高中数学数列知识点总结精华版.docx
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高中数学数列知识点总结精华版
..
一、数列
1.数列的定义：
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规
律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．
⑶项an与项数n是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从小到大依
次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列
2.通项公式：
如果数列an的第n项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫
做这个数列的通项公式，即af（n）
n.
3.递推公式：
如果已知数列an的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项
a（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即anf（an1）或anf（an1,an2），
n1
那么这个式子叫做数列
a的递推公式.如数列an中，a11,an2an1，其中
n
an2an1是数列an的递推公式.
4.数列的前n项和与通项的公式
①
Sna1a2a；②
n
S（n1）
1
an.
SS（n2）
nn1
5.数列的表示方法：
解析法、图像法、列举法、递推法.
6.数列的分类：
有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；
有界数列，无界数列.
①递增数列:
对于任何nN,均有an1an.
②递减数列:
对于任何nN,均有an1an.
③摆动数列:
例如:
1,1,1,1,1,.
④常数数列:
例如:
6,6,6,6,⋯⋯.
⑤有界数列:
存在正数M使anM,nN.
⑥无界数列:
对于任何正数M,总有项
a使得anM.
n
1、已知
n
*
a2（nN）
n
n156
，则在数列{}
a的最大项为__（答：
n
1
25
）；
2、数列{}
a的通项为
n
an
an，其中a,b均为正数，则an与an1的大小关系为___（答：
bn1
aan1）；
n
2
3、已知数列{a}中，a是递增数列，求实数的取值范围（答：
3）；
ann，且{}nnn
4、一给定函数yf（x）的图象在下列图中，并且对任意a（0,1），由关系式an1f（an）
1
*得到的数列{}
a满足an1an（nN），则该函数的图象是（）（答：
A）
n
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..
二、等差数列
1、等差数列的定义：
如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即
ann且.（或an1and（nN*））.
1d（nN*,n
2）
a
2、
（1）等差数列的判断方法：
①定义法：
an1and（常数）an为等差数列。
②中项法：
2an1anan2an为等差数列。
③通项公式法：
ananb（a,b为常数）an为等差数列。
2（A,B为常数）an为等差数列。
④前n项和公式法：
snAnBn
如设{a}是等差数列，求证：
以b
n=
n
a1a2an
n
nN*为通项公式的数列{b}为
n
等差数列。
（2）等差数列的通项：
aand或anam（nm）d。
公式变形为:
ananb.
n
1
（1）
其中a=d,b=a1－d.
如1、等差数列{a}中，a1030，a2050，则通项an（答：
2n10）；
n
2、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______
（答：
8
3
d3）
n（aa）n（n1）
（3）等差数列的前n和：
1
n
S，Sna1d。
公式变形为：
nn
22
sn
2
An
Bn
d
，其中A=2
d
1,an,s
a.注意：
已知n,d,a
，B=
n中的三者可以求
1
2
另两者，即所谓的“知三求二”。
如数列{a}中，
n
1
*
aa（n2,nN），
nn1
2
3
a，前n项和
n
2
15
S，则
n
2
a＝＿，n＝＿（答：
a13，n10）；
（2）已知数列{}
a的前n项和
1n
2
S12nn，
n
求数列{|a|}的前n项和Tn（答：
n
T
n
2*
12nn（n6,nN）
2*
n12n72（n6,nN）
）.
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..
（4）等差中项：
若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且
ab
A。
2
提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：
a、d、n、an及
1
S，其中a1、d称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，
n
即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为⋯，
a2d,ad,a,ad,a2d⋯（公差为d）；偶数个数成等差，可设为⋯，
a3d,ad,ad,a3d,⋯（公差为2d）
7.等差数列的性质：
（1）当公差d0时，等差数列的通项公式
aanddnad是关于n的一
n
1
（1）1
次函数，且斜率为公差d；前n和
n（n1）dd
2
Snadn（a）n是关于n的二次
n11
222
函数且常数项为0.等差数列{an}中，
Sn
n
Sn
n
是n的一次函数，且点（n，
）均在直线y=
d
2
x
d
+（a1－
2
）上
（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差
d0，则为常数列。
（3）对称性：
若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之
和.当mnpq时,则有
amaaa，特别地，当mn2p时，则有
npq
aa2a.
