微分中值定理的证明.docx

1、微分中值定理的证明2014届本科毕业论文（设计）题目：微分中值定理的证明及其应学 院：数学科学学院专业班级：数学09-3班学生姓名：迪丽尼格尔艾来提指导教师：依力夏提答辩日期：2014年 月 日新疆师范大学教务处1引言 21.1最大最小定理 错误！未定义书签。1.2介值性定理 错误！未定义书签。1.3根的存在性定理 错误！未定义书签。1.4 一致连续性定理 错误！未定义书签。1.5费马定理 错误！未定义书签。1.6有界性定理 错误！未定义书签。2微分中值定理 错误！未定义书签。2.1罗尔中值定理 错误！未定义书签。2.2拉格朗日中值定理 错误！未定义书签。2.3柯西中值定理 错误！未定义书签。

2、3微分中值定理的证明 错误！未定义书签。3.1罗尔中值定理的证明 错误！未定义书签。3.2拉格朗日中值定理的证明 错误！未定义书签。3.3柯西中值定理的证明 错误！未定义书签。4微分中值定理的证明的几何解释 错误！未定义书签。4.1罗尔中值定理的几何解释 4.2拉格朗日中值定理的几何解释 错误！未定义书签。4.3柯西中值定理的几何解释 错误！未定义书签。5微分中值定理之间的关系及其深层简述 错误！未定义书签。错误！未定义书签。6微分中值定理的应用7总结 微分中值定理的证明及其应用摘要：微分中值定理不仅是微分学的基本定理，而且它是微分学的 理论核心。本文主要介绍微分中值定理在等式的证明， 不等式

3、的证明，方程根的 存在性及其求近似值等中的应用。关键词：辅助函数；等式证明；不等式证明；方程根存在性；近似值;1.引言 微分中值定理是微分学的基本定理，在数学分析中有重要的地位，在 微积分教学与研究中具有承前局后的作用， 是研究函数在某个区间内 的整体性质的有力工具。本文是以罗尔中值定理，拉格朗日中值定理 和柯西中值定理三个定理为研究对象，主要介绍微分中值定理的若干 推广和应用。11预备知识最大最小定理(定理4.6) 若函数f(x)在闭区间la,b 1上连续，则f(x) 在a,b 1上有最大与最小值。介值性定理(定理 4.7) 设函数f(x)在闭区间a,bl上连续，且 f(a)=f(b)。若卩

4、为介于f(a)与f(b)之间的任何实数f(a) VV f(b) 或f (a) 卩 f (b)，则至少存在一点Xo e (a,b ),使得f化)=。根的存在定理 若函数f (x)在闭区间a,b 1上连续，且f (a)与f (b)异 点(既f(a), f(b) V 0),则至少存在一点a,b，使得f(x)=0，既 方程f(x)=0在a,b内至少有一个跟。一致连续性定理(定理 4.9 ) 若函数f(x)在闭区间la,bl上连续，则 f(x)在a,b 1上一致连续。费马定理(定理5.3 ) 设函数f(x)在点xd的某领域内有定义，且在 点xo可导，若点X。为的极值点，则必有f(xo)=O。有界性定理

5、若函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,bi上有界，既存在常数m o,使得任意的a,bi有 | f (x)| f (a)。根据最 大最小值定理，f(x)在区间a,b 1中有最大值。因为f(a)=f(b)，所以函数f(x)一定是在区间a,b中某一点c达到最大值。因此f(x)在点c有极大值。由f(x)在点c可微的，根据费马定理可知 (c) =0图3.1.2(c),(d) 中，对于a,b中某些x,有f(x) V f(a)。根据最大最小值定理，f(x)在区间a,b】中有最小值。因为f(a) = f(b)，所以函 数f(x) 一定是在区间a,b中某一点c达到最小值。因此f(x)在点c有极 大

6、值。由f(x)在点c可微的，根据费马定理可知f (c)=03.2拉格朗日(Lagrange)中值定理的证明证法一：构造函数构造辅助函数F(x) = f (x) -kx.其中 k 二丄型. a b根据已知条件和连续函数的性质， 我们可以知道F(x)在闭区间l-a,b 1上是连续的，在开区间a,b内是可导的，并且还有F(a) = F(b)，所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数 F(x)在开区间a,b内至少存在一点三八、 使得F忙)=f 牡)k =0f牡)=k :f(a)-f(b) a - b证法二:行列式法构造辅助函数F(x)=f(a) f(b)a b1 1f (x)x1则F(x)=f(a)af

