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1、金融工程计算题练习金融工程计算题练习计算题练习1、某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票当前市价为30元，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约（交割价为远期价格）空头，交易单位为100。请问：（1）当前时点该股票的远期价格是多少？合约初始价值为多少？（2）3个月后，若该股票价格涨至35元，若利率期限结构没变，此时，远期价格是多少？合约对该投资者的价值是多少？2、2012年5月22日，市场中美国和欧元的利率和即期汇率数据如下表所示，若欧元远期汇率为1 EUR=1.2750 USD，判断是否存在套利机会？如果存在套利机会，该如何进行套利操

2、作？年后所获套利利润是多少？（不考虑交易成本）Currencies1年期市场无风险利率（连续复利）即期汇率EUR1.25%1.2683 USD /EURUSD1.00%3、假设在一笔互换合约中，某一金融机构每半年支付6个月期的LIBOR，收取固定利率，互换的期限1.5年。已知6个月、12个月和18个月的LIBOR（连续复利利率）分别为10%、11%和12%。试确定此互换中固定利率的合理水平。4、公司A和B可按以下利率借入期限为5年的1000万美元：固定利率浮动利率公司A公司B12.0%13.4%LIBOR0.1%LIBOR0.6%公司A想获得浮动利率贷款；公司B想获得固定利率贷款。请设计一个互

3、换，一家银行作为中介，净收益为年率0.1%，并且使得该互换对A和B双方都同样有吸引力。5、执行价格为30元的3个月期某股票欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3元和1元。标的股票价格为31元，3个月期的无风险利率为10%（连续复利），问：是否存在套利机会？若存在套利机会，该如何进行套利操作？3个月后的套利利润是多少？（不考虑交易摩擦）6、2012年5月20日，美元6个月期与1年期的无风险年利率（连续复利）分别为4%与6%。市场上一种10年期国债现金价格为1000美元，该证券一年期远期合约的交割价格为900美元，该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之

4、前，求该合约多头及空头的价值各为多少？7、美元和英镑的1年期连续复利分别为3.92%和6.77%，英镑的现货汇率为1.60美元，1年期的英镑远期价格为1.58美元，问是否存在套利机会？如果存在，如何套利？利润是多少？8、A公司和B公司均需要在市场上进行10年期500万美元的投资，且A公司希望以固定利率投资，B公司希望以浮动利率投资。两个公司可获得的投资收益如下：以固定利率投资A公司可获利率8.0%，B公司可获利率8.8%；以浮动利率投资均获得LIBOR。试设计一利率互换，其中银行作为中介获得利差0.2%的报酬，而两个公司获相同收益。9、标的股票现价为24美元， 2个月和5个月后每股将分别派发0

5、.5美元红利。现有执行价格均为25美元，6个月后到期的欧式看涨期权和欧式看跌期权，售价都为2美元。设无风险年利率为10%（连续复利）。问是否存在套利机会？若有，请构造套利组合。10、2012年5月25日，GE的股票报价19.25美元，其在CBOE交易的执行价格16美元，2012年7月15日到期的该股票Call Option报价3.25美元；执行价格21美元，同一到期日的Call Option报价0.12美元。假设CBOE交易的该股票期权为欧式期权，请问：（1）利用上述期权如何构造出Bull Spread？（2）列出该组合的profit状况。11、2011年6月2日，Coca-Cola Comp

6、any股票报价66.76美元，其在ISE交易的2011年11月18日到期（距离到期日还有169天，1年按365天计），执行价格为70美元的该股票Call Option售价为1.16美元，Put Option售价为5.15美元，无风险年利率为0.25%（连续复利）。假设ISE交易的该股票期权为欧式期权，期间无红利支付，请问：（1）对投资者而言，是否存在套利机会？（2）如果存在套利机会，应如何套利？1单位的套利净利润是多少？12、2011年6月1日，MICROSOFT CORP.股票报价25.01美元，其在CBOE交易的执行价格22美元，2011年7月15日到期的该股票Call Option报价3

