2微分中值定理
2.1罗日（Rolle）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（i）f（x）在闭区间a,b】上连续。
（ii）f（x）在开区间a,b内可导。
（iii）f（a）二f（b）,则在a,b内至少存在一点,使得f（）=0
2.2拉格朗日（Lagrange）中值定理
若函数f（x）满足如下条件：
（i）f（x）在闭区间a,b1上连续。
（ii）f（x）在开区间a,b内可导，则在a,b内至少存在一点,使得「（）=f（a）-f（b）
a—b
注：
拉格朗日中值定理的结论称为拉格朗日公式，它有几种常用的等
价形式。
可根据不同问题的特点，在不同场合灵活选用：
1f（b）-f（a）二f（）b-a]--ia,b
2f（b）-f（a）=farb-ab-a0VY1
3f（ab）-f（a）二f（arh）h0V二V1
2.3柯西（Cauchy）中值定理
设函数f（x）和g（x）满足：
（i）在a,b1上都连续。
（ii）在a,b内都可导。
（iii）f（x）和g（x）不同时为零。
（iv）g（a）=g（b），则存在匚三ia,b使得亠小）"）。
gV）g（b）-g（a）
3.微分中值定理的证明
3.1罗日（Rolle）中值定理的证明
证法一：
根据条件在闭区间a,b】上连续和闭区间上连续函数的最大最小值定理，若函数f（x）在闭区间上连续，则函数f（x）在闭区间〔a,b1上能取到最小值m和最大值M.既在区间上存在两点x1和x2，使f（xj=m,f（x2）=M,且对任意xa,b有m一f（x）一M。
F面分两种情况讨论:
⑴如果m=M，则f（x）在a,b上是常数，所以对-xw[a,b有f（x^0,既a,b内任意一点都可以作为•，使「（）=0
⑵如果mVM，由条件f（a）二f（b）有f（x）在a,b1上两个端点a与b的函数值f（a）与f（b）不能同时一个取最大值一个取最小值，既在开区间
a,b内必定至少存在一点'，函数f（x）在点•取最大值或最小值，所以f（x）在点•必取局部极值，由费马定理，有「（）=0
证法二：
分三种情况讨论
⑴f（x）=k,（k是常数）图3.1.2（a）中「（X）=0,a,b中任何一点
都满足定理的要求。
⑵图3.1.2（b）,（c）中,对于a,b中某些x,有f（x）>f（a）。
根据最大最小值定理，f（x）在区间a,b1中有最大值。
因为f（a）=f（b），所以
函数f（x）一定是在区间a,b中某一点c达到最大值。
因此f（x）在点c有
极大值。
由f（x）在点c可微的，根据费马定理可知「（c）=0
⑶图3.1.2（c）,（d）中，对于a,b中某些x,有f（x）Vf（a）。
根据最大
最小值定理，f（x）在区间a,b】中有最小值。
因为f（a）=f（b），所以函数f（x）一定是在区间a,b中某一点c达到最小值。
因此f（x）在点c有极大值。
由f（x）在点c可微的，根据费马定理可知f（c）=0
3.2拉格朗日（Lagrange）中值定理的证明
证法一：
构造函数
构造辅助函数
F（x）=f（x）-kx.其中k二丄型.a—b
根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道F（x）在闭区间l-a,b1上
是连续的，在开区间a,b内是可导的，并且还有F（a）=F（b），所以我
们可以根据罗尔定理就可以得到函数F（x）在开区间a,b内至少存在
一点三
八、、」’
使得F忙）
=f牡）—k=0
—
f牡）
=k:
f（a）-f（b）
—■a-b
证法二:
行列式法
构造
辅
助
函
数
F（x）=
f（a）f（b）
ab
11
f（x）
x
1
则
F（x）
=
f（a）
a
f（b）
b
-
f（a）
a
f（x）
x
+
f（b）b
f（x）
x
=
f（a）
f（b）
f（x）
f（a）
f（b）
f（x）
f（a）
f（b）
厂（x）
Fr（x）=
Fa
b
x
+
a
b
x
+
a
b
Fx
1
1
1
1
1
1
1
1
1
bf（a）-af（b）-xf（a）af（x）xf（b）-bf（x）二a-bf（x）-x〔f（a）-f（b）L：
；'bf（a）-af（b）1
a-bf（x）「f（a）-f（b）丨。
f（a）
f（b）
f（a）
f（a）
f（b）
f（b）
又由F（a）=
a
b
a
=0，F（b）=
=a
b
b
=0
1
1
1
1
1
1
由此可得F（x）在开区间a,b内可导。
可得
F（a）二F（b）=0.