7、(b)b-f(a)af(x)x+f(b) bf(x)x=f (a)f(b)f(x)f (a)f (b)f(x)f (a)f(b)厂(x)Fr(x)=F abx+abx+abF x111111111bf (a) - af (b) -xf (a) af(x) xf (b) - bf (x)二 a - b f (x) - xf (a) - f (b) L：； bf (a) - af (b) 1a -b f (x)f (a) - f (b)丨。f (a)f(b)f (a)f(a)f(b)f(b)又由F(a)=aba=0， F(b)= abb=0111111由此可得F(x)在开区间a,b内可导。可得F(

8、a)二 F(b) =0 .f(a) - f(b)a,b使得f ()二 a-b f ( ) -f(a)-f(b)0 故 F ()证法三：积分法把需证之式变式f (b) 一 f (a) I 一 b 一 a f ( J = 0对应改写成f(b) f(a)L b -a f ( x) =0 (把 换成 x)证明上述方程在a,b内存在根，将上式左边对x积分，有f (b) - f (a) -：；.b -a f (x) dx=f (b) - f (a) x - b - a f (x) c 故取 F (x) f (b) - f (a) x - b - a f (x)，则F(x)在a,b 1上连续，在a,b内可导

9、且F(a) = F(b)二af (b) -bf (a)。由罗尔中值定理知，至少存在一点(a VV b ) 使 F(x) =0既 f(b) -f (a) L b -a f ( ) =03.3柯西(Cauchy)中值定理的证明证法一：构造函数构造辅助函数L(x) = f(x)kg(x)其中k(b)f(a)g(b)-g(a)根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道 L(x)在闭区间la,b 1上是连续的，在开区间a,b内是可导的，并且还有L(a)二L(b)，所以我 们可以根据罗尔定理就可以得到函数 L(x)在开区间a,b内至少存在一点 ,使得L)二f ( ) - kg)= 0 = k二丄故证得 g

10、(f(X)_ f(b) - f(a)g(x) g(b)-g(a)证法二：行列式法f(a) f(b) f(x)构造辅 助函数 G(x) = g(a) g(b) g(x) , 则1 1 1F(x)二f (a)g(a)f(b)g(b)f(a) f (x) + f (b)g(a) g(x) g(b)f(x) f(x)g(b)f(a)-g(a)f (b)-g(x)f(a) g(a)f(x) g(x)f(b)-g(b)f(x)二 g(a)-g(b) f (x) 一 g(x)f (a) - f (由此可得在闭区间a,b】上连f (a) f(b) f(x)f(a)fH(b)f(x)f(a)f(b)f(x)G(

11、x)=g (a) g(b) g(x)+g(a)g(b)g(x)+g(a)g(b)gx)1 1 111111T续f(b)g (x) -g(b)f (x) - f (a)g (x) g(a)f (x)g(a)-g(b) f (x) -f (a) - f (b) g (x)。可得G(a)=G(b)=0.综上所述，可知G(x)满足罗尔中值定理的条件,则至少存在一点：a,b使得G( ) = g(a) -g(b)】f ( ) - f (a) - f(b) g ( ) = 0 故牛二出 字 gC) g(b)-g(a)证法三：积分法把需证之式变式 f (b) - f (a) g ( ) - g(b) - g(

12、a) f ( ) = 0对应改写成f(b)-f (a)g(x) - g(b)-g(a)】f (x) =0 (把换成x)，证明上述方程在a,b内存在根，将上式左边对x积分，有 f If(b) f(a)g(x) E(b)g(a)f(x) dx =f(b) f(a) g(x) - g(b) -g(a) f (x) c故取 F(x)= f (b f(a) g(x) - g(b)-g(a) f(x)，贝S F(x)在 a,b 1 上连续，在 a,b内可导且F(a)二F(b)二g(a)f(b)-g(b)f(a)。由罗尔中值定理知，至 少存在一点.(a 0 )显然 y =x3在-a,a上连续，在-a,a 内

13、可导，f(x)=0。但是不存在p,q a,a , p V q使得f(p)二f(q)。 如果加强条件，下述定理成立：定理2设函数y = f(x)在闭区间bb】上连续，在开区间(a,b )内可导， 且导函数f(x)是严格单调函数，则在点a,b处有f(x)=0的充分必要条件是存在 p,q a,b , p V q使得f(p)二 f(q)。拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理结论中的点 x不是任意的；例：若函数f (x)在a, : ( a为任意实数)上可导，且limf(x)=c( c为常数)则lim f(x)=0这一命题正确吗？xjpc证明：设x为任意正数，有题设f(x)在闭区间l-x,2x 上连续，在开区

