 EAC 和 ABAC 中，AC CAEAC BCNZAECEAC也启CA (SAS),：ZB= ZE, AB=CEVzB= ZD ,/ ZE,ACD=CE ,：CD=AB .【解析】(1)以点N为圆心，以MQ长度为半径画弧，以点 M为圆心，以NQ长度为半径画弧，两弧交于一点 F, 则AMNF为所画三角形.(2)延长DA至E,使得AE=CB，连结CE.证明AEACFCA，得：ZB = ZE, AB=CE，根据等量代换可以求得答案.【例题4】1如图2,若在四边形 AB

7、CD中，AB=AD，/B+ / D=180 E, F分别是BC, CD上的点，且/ EAF= - /BAD，上述结 论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30 的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东 70 的B处，并 且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50 的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F处，且两舰艇之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.【答案】问题背景：EF=BE+DF ;探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.证

8、明如下：如图，延长 FD到G,使DG=BE，连接AG ,VzB+ / ADC=180 , ADC+ / ADG=180 ，/B= ZADG ,DGBEBADGABAD在ABE 和ZSADG 中,/ABE也ADG (SAS)1AE=AG , ZBAE= /DAG , v/EAF= 2 /BAD ,zGAF= ZDAG+ ZDAF= ZBAE+ ZDAF= /BAD- ZEAF= ZEAF,a%8图3zEAF= ZGAF,AE AG在AEF和GAF 中， EAF GAF , azAEFzGAF (SAS),：EF=FG,AF AFFG=DG+DF=BE+DF ,：EF=BE+DF ;实际应用：如图

9、，连接EF,延长AE、BF相交于点C,vZ AOB=30 +90 +-7(90 ) =140。，/ EOF=70 EO,F=zAOB ,又 vOA=OB , ZOAC+ ZOBC= ( 90 -30 )+ ( 70 +50 ) =180 , 符合探索延伸中的条件，.结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5 X (0+80 ) =210海里. 答：此时两舰艇之间的距离是 210海里.【解析】问题背景：根据全等三角形对应边相等解答;探索延伸：延长FD到G,使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出/ B= ZADG ,然后利用“边角边”证明 ABE 和ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得

10、AE=AG , ZBAE= /DAG，再求出/ EAF= ZGAF，然后利用“边角边”证明AAEF和AGAF全等，根据全等三角形对应边相等可得 EF=GF，然后求解即可；实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出/EAF= ； ZAOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延 伸的结论解答即可.五、课堂运用【基础】1.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE, BH，两线交于M .求证:(1) BH=DE .(2) BH 丄DE.【答案】证明：（1 ）在正方形ABCD与正方形CEFH中,BC=CD , CE=CH , ZBCD= / ECH=90 ,/BCD+ ZDC

11、H= ZECH+ ZDCH，即ZBCH= ZDCE,BC CD在ABCH 和eCE 中， BCH DCE ,CE CHCHzDCE (SAS),：BH=DE ;(2) vZBCH也zDCE,：zCBH= ZCDE,又 v/CGB= ZMGD ,：zDMB= / BCD=90 /BH 丄DE.【解析】(1 )根据正方形的性质可得 BC=CD , CE=CH , ZBCD= / ECH=90。，然后求出BCH= ZDCE，再利用“边 角边”证明 BCH和DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得/ CBH= ZCDE，然后根据三角形的内角和定理求出/ DMB=

12、 / BCD=90。，再根据 垂直的定义证明即可.B, C),连接AM，以AM为边作等边 AMN，连接2. (1 )操作发现CN，猜想/ABC与ZACN有何数量关系？并证明你的结论；(2 )类比探究如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立? 请说明理由.【答案】(1 )T在等边KBC 中，AB=AC，/BAC= ZBAM+ / MAC=60在等边MMN 中，AM=AN，/MAN= ZNAC+ / MAC=60 ：BAM= / NAC=60 - ZMAC ,AB AC在AABM 和AACN 中， BAM NAC，AZABM 也A

13、CN (SAS),：ZABC= ZACN . AM AN(2 在等边AABC 中，AB=AC，ZBAM= ZBAC+ / MAC=60 +MAC在等边AAMN 中，AM=AN ，ZNAC= ZNAM+ / MAC=60 +MAC ,a/BAM= / NAC=60 +MAC，AB AC 在AABM 和AACN 中， BAM NAC，AZABM 也ACN (SAS),：ZABC= ZACN .AM AN【解析】(1 )由全等三角形可以判定 AB=AC，AM=AN，即可求证A ABM也ACN，即可求得Z ABC= ZACN ;(2 )和(1)同理，由全等三角形可以判定 AB=AC，AM=AN，即可求

14、证A ABM也ACN，即可求得Z ABC= /CAN.【巩固】BAC=90。，/ DAE=C0 D，在同一条直线上.求证:BD=CE.【答案BC和AADE都是等腰直角三角形，二AD=AE , AB=AC ,又/ EAC=90 CAR, / DAB=90 CAD ,：zDAB= ZEAC,AB AC在zADB 和AEC 中 BAD CAE ,.zADB zAEC (SAS),：BD=CE . AD AE【解析】求出 AD=AE , AB=AC，/DAB= ZEAC，根据SAS证出AADB也AEC即可.D是BC上一点，且CD=BE，求证:/ EDB= ZCAD . /GDC= ZABC= / C=

15、60 AC=BC ,【答案】如图，过点D作DG /AB交AC于G,DG 是等边三角形，二 DG=CD=CG，/ AGD=120 , BD=AG ,CD=BE , aBE=DG，又 v/BEF 是等边三角形二/ EBF=60 EBD=，厶 DGA=120 ,BD AG在EBD 和DGA 中. EBD AGD .ZEBD也QGA (SAS),：ZEDB= /CAD .EB DG【解析】过点D作DG /AB交AC于G ,求出/EBD= / AGD=120 ,D=AG，根据SAS证EBDzDGA，根据全等三 角形的性质推出即可.【拔高】正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF.(1

16、) 如图1，若点G是边BC的中点，连接FG,则EF与FG关系为： ；(2) 如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP,将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90。，得到线段FQ, 连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论.(3) 若点P为CB延长线上一动点，按照(2)中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数 量关系：【答案】(1 点E、F分别是边AD、AB的中点，G是BC的中点，二AE=AF=BF=BG ,AE BG 在AEF 和BFG 中， A B , aaEFzBFG (SAS),AF BFEF=FG, ZAFE= / BFG=45

17、, EF丄 FG, EF=FG ;(2) BF+EQ=BP .则 EF丄FG, EF=FG,a/1+ / 2=90。，又芒乂/ 3=90 ,-1Z3,FQ FP在 AFQE 和 AFPG 中， 1 3 .QEzEPG (SAS),|ef fg|QE=PG 且 BF=BG ,：BG+GP=BP ,：BF+EQ=BP ;(3)如图 3 所示，BF+BP=EQ .【解析】(1)根据线段中点的定义求出 AE=AF=BF=BG，然后利用“边角边”证明 AEF和FG全等，根据全等三角 形对应边相等可得EF=FG，全等三角形对应角相等可得/ AFE= / BFG=45。再求出/ EFG=90然后根据垂直的定义证 明即可；(2) 取BC的中点G，连接FG，根据同角的余角相等求出/ 1= Z3，然后利用“边角边”证明 FQE和PG全等，根 据全等三角形对应边相等可得 QE=FG，BF=BG，再根据BG+GP=BP等量代换即可得证；(3) 根据题意作出图形，然后同(2)的思路求解即可.课程小结1 全等三角形的性质2.全等三角形的判定35