f（a）-f（b）
a,b使得
f（）二a-bf（）-〔f（a）-f（b）」0故F（）
证法三：
积分法
把需证之式变式f（b）一f（a）I一b一af（J=0对应改写成
〔f（b）—f（a）Lb-af（x）=0（把换成x）
证明上述方程在a,b内存在根，将上式左边对x积分，有
[f（b）-f（a）-：
；.b-af（x）]dx
=f（b）-f（a）x-b-af（x）c故取F（x）f（b）-f（a）x-b-af（x），则
F（x）在a,b1上连续，在a,b内可导且
F（a）=F（b）二af（b）-bf（a）。
由罗尔中值定理知，至少存在一点'（aV
Vb）使F（x）=0
既f（b）-f（a）Lb-af（）=0
3.3柯西（Cauchy）中值定理的证明
证法一：
构造函数
构造辅助函数L（x）=f（x）—kg（x）其中k」（b）—f（a）
g（b）-g（a）
根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道L（x）在闭区间la,b1上
是连续的，在开区间a,b内是可导的，并且还有L（a）二L（b），所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数L（x）在开区间a,b内至少存在
一点,使得L「）二f（）-kg「）=0=k二丄^故证得g（®
f（X）_f（b）-f（a）
g（x）g（b）-g（a）
证法二：
行列式法
f（a）f（b）f（x）
构造辅助函数G（x）=g（a）g（b）g（x）,则
111
F（x）二
f（a）
g（a）
f（b）
g（b）
f（a）f（x）+f（b）
g（a）g（x）g（b）
f（x）f（x）
g（b）f（a）-g（a）f（b）-g（x）f（a）g（a）f（x）g（x）f（b）-g（b）f（x）二g（a）-g（b）f（x）一g（x）〔f（a）-f（
由
此可得在
闭
区
间
a,b】
上
连
f（a）f（b）f（x）
f（a）
fH（b）
f（x）
f（a）
f（b）
f（x）
G（x）
=g（a）g（b）g（x）
+
g（a）
g（b）
g（x）
+
g（a）
g（b）
g\x）
111
1
1
1
1
1
T
续
f（b）g（x）-g（b）f（x）-f（a）g（x）g（a）f（x）
g（a）-g（b）f（x）-〔f（a）-f（b）g（x）。
可得G（a）=G（b）=0.综上所述，可知G（x）满足罗尔中值定理的条件,
则至少存在一点：
a,b使得
G（）=g（a）-g（b）】f（）-f（a）-f（b）g（）=0故牛二出字gC）g（b）-g（a）
证法三：
积分法
把需证之式变式f（b）-f（a）g（）-g（b）-g（a）f（）=0
对应改写成〔f（b）-f（a）g（x）-g（b）-g（a）】f（x）=0（把•换成x），证明上
述方程在a,b内存在根，将上式左边对x积分，有fIf（b）—f（a）g（x）—E（b）—g（a）f（x）dx=
f（b）—f（a）g（x）-g（b）-g（a）f（x）c
故取F（x）=f（b^f（a）g（x）-g（b）-g（a）f（x），贝SF（x）在>a,b1上连续，在a,b内可导且F（a）二F（b）二g（a）f（b）-g（b）f（a）。
由罗尔中值定理知，至少存在一点.（a<〔f（b）-f（a）b（）-lg（b）-g（a）f（）=0;
通过以上证明可知，“积分法”的关键步聚也是构造辅助函数，其基础方法是：
⑴将需证之式整理，使等式右边为零，左边的•改写成x；⑵对等式左边关于x积分；⑶对应积分值写成F（x）；这种方法最大优点在于其规律性，不需要过多的考虑步聚。
而只需根据规律就可步步得出证明，已掌握和运用。
4.微分中值定理的几何解释
在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等,
则至少存在一条水平切线。
（图4-1）尸八