14、间而这时就不能由f ()趋于0推出limf(x) 了。不会成立。条件补充若函数f(x)在a, ( a为任意实数)上可导，且lim f (x)存在，若 lim f (x)二 c (常数)则 lim f (x)二 0 .柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理：设f(x)，g(x)在la,b上连续，在(a,b)内可微，且f ( ),g()严格单调，g(x) = 0则对于二ia,b , % V X2使得卄銖益成立。证明：对(a,b )，作辅助函数F(x)= f(x)-f(；)g(x)显然f(x)在 3C)丿a, b】上连续，在a, b内可微，并且由f (x) , g (x)严格单调知F (x)也严格单调。

15、由拉格朗日定理知，二i：a,b , 为E 0 )内至少存在一点三使f() = f)； 证：选取辅助函数F(x)二f(x)e，贝卩F(x)在在a,b】上连续，在a, b内 可导，F(a)二F(b)=0。由Rolle 定理知，至少存在一点 二a, b使F ()二 f ( )e- f( )e- f ( ) 一 f ()e； =0 e， 0 即f()一 f()=0 二 f ()二 f()。10 X -二在指定区间内是否存在x = 0, 1 1 1 f(x)=s in - cos x x x=0二f(0) 故f(x)在0丄上连续，且!兀0,1 i，f(0H f(1 H0 从而 f(x)在 0, I 上满

16、足罗尔定理的条件，即韭E f0,- 使 f徉)=0 ； J兀丿拉格朗日中值定理的应用 例1:设f (x)为a,b 1上二阶可导函数，f(a)二f(b) = 0，并存在8 a,b使得f c 0 ,试证：至少存在一点三ia,b使得fV 0 ;证：由f (x)为a,b 上二阶可导函数，则f(x)在a,bl, 0,d i上均二阶可 导。由Lagrange中值定理得 0 ,2 c,b使得f2)= f(b八f(c) V 0而f (x)在打，二a,b，同样推得 b c“ f 牡 2)_厂(3) cf = 122 V 0 ；-2 一 -1例2:应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： 口 v lnb V 口 其中

17、 0 V a V b 亠 V In Vx Vb a a 1 + xx 其中x 0证：设f(x)=lnx xa,bl显然f (x)在a,b 1上满足拉格朗日中值定理条件，且 f (x) 故- a,b 使 f(b)-f(a) = f()J x b a -b-a b - a b b - a 1 1=f (b) - f (a) |n b -1 n a In V V 故:a b ab - a b - a b - a有V V盲设f(x)=l n1，则f (x)在0, x 1上满足拉格朗日中值定理条件，0,xIn 1 x -In 1 0 _ In 1 xx -0 x xV In 1 x V x ;1 x例3

18、:求,0.97的近似值;x = X。 x = 0.97解： 0.97是f(x) x在x=0.97处的值，令 怡=1 贝则 3 二 x - x =0.97-1 二 一0.03由 Lagrange 中值定理，存在一点 ，0.97,1 f ( ) = f(1) - f (0.97)可 0.03F取1 近似计算得.0.97 ： 一1 X -0.03 =1 丄 -0.03 = 0.985 ；2柯西中值定理的应用例 1:设 0 V V 1 V ,证明：存在m 使得 sin sin 一 二 coD ；2 cos 卩-cosa证：设 f(x)=sinx g(x) =cosx 贝卩 f(x), g(x)在 la

19、,bl上满足柯西中值定理条件，故 使得 空 空 上二竺 cobco co 敦 g6) sinesin 二一sin :即 cot 二，：，：；cos ： -cos二例2:设函数f(x)在a,b 1上连续，在a,b上可导，试证：存在,a,b使得 f(b) - f (a)二 f ( )ln b ；a证：设g(x)=l nx显然它在a,b 1上与f (x) 一起满足柯西中值定理条件，所以存在：a,b使得f(b)-f(a)二斗整理后既得In b-1 na 丄Ef(b)-f(a) = f ( )lnb ；a例3：设x 0对0 V ： V 1的情况，求证X - ： x _ 1 - ：；证：当x =1时结论显然成立；当x = 1时，取x,11或1,x】，在该区间设f(x)二x： f(x)二dx 由 Cauchy 定理得 丄凶 . x,1 或F(X)-F(1) F 牡)xa_4 辰口 -11,x 即 1 ；当 x 1 时，；x,1 1 即 o(x -a a x -a1又x7 x -1 V 0 故 X-1 X - 即 x-1 V 1 -:;当 x 1 时:-11, x , : 4 V 1 即x = ： x -