高中数学数列知识点总结精华版.docx

1、高中数学数列知识点总结精华版.一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列在数列中同一个数可以重复出现项an与项数n是两个根本不同的概念数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列an的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即af(n)n.3.递推公式：如果已知数列an的第一项（或前

2、几项），且任何一项an与它的前一项a（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即anf(an1)或anf(an1,an2)，n1那么这个式子叫做数列a的递推公式.如数列an中，a11,an2an1，其中nan2an1是数列an的递推公式.4.数列的前n项和与通项的公式Sna1a2a；nS(n1)1an.SS(n2)nn15.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.递增数列:对于任何nN,均有an1an.递减数列:对于任何nN,均有an1an.摆动数列:例如:1,1,1,1,1,.常数数列:例

3、如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数M使anM,nN.无界数列:对于任何正数M,总有项a使得anM.n1、已知n*a2(nN)nn156，则在数列a的最大项为_（答：n125）；2、数列a的通项为nanan，其中a,b均为正数，则an与an1的大小关系为_（答：bn1aan1）；n23、已知数列a中，a是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；ann，且nnn4、一给定函数yf(x)的图象在下列图中，并且对任意a(0,1)，由关系式an1f(an)1*得到的数列a满足an1an(nN)，则该函数的图象是（）（答：A）neord完美格式.二、等差数列1、等差数列的定义：如果数列an从第二项起每

4、一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即ann且.(或an1and(nN*).1d(nN*,n2)a2、（1）等差数列的判断方法：定义法：an1and(常数)an为等差数列。中项法：2an1anan2an为等差数列。通项公式法：ananb（a,b为常数）an为等差数列。2（A,B为常数）an为等差数列。前n项和公式法：snAnBn如设a是等差数列，求证：以bn=na1a2annnN*为通项公式的数列b为n等差数列。（2）等差数列的通项：aand或anam(nm)d。公式变形为:ananb.n1(1)其中a=d,b=a1d.如1、等差数列a中，a

5、1030，a2050，则通项an（答：2n10）；n2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：83d3）n(aa)n(n1)（3）等差数列的前n和：1nS，Sna1d。公式变形为：nn22sn2AnBnd，其中A=2d1,an,sa.注意：已知n,d,a，B=n中的三者可以求12另两者，即所谓的“知三求二”。如数列a中，n1*aa(n2,nN)，nn123a，前n项和n215S，则n2a，n（答：a13，n10）；（2）已知数列a的前n项和1n2S12nn，n求数列|a|的前n项和Tn（答：nTn2*12nn(n6,nN)2*n12n72(n6,nN)）.e

6、ord完美格式.（4）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且abA。2提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a、d、n、an及1S，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，n即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，a2d,ad,a,ad,a2d（公差为d）；偶数个数成等差，可设为，a3d,ad,ad,a3d,（公差为2d）7.等差数列的性质：（1）当公差d0时，等差数列的通项公式aanddnad是关于n的一n1(1)1次函数，且斜率为公差d；前n和n(n1)dd2Snadn

7、(a)n是关于n的二次n11222函数且常数项为0.等差数列an中，SnnSnn是n的一次函数，且点（n，）均在直线y=d2xd+(a12)上（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。（3）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当mnpq时,则有amaaa，特别地，当mn2p时，则有npqaa2a.mnp如1、等差数列a中，Sn18,anan1an23,S31，则n_（答：27）；n2、在等差数列a中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n项和，则A、nS1,S2S10都小于0，S11,S12都大

8、于0B、S1,S2S19都小于0，S20,S21都大于0C、S1,S2S5都小于0，S6,S7都大于0D、S1,S2S20都小于0，S21,S22都大于0（答：B）(4)项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak,km,km,.(,*)成等差.若aa2kmN*an、bn是等差数列，则kan、kanpbn(k、p是非零常数)、apnq(p,qN)、2），也成等差数列，而aS,SS,SS（公差为nda成等比数列；若an是nn2nn3n2neord完美格式.等比数列，且0a，则lgan是等差数列.n如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。（答：225）（5）在等差数列a中，

9、当项数为偶数2n时，s()；ssndn奇nn1s1偶ans奇an.项数为奇数2n1时，s2n1(2n1)an；ssa1偶；奇s1偶ns奇n。如1、在等差数列中，S1122，则a6_（答：2）；2、项数为奇数的等差数列a中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的n中间项与项数（答：5；31）.（6）单调性：设d为等差数列an的公差，则d0an是递增数列；d0an是递减数列；d=0an是常数数列A(7)若等差数列a、bn的前n和分别为An、Bn，且()nfnnBn，则a(2n1)aAnn2n1b(2n1)bBnn2n1f(2n1).如设a与bn是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若

10、nS3n1n，那么T4n3nanbn_（答：62n8n7）（8）设al，am，an为等差数列中的三项，且al与am，am与an的项距差之比lmmn=（1），则am=alan1（9）在等差数列an中，Sn=a，Sm=b(nm)，则Smn=nnmm(ab)8、已知an成等差数列，求sn的最值问题：若a0,d0且满足1aan,则sn最小.0,0n1“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组anan0an或0a1n100确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次