7、.00美元；执行价格27美元，同一到期日的Call Option报价0.09美元。假设CBOE交易的该股票期权为欧式期权，请问：（1）利用上述期权如何构造出Bear Spread？（2）利用表格列出该组合的profit状况。（3）绘制profit图。13、A公司是AAA级的大型绩优公司，其长期固定利率融资成本为年息7%，短期浮动利率融资成本为LIBOR0.4% 。B公司BBB级的中小型公司，其固定利率融资成本为8.5%，浮动利率融资成本为LIBOR0.7%。现假设A公司具有浮动利率的收益，希望以浮动利率支付其债务利息，而B公司则具有固定利率的收益，希望以固定利率支付其债务利息。由A、B如何应用

8、互换降低各自的筹资成本？14、2011年6月3日，市场中美国和欧元区的利率和汇率数据如下表所示，不考虑交易成本，请问：（1）1年期欧元远期汇率的理论价格是多少？（2）观察表中数据，判断是否存在套利机会？如果存在套利机会，请问如何套利？年后1单位货币的无风险套利利润是多少？Currencies1年期市场无风险利率（连续复利）即期汇率1年期远期汇率EUR1.25%1.44881.4312USD0.25%15、假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流）。如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况。问题：（1）债券B的当前价

9、格应该为多少呢？（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，问是否存在套利机会？如果有，如何套利？16、某公司将在3月后购买100万加仑的航空燃油，3月内每加仑航空燃油的价格变化的标准方差为0.032。公司决定作多热油期货合约进行套期保值， 3月内每加仑热油期货的价格变化的标准方差为0.04，且3月内航空燃油的价格变化与3月内热油期货的价格变化的相关系数为0.8。如果一张热油期货合约为42000加仑，求(1)最佳套期比率；(2)为套期保值，公司须购买多少期货合约？17、2011年6月3日，市场中美国和欧元区的利率和汇率数据如下表所示，不考虑交易成本，请问：（1）1年期欧元远期汇率的理论价格是多少

10、？（2）观察表中数据，判断是否存在套利机会？如果存在套利机会，请问如何套利？年后1单位货币的无风险套利利润是多少？Currencies1年期市场无风险利率（连续复利）即期汇率1年期远期汇率EUR1.25%1.44881.4312USD0.25%18、2012年5月20日，美元6个月期与1年期的无风险年利率（连续复利）分别为4%与6%。市场上一种10年期国债现金价格为1000美元，该证券一年期远期合约的交割价格为900美元，该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约多头及空头的价值各为多少？参考答案1、解答：（1）2个月和5个月后派发的1元股息

11、的现值： （1分）远期价格： （1.5分）因为交割价等于远期价，所以合约价值为0。 （1.5分）（2）3个月后的时点，2个月后派发的1元股息的现值： （1分）远期价格： （1.5分）合约价值： （1.5分）2、解答：（1）1年期欧元远期汇率的理论价格为：（3分） （2）因为实际报价高于理论价格，所以存在套利机会。投资者可以通过借入$1.2683exp(-1.25%)，在即期外汇市场换成 exp(-1.25%)，并在远期市场以1=$1.2751将到期获得的1换成$1.2751，归还债务本息和$1.2651（=1.2683exp(-1.25%+1%)），可获套利$0.0100。 （5分）3、解答：

12、设互换本金为，固定利率为（半年付息一次）。因为互换之初浮动利率等于贴现利率，所以浮动利率债券的价值为： （2分）固定利率债券的价值为： （3分）合理的固定利率应使得互换价值为0，即 解得： （3分）4、解答： 评分标准：比较优势选择正确，2分；现金流方向正确，3分；利率数据正确，3分。5、解答：（1），存在套利机会。（3分）（2）套利操作：卖出1份Call Option，借入期限为3个月，利率为10%的资金29美元（），买入Put Option和股票各1份。 到期Call Option空头、Put Option多头加股票多头的组合将获得30美元。偿还债务本息和29.73美元，可获利润0.27美

