金融工程计算题练习.docx

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金融工程计算题练习

金融工程计算题练习

计算题练习

1、某股票预计在2个月和5个月后每股分别派发1元股息，该股票当前市价为30元，所有期限的无风险连续复利年利率均为6%，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约（交割价为远期价格）空头，交易单位为100。

请问：

（1）当前时点该股票的远期价格是多少？

合约初始价值为多少？

（2）3个月后，若该股票价格涨至35元，若利率期限结构没变，此时，远期价格是多少？

合约对该投资者的价值是多少？

2、2012年5月22日，市场中美国和欧元的利率和即期汇率数据如下表所示，若欧元远期汇率为1EUR=1.2750USD，判断是否存在套利机会？

如果存在套利机会，该如何进行套利操作？

１年后所获套利利润是多少？

（不考虑交易成本）

Currencies

1年期市场无风险利率

（连续复利）

即期汇率

EUR

1.25%

1.2683USD/EUR

USD

1.00%

3、假设在一笔互换合约中，某一金融机构每半年支付6个月期的LIBOR，收取固定利率，互换的期限1.5年。

已知6个月、12个月和18个月的LIBOR（连续复利利率）分别为10%、11%和12%。

试确定此互换中固定利率的合理水平。

4、公司A和B可按以下利率借入期限为5年的1000万美元：

固定利率

浮动利率

公司A

公司B

12.0%

13.4%

LIBOR＋0.1%

LIBOR＋0.6%

公司A想获得浮动利率贷款；公司B想获得固定利率贷款。

请设计一个互换，一家银行作为中介，净收益为年率0.1%，并且使得该互换对A和B双方都同样有吸引力。

5、执行价格为30元的3个月期某股票欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3元和1元。

标的股票价格为31元，3个月期的无风险利率为10%（连续复利），问：

是否存在套利机会？

若存在套利机会，该如何进行套利操作？

3个月后的套利利润是多少？

（不考虑交易摩擦）

6、2012年5月20日，美元6个月期与1年期的无风险年利率（连续复利）分别为4%与6%。

市场上一种10年期国债现金价格为1000美元，该证券一年期远期合约的交割价格为900美元，该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约多头及空头的价值各为多少？

7、美元和英镑的1年期连续复利分别为3.92%和6.77%，英镑的现货汇率为1.60美元，1年期的英镑远期价格为1.58美元，问是否存在套利机会？

如果存在，如何套利？

利润是多少？

8、A公司和B公司均需要在市场上进行10年期500万美元的投资，且A公司希望以固定利率投资，B公司希望以浮动利率投资。

两个公司可获得的投资收益如下：

以固定利率投资A公司可获利率8.0%，B公司可获利率8.8%；以浮动利率投资均获得LIBOR。

试设计一利率互换，其中银行作为中介获得利差0.2%的报酬，而两个公司获相同收益。

9、标的股票现价为24美元，2个月和5个月后每股将分别派发0.5美元红利。

现有执行价格均为25美元，6个月后到期的欧式看涨期权和欧式看跌期权，售价都为2美元。

设无风险年利率为10%（连续复利）。

问是否存在套利机会？

若有，请构造套利组合。

10、2012年5月25日，GE的股票报价19.25美元，其在CBOE交易的执行价格16美元，2012年7月15日到期的该股票CallOption报价3.25美元；执行价格21美元，同一到期日的CallOption报价0.12美元。

假设CBOE交易的该股票期权为欧式期权，请问：

（1）利用上述期权如何构造出BullSpread？

（2）列出该组合的profit状况。

11、2011年6月2日，Coca-ColaCompany股票报价66.76美元，其在ISE交易的2011年11月18日到期（距离到期日还有169天，1年按365天计），执行价格为70美元的该股票CallOption售价为1.16美元，PutOption售价为5.15美元，无风险年利率为0.25%（连续复利）。

假设ISE交易的该股票期权为欧式期权，期间无红利支付，请问：

（1）对投资者而言，是否存在套利机会？

（2）如果存在套利机会，应如何套利？

1单位的套利净利润是多少？

12、2011年6月1日，MICROSOFTCORP.股票报价25.01美元，其在CBOE交易的执行价格22美元，2011年7月15日到期的该股票CallOption报价3.00美元；执行价格27美元，同一到期日的CallOption报价0.09美元。