11、函数的最值，但要注意数列的特殊性*nN。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如1、等差数列a中，na125，SS，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。917（答：前13项和最大，最大值为169）；2、若a是等差数列，首项na10,a2003a20040，a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是（答：4006）(10)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究ab.nmeord完美格式.三、等比

12、数列1、等比数列的有关概念：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常an（或数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即(*,2)qNnnan1anan1qn)(*Na为常数），其中q0,an0或2、等比数列的判断方法：定义法n1(qqanaan1naann1(n2)。如1、一个等比数列a共有2n1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an1n为_（答：56）；2、数列a中，Sn=4an1+1(n2)且a1=1，若bnan12an，求证：数列bnn是等比数列。3、等比数列的通项：1naaq或n1nmaaq。nm如设等比数列a中，a1an66，a2an112

13、8，前n项和Sn126，求n和公比nq.（答：n6，1q或2）24、等比数列的前n和：当q1时，Sna；当q1时，n1Snnaq1(1)1qaaq1n1q。如等比数列中，q2，S99=77，求a3aa（答：44）699提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q1和q1两种情形讨论求解。5、等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab.提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数a,b(ab)的等差

14、中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为_（答：AB）eord完美格式.提醒：（1）等比数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：a、q、n、an1及S，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2n个，即知3求2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，aa22,a,aq,aqqq（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为aa3,aq,aqqq3，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个

15、数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）6、等比数列的性质：（1）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当mnpq时，则有am.anap.aq，特别地，当mn2p时，则有2am.anap.如1、在等比数列a中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，则a10=_（答：n512）；2、各项均为正数的等比数列a中，若na5a69，则logalogaloga3132310（答：10）。(2)若an是公比为q的等比数列，则|an|、a2n、kan、1an也是等比数列，其公比分别为|q|、q2、q、1qan。若a、b成等比数列，则anbn、nnbn成等

16、比数列；若a是等比数列，且公比q1，则数列Sn,S2nSn,S3nS2n，也n是等比数列。当q1，且n为偶数时，数列S,SS,SS，是常数数列0，n2nn3n2n它不是等比数列.若an是等比数列，且各项均为正数，则logaan成等差数列。若项数为3n的等比数列(q1)前n项和与前n项积分别为S1与T1，次n项和与次n项积分别为S2与T2，最后n项和与n项积分别为S3与T3，则S1，S2，S3成等比数列，T1，T2，T3亦成等比数列如1、已知a0且a1，设数列x满足nlogaxn1loaxgn(nN*)，且1eord完美格式.x1x2x100100，则xxx.（答：101102200100100

17、a）；2、在等比数列a中，Sn为其前n项和，若S3013S10,S10S30140，则S20n的值为_（答：40）(3)单调性：若a10,q1，或a10,0q1则an为递增数列；若a10,q1,或a10,0q1则an为递减数列；若q0，则an为摆动数列；若q1，则an为常数列.aa1n1n，这里ab0，但a0,b0，(4)当q1时，aqbSqn11qq这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据S，判断数列an是否为等比数nn列。如若a是等比数列，且S3r，则r（答：1）nn(5)mnSSqSSqS.如设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，mnmnnm若SSS成等差数列，则q的值为_

18、（答：2）1,2SSS成等差数列，则q的值为_（答：2）nnn(6)在等比数列a中，当项数为偶数2n时，S偶qS奇；项数为奇数2n1时，nS奇aqS偶.1(7)如果数列a既成等差数列又成等比数列，那么数列an是非零常数数列，故常数n数列a仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。n如设数列an的前n项和为Sn（nN），关于数列an有下列三个命题：若2，an(，则an既是等差数列又是等比数列；若Snanbna、bRa1nN)n则an是等差数列；若nS11，则an是等比数列。这些命题中，真命题的序号n是（答：）等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qm=S

19、m+qnSmSn；eord完美格式.四、难点突破1并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一已知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的2等差(比)数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差(比)等于同一个常数”这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项所以，一个数列是等差(比)数列的必要非充分条件是这个数列至少含有3项3数列的表示方法应注意的两个问题：an与an是不同的，前者表示数列a1，a2，an，而后者仅表示这个数列的第n项；数列a1，a2，an，与集合a1，a2，an，不同

20、，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性4注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq2，aq1，a，aq，2aq，；313对连续偶数个项同号的等比数列，若已知其积为S，则通常设，aq，aq，aq，aq，5一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，要注意an0，因为当an=0时，虽有a2n=an1an1成立，但an不是等比数列，即“b2=ac”是a、b、c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列an，“2b=a+c”是

21、a、b、c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清6由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，首先要注意特殊情况“0”等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q=1和q1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错欢迎您的光临，Word文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！2、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛几倍的人依然比你努力。eord完美格式