13、元。（5分）6、解答：（1）根据已知条件，算出该债券已知现金收益的现值为： （3分）因此，该远期合约多头的价值为： （3分）相应地，该合约空头的远期价值为-56.31美元。（2分）7、解答：（1）1年期英镑远期汇率的理论价格为：（3分） （2）因为实际报价高于理论价格，所以存在套利机会。投资者可以通过借入$1.60exp(-6.77%)，在即期外汇市场换成exp(-6.77%)，并在远期市场以1=$1.58将到期获得的1换成$1.58，归还债务本息和$1.56（=1.60exp(-6.77%+3.92%)），可获套利$0.02。 （5分）8、解答：X公司在固定利率投资上的年利差为0.8，在浮动

14、利率投资上的年利差为0。因此互换带来的总收益是0.8。其中有0.2要支付给银行，剩下的X和Y每人各得0.3。换句话说，X公司可以获得8.3的回报，Y公司可以获得LIBOR0.3的回报。互换流程如图所示。8.3% 8.5% LIBOR X 金融中介 Y 8.8%LIBOR LIBOR评分标准：比较优势选择正确，2分；现金流方向正确，3分；利率数据正确，3分。9、解答： ，违背了欧式看涨期权和看跌期权的平价关系，所以存在套利机会。（3分）套利操作：卖出1份看涨期权，借入金额24（债务期限结构为：2个月期0.5exp(-10%*2/12)，5个月期0.5exp(-10%*5/12)，其余为6 个月期

15、），买入看跌期权和股票个1份。到期可获利润0.79（=25-24-0.5exp(-10%*2/12)- 0.5exp(-10%*5/12)exp(10%*6/12)）（5分）10、解答：牛市差价组合可以通过购买执行价格为16美元的call，并卖出执行价格为21美元的call来构造。该组合期初产生3.13美元的现金流出。该组合的盈亏和回报如下表所示：Stock price看涨期权多头的盈亏X=16，c=3.25看涨期权空头的盈亏X=21，c=0.12总盈亏ST163.250.123.1316ST21ST163.250.12ST19.13ST21ST163.2521ST0.121.8711、解答：

16、根据欧式看涨期权和看跌期权的平价关系，可以得到：（1）（4分）（2）套利方法为：买入Call，卖空Put Option和股票。将净现金收入70.75(66.765.151.16)元进行169天的无风险投资，到期时将获得70.83(70.75e0.25%169/365)美元。如果到期时股票价格高于70美元，将执行Call Option；如果低于70美元，Put Option将被执行，因此无论如何，投资者均将按照70美元购买股票，正好用于平仓卖空的股票，因此将获得净收益0.83美元。（4分）12、解答：熊市差价组合可以通过购买执行价格为27美元的call，并卖出执行协议价格为22美元的call来构

17、造。该组合期初产生2.91美元的现金流入。该组合的盈亏和回报如下表所示：Stock price看涨期权多头的盈亏X=27，c=0.09看涨期权空头的盈亏X=22，c=3.00总盈亏ST220.093.002.9122ST270.0922ST3.0024.91STST27ST270.0922ST3.002.09评分标准：（1）构造组合1分；（2）profit表格5分，其中每2个单元格填写正确得1分；（3）图形绘制正确2分。13、解答：（1）A公司的比较优势是固定利率贷款，B公司的比较优势是浮动利率贷款 （2分）（2）画出互换的现金流图 （3分）（3）准确计算出互换的现金流 （3分）14、解答：（

18、1）1年期欧元远期汇率的理论价格为：（4分） （2）因为实际报价理论价格，所以存在套利机会。投资者可以通过借欧元，买入美元，再买入欧元远期来套利。 （2分）借入1，1年后需归还1.0125； 1立即兑换成$1.4488存款1年，则1年后可得到$1.452422；同时在远期市场上用$1.452422买入1.014828，获得的无风险欧元利润为0.002328 （2分）15、解： （1）按无套利定价原理，债券B与债券A有相同的损益或现金流，所以债券B的价格也应为98元。（2分）（2）若债券B的价格为97.5元，说明债券B的价值被市场低估。那么债券B与债券A之间存在套利机会。实现套利的方法很简单，买