*占
图4-1
在满足定理条件的曲线y二f（x）上至少存在一点p（',f（））设曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB（图4-2）
4.3柯西（Cauchy）中值定理的几何解释
aVxVb）存在一点，使曲线过该点
在曲线x・（x）（其中x为参数,y=g（x）
的切线平行于过曲线两端点
Af（a）,g（a）,Bg（a）,g（b）的弦
图4-3
综上所述，这三个中值定理归纳起来，用几何解释为：
在区间〔a,b1上
连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线，它们有个共同的特征y二f（x）在曲线上至少存在一点，过该点的切线平行于曲线端点的连线。
5•微分中值定理之间的关系及其深层阐述
5.1微分中值定理之间的关系
从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系，利用推广和
收缩的观点来看这三个定理。
在拉格朗日中值定理中，如果f（a）=f（b）则变成罗尔中值定理。
在柯西中值定理中，如果F（x）=x则变成拉格
朗日中值定理。
因此，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。
反之，拉格朗日中值定理是
柯西中值定理的特例，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。
总
的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。
从上面的讨论中可以总结得到，罗尔中值定理是这一块内容的基石，而拉格朗
日中值定理则是这一块内容的核心，柯西中值定理则是这一块内容的推广应用。
5.2微分中值定理的深层阐述
⑴罗尔中值定理
1罗尔中值定理结论：
符合罗尔中值定理条件的函数在开区间（a,b）内必存在最大值或最小值；在开区间a,b内使f（x）=0的点不一定是极值点；
3
例如：
函数f（x^—5-3X在闭区间1-1,2］上满足罗尔定理的三个条件，
4
由f（x）=3x25-x显然x=0有f（xH0。
但x=0不是f（x）的极值点。
\.4丿
如果加强条件，可得如下定理：
定理i如函数在闭区间a,b】上满足罗尔中值定理的三个条件，且在开区间a,b内只有唯一的一个点使f（x^0成立，则点x必是f（x）的极值点。
完全按照罗尔中值定理的证法，即可证得使「（x）=0成立的唯
一一一点x就是f（x）在a,b内的最值点，当然是极值点。
2逆命题不成立
罗尔中值定理的逆命题：
设函数y二f（x）在闭区间a,b】上连续，在开区间a,b内可导。
若在点x在a,b处有f（x）=0，则存在p,q•［a,b］使得f（pHf（q）；
例如：
函数y=x3,x•[―a,a]（a>0）显然y=x3在[-a,a]上连续，在-a,a内可导，f（x）=0。
但是不存在p,q・[―a,a],pVq使得f（p）二f（q）。
如果加强条件，下述定理成立：
定理2设函数y=f（x）在闭区间bb】上连续，在开区间（a,b）内可导，且导函数f（x）是严格单调函数，则在点
a,b处有f（x）=0的充分必要条件是存在p,q・[a,b],pVq使得
f（p）二f（q）。
⑵拉格朗日中值定理
①拉格朗日中值定理结论中的点x不是任意的；
例：
若函数f（x）在a,•:
:
（a为任意实数）上可导，且limf（x）=c（c
为常数）则limf（x）=0这一命题正确吗？
x—jpc
证明：
设x为任意正数，有题设f（x）在闭区间l-x,2x]上连续，在开区间
而这时就不能由f（）趋于0推出limf（x）"了。
不会成立。
②条件补充
若函数f（x）在a,（a为任意实数）上可导，且limf（x）存
在，若limf（x）二c（常数）则limf（x）二0.