mnp
如1、等差数列{a}中，Sn18,anan1an23,S31，则n＝____（答：
27）；
n
2、在等差数列
a中，a100,a110，且a11|a10|，Sn是其前n项和，则A、
n
S1,S2S10都小于0，S11,S12都大于0B、S1,S2S19都小于0，S20,S21都大于
0C、
S1,S2S5都小于0，S6,S7都大于0D、S1,S2S20都小于0，S21,S22
都大于0（答：
B）
（4）项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak,km,km,...（,*）成等差.若
aa2kmN
*
{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn}（k、p是非零常数）、{apnq}（p,qN）、
2）．，⋯也成等差数列，而{a}
S,SS,SS（公差为nda成等比数列；若{an}是
n
n2nn3n2n
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等比数列，且0
a，则{lgan}是等差数列.
n
如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。
（答：
225）
（5）在等差数列{a}中，当项数为偶数2n时，s（）；ssnd
n
奇
nn
1
s1
偶
a
n
s
奇
a
n
.
项数为奇数2n1时，s2n1（2n1）an；ssa1
偶；
奇
s1
偶
n
s
奇
n
。
如1、在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：
2）；
2、项数为奇数的等差数列{a}中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的
n
中间项与项数（答：
5；31）.
（6）单调性：
设d为等差数列an的公差，则
d>0an是递增数列；d<0an是递减数列；d=0an是常数数列
A
（7）若等差数列{a}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且（）
n
fn
n
B
n
，则
a（2n1）aA
nn2n1
b（2n1）bB
nn2n1
f（2n1）
.
如设{
a}与{bn}是两个等差数列，它们的前n项和分别为Sn和Tn，若
n
S3n1
n，那么
T4n3
n
a
n
b
n
___________（答：
62
n
8n7
）
（8）设al，am，an为等差数列中的三项，且al与am，am与an的项距差之比
l
m
m
n
=
（≠－1），则am=
ala
n
1
．
（9）在等差数列{a
n}中，Sn=a，Sm=b（n＞m），则Smn=
n
n
m
m
（a－b）．
8、已知an成等差数列，求sn的最值问题：
①若a0,d<0且满足
1
a
a
0,
n,则sn最大；
0
n1
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..
②若a0,d>0且满足
1
a
a
n,则sn最小.
0,
0
n1
“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等
差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。
法一：
由不等式组
a
n
a
n
0a
n
或
0a
1n
1
0
0
确定出前多少项为非负（或非正）；法二：
因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转
化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性
*
nN。
上述两种方法是运用了哪种数学
思想？
（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如1、等差数列{a}中，
n
a125，
SS，问此数列前多少项和最大？
并求此最大值。
917
（答：
前13项和最大，最大值为169）；
2、若{a}是等差数列，首项
n
a10,a2003a20040，
a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是（答：
4006）
（10）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：
公共项仅是公共的项，其项
数不一定相同，即研究
ab.
nm
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..
三、等比数列
1、等比数列的有关概念：
如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常
a
n（或
数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。
即（*,2）
qN
nn
a
n1
a
n
a
n
1
qn）
（*
N
a
为常数），其中q0,an0或
2、等比数列的判断方法：
定义法n1（
qq
a
n
aa
n1n
aa
nn
1
（n2）。
如1、一个等比数列{
a}共有2n1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an1
n
为____（答：
5
6
）；
2、数列{}
a中，Sn=4an1+1（n2）且a1=1，若bnan12an，求证：
数列｛bn｝
n
是等比数列。
3、等比数列的通项：
1
n
aaq或
n1
nm
aaq。
nm
如设等比数列{}
a中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn＝126，求n和公比
n
q.（答：
n6，
1
q或2）
2
4、等比数列的前n和：
当q1时，
Sna；当q1时，
n1
S
n
n
aq
1
（1）
1q
aaq
1n
1q
。
如等比数列中，q＝2，S
99=77，求
a3aa（答：
44）
699
提醒：
等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断
公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对
q分q1和q1两种情形讨论求解。
5、等比中项：
如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=ab.
提醒：
不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。
如已知两个正数a,b（ab）的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为
______（答：
A＞B）
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..
提醒：
（1）等比数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5个元素：
a、q、n、an
1
及
S，其中a1、q称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2
n
个，即知3求2；
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为⋯，
aa
2
2,,a,aq,aq
qq
⋯（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为⋯
aa
3,,aq,aq
qq
3
，⋯，
因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为
2
q。
如有四个数，其中前三
个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三
个数的和为12，求此四个数。
（答：
15，,9，3,1或0,4，8,16）
6、等比数列的性质：
（1）对称性：
若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.