19、进价值低估的资产-债券B，卖出价值高估的资产-债券A。（3分）所以，套利的策略就是：卖空债券A，获得98元，用其中的97.5元买进债券B，这样套利的盈利为0.5元。（3分）16、解答：（1）最佳套期保值率（2）购买期货合约的数量：17、解答：（1）1年期欧元远期汇率的理论价格为：（4分） （2）因为实际报价理论价格，所以存在套利机会。投资者可以通过借欧元，买入美元，再买入欧元远期来套利。 （2分）借入1，1年后需归还1.0125； 1立即兑换成$1.4488存款1年，则1年后可得到$1.452422；同时在远期市场上用$1.452422买入1.014828，获得的无风险欧元利润为0.00232

20、8 （2分）18、解答：（1）根据已知条件，算出该债券已知现金收益的现值为： （3分）因此，该远期合约多头的价值为： （3分）相应地，该合约空头的远期价值为-56.31美元。（2分）期中测试题目及答案（2013.5.13）1、2012年5月22日，市场中美国和欧元的利率和即期汇率数据如下表所示，若欧元远期汇率为1 EUR=1.2751 USD，判断是否存在套利机会？如果存在套利机会，该如何进行套利操作？年后1单位货币所获套利利润是多少？（不考虑交易成本）Currencies1年期市场无风险利率（连续复利）即期汇率EUR1.25%1.2683 USD /EURUSD1.00%解答：（1）1年期欧

21、元远期汇率的理论价格为： （2）因为实际报价高于理论价格，所以存在套利机会。投资者可以通过借入$1.2683exp(-1.25%1)，在即期外汇市场换成 exp(-1.25%1)，并在远期市场以1=$1.2751将到期获得的1换成$1.2751，归还债务本息和$1.2651（=1.2683exp(-1.25%+1%)），可获套利$0.0100。2、2012年5月20日，美元6个月期与1年期的无风险年利率（连续复利）分别为4%与6%。市场上一种10年期国债现金价格为1000美元，该证券一年期远期合约的交割价格为900美元，该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息，且第二次付息日在远期合约

22、交割日之前，求该合约多头及空头的价值各为多少？解答：（1）根据已知条件，算出该债券已知现金收益的现值为： 因此，该远期合约多头的价值为： 相应地，该合约空头的远期价值为-56.31美元。3、假设在一笔互换合约中，某一金融机构每半年支付6个月期的LIBOR，收取固定利率，互换的期限1.5年。已知6个月、12个月和18个月的LIBOR（连续复利利率）分别为10%、11%和12%。试确定此互换中固定利率的合理水平。解答：设互换本金为，固定利率为（半年付息一次）。因为互换之初浮动利率等于贴现利率，所以浮动利率债券的价值为：固定利率债券的价值为： 合理的固定利率应使得互换价值为0，即 解得： 4、A公司

23、和B公司均需要在市场上进行10年期500万美元的投资，且A公司希望以固定利率投资，B公司希望以浮动利率投资。两个公司可获得的投资收益如下：以固定利率投资A公司可获利率8.0%，B公司可获利率8.8%；以浮动利率投资均获得LIBOR。试设计一利率互换，其中银行作为中介获得利差0.2%的报酬，而两个公司获相同收益。解答：B公司在固定利率投资上的年利差为0.8，在浮动利率投资上的年利差为0。因此互换带来的总收益是0.8。其中有0.2要支付给银行，剩下的A和B每人各得0.3。换句话说，A公司可以获得8.3的回报，B公司可以获得LIBOR0.3的回报。互换流程如图所示。8.3% 8.5% LIBOR A 金融中介 B 8.8%LIBOR LIBOR