⑶柯西中值定理
柯西中值定理的弱逆定理：
设f（x），g（x）在la,b］上连续，在（a,b）内可
微，且f（）,g（）严格单调，g（x）=0则对于「二ia,b,%V得卄銖益成立。
证明：
对（a,b），作辅助函数F（x）=f（x）-f（；）g（x）显然f（x）在3C）丿
a,b】上连续，在a,b内可微，并且由f（x）,g（x）严格单调知F（x）也严
格单调。
由拉格朗日定理知，「二i：
a,b,为F（X2）-F（xJ二F（）X2-花成立。
而F（）=f（）
f（）=f（X2）-f（xjg（）g（x2）-g（xj
6.微分中值定理的应用
三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性，等式证明，不等式证明，
求近似值等；以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用。
⑴罗尔中值定理的应用
例1:
设a^Ri=1,2,3……n且满足a°鱼电……--an0。
证明：
方
23n+1
程a。
c^xa2X2……-anXn=0在0,1内至少有一个实根。
证：
作辅助函数F（x）二a°x且x2•电x3•……•旦xn1则F（0）=0,
23n+1
F
（1）=a°•1•2……n=0,F（x）在0,1〕上连续，在0,1内可导，故
23n+1
满足罗尔中值定理条件。
因此存在：
0,1，使「（）=0又F（x）=氏a1xa2x2……-anXn=0由此即知原方程在0,1内至少有一个实根。
例2:
设函数f（x）在la,b1上连续，在a,b内可导，且f（a）=f（b）=0。
试证：
在a,bl（a>0）内至少存在一点三使f（）=f「）；证：
选取辅助函数F（x）二f（x）e」，贝卩F（x）在在a,b】上连续，在a,b内可导，F（a）二F（b）=0。
由Rolle定理知，至少存在一点二［a,b使
F（）二f（）e「-f（）e「-f（）一f（）e」；=0e，>0即
f（）一f（）=0二f（）二f（）。
1
0X-二在指定区间内是否存在
x=0
111f（x）=sin-cosxxx
=0二f（0）故f（x）在0丄上连续，且
!
兀」
0,1i，f（0Hf（1H0从而f（x）在\0,~I上满
足罗尔定理的条件，即韭Ef0,-使f徉）=0；J兀丿
⑵拉格朗日中值定理的应用例1:
设f（x）为a,b1上二阶可导函数，f（a）二f（b）=0，并存在8a,b使
得fc>0,试证：
至少存在一点］三ia,b使得f…V0;
证：
由f（x）为a,b上二阶可导函数，则f（x）在'a,bl,0,di上均二阶可导。
由Lagrange中值定理得0,
2c,b使得f「2）=f（b八f（c）V0而f（x）在打，｛二〔a,b，同样推得b—c
“f牡2）_厂（3）c
f=—122V0；
-2一-1
例2:
应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
⑴口vlnbV口其中0VaVb⑵亠VInVxV
baa1+x
x其中x>0
证：
⑴设f（x）=lnxx・a,bl显然f（x）在a,b1上满足拉格朗日中值定
理条件，且f（x）」故-a,b使f（b）-f（a）=f（）Jxb—a-
b-ab-abb-a11
=f（b）-■f（a）|nb-1naInV—V—故:
aba
b-ab-ab-a
有〒V—V盲"
⑵设f（x）=ln1，则f（x）在0,x1上满足拉格朗日中值定理条件，
0,x
In1x[-In10_In1x
x-0x
——x
VIn1xVx;
1x
例3:
求,0.97的近似值;
x=X。
x=0.97
解：
0.97是f（x）—x在x=0.97处的值，令怡=1贝则3二x-x=0.97-1二一0.03
由Lagrange中值定理，存在一点，〔0.97,1f（）=f
（1）-f（0.97）可0.03
F
取'1近似计算得.0.97：
一1•X•-0.03=1丄•-0.03=0.985；
2
⑶柯西中值定理的应用
例1:
设0VV1V—,证明：
存在〔m使得sin〔—sin一二coD；
2cos卩-cosa
证：
设f（x）=sinxg（x）=cosx贝卩f（x）,g（x）在la,bl上满足柯西
中值定理条件，故使得空空上二竺cob
coco敦g\6）—sine
sin二一sin:
即cot二，"：
•，：
；
cos：
-cos二
例2:
设函数f（x）在a,b1上连续，在a,b上可导，试证：
存在,[a,b
使得f（b）-f（a）二f（）lnb；
a
证：
设g（x）=lnx显然它在a,b1上与f（x）一起满足柯西中值定理条件，
所以存在：
a,b使得f（b）-f（a）二斗整理后既得
Inb-1na丄
E
f（b）-f（a）=f（）lnb；
a
例3：
设x>0对0V：
V1的情况，求证X’-：
x_1-：
；
证：
当x=1时结论显然成立；当x=1时，取〔x,11或1,x】，在该区间设
f（x）二x：
f（x）二dx由Cauchy定理得丄凶⑷.x,1或
F（X）-F
（1）F牡）
xa_4辰口」^-1
1,x即1；当x>1时，；x,1―>1即>
o（x-aa«x-a
1
又〉x「7x-1V0故X〉-1>〉X-〉即x〉-1V1-:
;当x>1时
:
-11,x,■:
4V1即〉x—〉=：
x-
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