全等三角形模型教案.docx
《全等三角形模型教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形模型教案.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
全等三角形模型教案
全等三角形模型
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
江苏
课时时长（分钟）
60
知识点
全等三角形的性质、全等三角形的判定、直角三角形的全等的判定
教学目标
熟练掌握三角形全等的判定定理，能够灵活运用这些定理进行推理和证明；能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理。
教学重点
熟练掌握三角形全等的判定定理
教学难点
能够从模型的观点去理解复杂的几何图形的推理
教学过程
-、课堂导入
【问题】如图，你能感觉到哪两个三角形全等吗?
【思考】△ABD◎△ACE
二、复习预习
【问题】工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：
如图，ZAOB是一个任意角，在边OA,0B上分别取OM=ON•移
动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合•则过角尺顶点P的射线OP便是ZAOB的角平分线，为什么？
请你
【解答】OP平分/AOB
理由如下：
vOM=ON,PM=PN,OP=OP
••dVIOP也凰OP（SSS）
•••JVIOP=ZNOP
•••OP平分/MON
（即OP是ZAOB的角平分线）
三、知识讲解
考点1
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的高、中线相等，对应角的平分线相等。
考点2
全等三角形的判定：
AAS、SSS;
所有三角形SAS、ASA、
直角三角形HL
四、例题精析
【例题1】
【题干】如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE丄BF,垂足为点G.
求证：
AE=BF.
【答案】证明：
•••正方形ABCD,：
zABC=ZC=90°,AB=BC.
••AE丄BF,.・./AGB=ZBAG+/ABG=90vzABG+/CBF=90°，-BAG=ZCBF.
BAE
CBF
ABCB
ABE
BCF
在△ABE和△BCF中,
•••△BE也MF（ASA）,AAE=BF.
【解析】根据正方形的性质，可得/ABC与/C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得/AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得/ABG与/BAG的关系，根据同角的余角相等，可得/BAG与ZCBF的关系，根据ASA,可得AABE^zBCF,根据全等三角形的性质，可得答案.
【例题2】
【题干】如图，四边形ABCD是正方形，BE丄BF,BE=BF,EF与BC交于点G.
（1）求证：
AE=CF;
（2）求证：
AE丄CF.
丄U
D
3
广
【答案】
（1）证明：
•••四边形ABCD是正方形，•••/ABC=90B°=BC,
••BE丄BF,aZFBE=90°,
vzABE+/EBC=90°,CBF+/EBC=90°，.-ABE=ZCBF,
ABBC
在△AEB和△CFB中，ABECBF
BEBF
/•ZAEB^zCFB（SAS）,：
AE=CF.
（2）延长AE交BC于O,交CF于H,
•△EB^ZCFB,azbAE=ZBCF,
•zABC=90°,aBAE+zSAOB=90°,
•zAOB=/COH,A/BCF+ZCOH=90°,
•••zCHO=90°，-AE丄CF
（2）利用全等三角形对应角相等、对顶角相等、等量代换即可证明.
【例题3】
【题干】（2014?
顺义区一模）已知：
如图,△MNQ中，MgNQ.
（1）请你以MN为一边，在MN的同侧构造一个与△MNQ全等的三角形，画出图形，并简要说明构造的方法;
（2）参考
（1）中构造全等三角形的方法解决下面问题：
如图2，在四边形ABCD中，/ACB+/CAD=180。
，启=ZD.求证：
CD=AB.
【答案】：
（1）如图1，以N为圆心，以MQ为半径画圆弧；以M为圆心，以NQ为半径画圆弧；两圆弧的交点
延长DA至E,使得AE=CB，连结CE.
VzACB+/CAD=180°,QACDAC+ZEAC=180°：
BACBCA=ZEAC
AECE
在^EAC和ABAC中，ACCA
EACBCN
•••ZAECEAC也启CA（SAS）,：
ZB=ZE,AB=CE
VzB=ZD,•••/>ZE,ACD=CE,：
CD=AB.
【解析】
（1）以点N为圆心，以MQ长度为半径画弧，以点M为圆心，以NQ长度为半径画弧，两弧交于一点F,则AMNF为所画三角形.
（2）延长DA至E,使得AE=CB，连结CE.证明AEACFCA，得：
ZB=ZE,AB=CE，根据等量代换可以求得答案.
【例题4】
1
如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD，/B+/D=180°E,F分别是BC,CD上的点，且/EAF=-/BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角
为70。
，试求此时两舰艇之间的距离.
【答案】问题背景：
EF=BE+DF;
探索延伸：
EF=BE+DF仍然成立.
证明如下：
如图，延长FD到G,使DG=BE，连接AG,
VzB+/ADC=180°,ADC+/ADG=180°，/B=ZADG,
DG
BE
B
ADG
AB
AD
在△ABE和ZSADG中,
/•/ABE也ADG（SAS）
1
•••AE=AG,ZBAE=/DAG,v/EAF=2/BAD,
•••zGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=/BAD-ZEAF=ZEAF,
a
%
8
图3
•••zEAF=ZGAF,
AEAG
在△AEF和△GAF中，EAFGAF,azAEF^zGAF（SAS）,：
EF=FG,
AFAF
••FG=DG+DF=BE+DF,：
EF=BE+DF;
实际应用：
如图，连接EF,延长AE、BF相交于点C,
vZAOB=30°+90°+-7（90）=140。
，/EOF=70EO,F=・£zAOB,
又vOA=OB,ZOAC+ZOBC=（90-30°）+（70°+50°）=180°,•••符合探索延伸中的条件，.••结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5X（0+80）=210海里.答：
此时两舰艇之间的距离是210海里.