即当mnpq时，则有am.anap.aq，特别地，当mn2p时，则有
2
am.anap.
如1、在等比数列{}
a中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，则a10=___（答：
n
512）；
2、各项均为正数的等比数列{a}中，若
n
a5a69，则
logalogaloga
3132310
（答：
10）。
（2）若{an}是公比为q的等比数列，则{|an|}、{a
2
n}、{kan}、{
1
a
n
}也是等比数
列，其公比分别为|q|}、{q
2}、{q}、{
1
q
a
n
}。
若{}{}
a、b成等比数列，则{anbn}、{}
nn
b
n
成等比数列；若{}
a是等比数列，且公比q1，则数列Sn,S2nSn,S3nS2n，⋯也
n
是等比数列。
当q1，且n为偶数时，数列
S,SS,SS，⋯是常数数列0，
n2nn3n2n
它不是等比数列.若an是等比数列，且各项均为正数，则logaan成等差数列。
若项数
为3n的等比数列（q≠－1）前n项和与前n项积分别为S1与T1，次n项和与次n项积分别
为S
2与T2，最后n项和与n项积分别为S3与T3，则S1，S2，S3成等比数列，T1，T2，
T3亦成等比数列
如1、已知a0且a1，设数列{x}满足
n
logaxn1loaxgn（nN*），且
1
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..
x1x2x100100，则
xxx.（答：
101102200
100
100a）；
2、在等比数列{}
a中，Sn为其前n项和，若S3013S10,S10S30140，则S20
n
的值为______（答：
40）
（3）单调性：
若
a10,q1，或a10,0q1则{an}为递增数列；若a10,q1,
或
a10,0q1则{an}为递减数列；若q0，则{an}为摆动数列；若q1，则{an}为
常数列.
aa
1n1n，这里ab0，但a0,b0，
（4）当q1时，aqb
Sq
n11
qq
这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据
S，判断数列{an}是否为等比数
n
n
列。
如若{a}是等比数列，且S3r，则r＝（答：
－1）
nn
（5）
mn
SSqSSqS.如设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，
mnmnnm
若
SSS成等差数列，则q的值为_____（答：
－2）
1,,2SSS成等差数列，则q的值为_____（答：
－2）
nnn
（6）在等比数列{a}中，当项数为偶数2n时，S偶qS奇；项数为奇数2n1时，
n
S奇aqS偶.
1
（7）如果数列{}
a既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数
n
数列{a}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
n
如设数列an的前n项和为Sn（nN），关于数列an有下列三个命题：
①若
2，
an（，则an既是等差数列又是等比数列；②若Snanbna、bR
a1nN
）n
则an是等差数列；③若
n
S11，则an是等比数列。
这些命题中，真命题的序号
n
是（答：
②③）
⑧等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中，Sm+n=Sn+qm=Sm+q
nSmS
n；
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..
四、难点突破
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已
知一个数列的前几项，这个数列的通项公式更不是唯一的．
2．等差（比）数列的定义中有两个要点：
一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项
的差（比）等于同一个常数”．这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存
在，而“同一个常数”则是保证至少含有3项．所以，一个数列是等差（比）数列的必要非充
分条件是这个数列至少含有3项．
3．数列的表示方法应注意的两个问题：
⑴{a
n}与an是不同的，前者表示数列a1，
a2，⋯，an，⋯，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a1，a2，⋯，an，⋯，与集
合{a
1，a2，⋯，an，⋯，}不同，差别有两点：
数列是一列有序排布的数，而集合是一
个有确定范围的整体；数列的项有明确的顺序性，而集合的元素间没有顺序性．
4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设⋯，aq
2，aq1，a，aq，
2
aq
，⋯；
313
⑵对连续偶数个项同号．．的等比数列，若已知其积为S，则通常设⋯，aq
，aq，aq，aq
，⋯．
5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，
要注意a
n≠0，因为当an=0时，虽有a
2
n=an1·an1成立，但{an}不是等比数列，即
“b
2=a·c”是a、b、c成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a
n}，“2b=a+
c”是a、b、c成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，
首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项和公式蕴含着分类讨论思想，需分分q=1
和q≠1进行分类讨论，在具体运用公式时，常常因考虑不周而出错．
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赠语；1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！
2、现在你不玩命的学，以后命玩你。
、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。
、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。
、什么时候离光明最近？
那就是你觉得黑暗太黑的时候。
、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。
、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。
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