【解析】问题背景：
根据全等三角形对应边相等解答;
探索延伸：
延长FD到G,使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出/B=ZADG,然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AG,ZBAE=/DAG，再求出/EAF=ZGAF，然后利用“边角边”
证明AAEF和AGAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可；
实际应用：
连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出/EAF=；ZAOB，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可.
五、课堂运用
【基础】
1.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE,BH，两线交于M.求证:
（1）BH=DE.
（2）BH丄DE.
【答案】证明：
（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中,
BC=CD,CE=CH,ZBCD=/ECH=90°,
•••/BCD+ZDCH=ZECH+ZDCH，即ZBCH=ZDCE,
BCCD
在ABCH和eCE中，BCHDCE,
CECH
•••△CH^zDCE（SAS）,：
BH=DE;
（2）vZBCH也zDCE,：
zCBH=ZCDE,
又v/CGB=ZMGD,：
zDMB=/BCD=90/•BH丄DE.
【解析】
（1）根据正方形的性质可得BC=CD,CE=CH,ZBCD=/ECH=90。
，然后求出BCH=ZDCE，再利用“边角边”证明△BCH和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得/CBH=ZCDE，然后根据三角形的内角和定理求出/DMB=/BCD=90。
，再根据垂直的定义证明即可.
B,C）,连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接
2.
（1）操作发现
CN，猜想/ABC与ZACN有何数量关系？
并证明你的结论；
（2）类比探究
如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C）,其他条件不变，
（1）中的结论是否仍然成立?
请说明理由.
【答案】
（1）T在等边△KBC中，AB=AC，/BAC=ZBAM+/MAC=60
在等边MMN中，AM=AN，/MAN=ZNAC+/MAC=60°：
BAM=/NAC=60-ZMAC,
ABAC
在AABM和AACN中，BAMNAC，AZABM也ACN（SAS）,：
ZABC=ZACN.AMAN
（2在等边AABC中，AB=AC，ZBAM=ZBAC+/MAC=60°+MAC
在等边AAMN中，AM=AN，ZNAC=ZNAM+/MAC=60°+MAC,a/BAM=/NAC=60°+MAC，
ABAC在AABM和AACN中，BAMNAC，AZABM也ACN（SAS）,：
ZABC=ZACN.
AMAN
【解析】
（1）由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证AABM也ACN，即可求得ZABC=ZACN;
（2）和
（1）同理，由全等三角形可以判定AB=AC，AM=AN，即可求证AABM也ACN，即可求得ZABC=/CAN.
【巩固】
BAC=90。
，/DAE=C0D，在同一条直线上.求证:
BD=CE.
【答案［•••△\BC和AADE都是等腰直角三角形，二AD=AE,AB=AC,
又•••/EAC=90°CAR,/DAB=90°CAD,：
zDAB=ZEAC,
ABAC
•••在zADB和△AEC中BADCAE,.・.zADB^zAEC（SAS）,：
BD=CE.ADAE
【解析】求出AD=AE,AB=AC，/DAB=ZEAC，根据SAS证出AADB也AEC即可.
D是BC上一点，且CD=BE，求证:
/EDB=ZCAD.
•/GDC=ZABC=/C=60°AC=BC,
【答案】如图，过点D作DG//AB交AC于G,
•••△DG是等边三角形，二DG=CD=CG，/AGD=120°,BD=AG,
••CD=BE,aBE=DG，又v/BEF是等边三角形二/EBF=60EBD=，厶DGA=120°,
BDAG
在△EBD和△DGA中.EBDAGD.•••ZEBD也QGA（SAS）,：
ZEDB=/CAD.
EBDG
【解析】过点D作DG//AB交AC于G,求出/EBD=/AGD=120°,D=AG，根据SAS证△EBD^zDGA，根据全等三角形的性质推出即可.
【拔高】
正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF.
（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG,则EF与FG关系为：
；
（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP,将线段FP以点F为旋转中心，逆时针旋转90。
，得到线段FQ,连接EQ，请猜想BF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论.
（3）若点P为CB延长线上一动点，按照
（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出BF、EQ、BP三者之间的数量关系：
【答案】（1点E、F分别是边AD、AB的中点，G是BC的中点，二AE=AF=BF=BG,
AEBG在△AEF和△BFG中，AB,a^aEF^zBFG（SAS）,
AFBF
•••EF=FG,ZAFE=/BFG=45°,EF丄FG,EF=FG;
（2）BF+EQ=BP.
则EF丄FG,EF=FG,a/1+/2=90。
，又芒乂/3=90°,-1^Z3,
FQFP
在AFQE和AFPG中，13‘.••△QE^zEPG（SAS）,
|effg|
•••QE=PG且BF=BG,：
BG+GP=BP,：
BF+EQ=BP;
（3）如图3所示，BF+BP=EQ.
【解析】
（1）根据线段中点的定义求出AE=AF=BF=BG，然后利用“边角边”证明△AEF和£FG全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG，全等三角形对应角相等可得/AFE=/BFG=45。
再求出/EFG=90然后根据垂直的定义证明即可；
（2）取BC的中点G，连接FG，根据同角的余角相等求出/1=Z3，然后利用“边角边”证明△FQE和^PG全等，根据全等三角形对应边相等可得QE=FG，BF=BG，再根据BG+GP=BP等量代换即可得证；
（3）根据题意作出图形，然后同
（2）的思路求解即可.
课程小结
1•全等三角形的性质
2.全等三角形的判定
35
升级会员 