假设CBOE交易的该股票期权为欧式期权，请问：

（1）利用上述期权如何构造出BearSpread？

（2）利用表格列出该组合的profit状况。

（3）绘制profit图。

13、A公司是AAA级的大型绩优公司，其长期固定利率融资成本为年息7%，短期浮动利率融资成本为LIBOR＋0.4%。

B公司BBB级的中小型公司，其固定利率融资成本为8.5%，浮动利率融资成本为LIBOR＋0.7%。

现假设A公司具有浮动利率的收益，希望以浮动利率支付其债务利息，而B公司则具有固定利率的收益，希望以固定利率支付其债务利息。

由A、B如何应用互换降低各自的筹资成本？

14、2011年6月3日，市场中美国和欧元区的利率和汇率数据如下表所示，不考虑交易成本，请问：

（1）1年期欧元远期汇率的理论价格是多少？

（2）观察表中数据，判断是否存在套利机会？

如果存在套利机会，请问如何套利？

１年后1单位货币的无风险套利利润是多少？

Currencies

1年期市场无风险利率

（连续复利）

即期汇率

1年期远期汇率

EUR

1.25%

1.4488

1.4312

USD

0.25%

15、假设两个零息票债券A和B，两者都是在1年后的同一天到期，其面值为100元（到期时都获得100元现金流）。

如果债券A的当前价格为98元，并假设不考虑交易成本和违约情况。

问题：

（1）债券B的当前价格应该为多少呢？

（2）如果债券B的当前价格只有97.5元，问是否存在套利机会？

如果有，如何套利？

16、某公司将在3月后购买100万加仑的航空燃油，3月内每加仑航空燃油的价格变化的标准方差为0.032。

公司决定作多热油期货合约进行套期保值，3月内每加仑热油期货的价格变化的标准方差为0.04，且3月内航空燃油的价格变化与3月内热油期货的价格变化的相关系数为0.8。

如果一张热油期货合约为42000加仑，求

（1）最佳套期比率；

（2）为套期保值，公司须购买多少期货合约？

17、2011年6月3日，市场中美国和欧元区的利率和汇率数据如下表所示，不考虑交易成本，请问：

（1）1年期欧元远期汇率的理论价格是多少？

（2）观察表中数据，判断是否存在套利机会？

如果存在套利机会，请问如何套利？

１年后1单位货币的无风险套利利润是多少？

Currencies

1年期市场无风险利率

（连续复利）

即期汇率

1年期远期汇率

EUR

1.25%

1.4488

1.4312

USD

0.25%

18、2012年5月20日，美元6个月期与1年期的无风险年利率（连续复利）分别为4%与6%。

市场上一种10年期国债现金价格为1000美元，该证券一年期远期合约的交割价格为900美元，该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约多头及空头的价值各为多少？

参考答案

1、解答：

（1）2个月和5个月后派发的1元股息的现值：

（1分）

远期价格：

　　　　　　　　（1.5分）

因为交割价等于远期价，所以合约价值为0。

（1.5分）

（2）3个月后的时点，2个月后派发的1元股息的现值：

（1分）

远期价格：

　　　　　　　　（1.5分）

合约价值：

（1.5分）

2、解答：

（1）1年期欧元远期汇率的理论价格为：

　（3分）

（2）因为实际报价高于理论价格，所以存在套利机会。

投资者可以通过借入$1.2683exp（-1.25%），在即期外汇市场换成€exp（-1.25%），并在远期市场以€1=$1.2751将到期获得的€1换成$1.2751，归还债务本息和$1.2651（=1.2683exp（-1.25%+1%）），可获套利$0.0100。

（5分）

3、解答：

设互换本金为

，固定利率为

（半年付息一次）。

因为互换之初浮动利率等于贴现利率，所以浮动利率债券的价值

为：

（2分）

固定利率债券的价值

为：

（3分）

合理的固定利率应使得互换价值为0，即

解得：

（3分）

4、解答：

评分标准：

比较优势选择正确，2分；现金流方向正确，3分；利率数据正确，3分。

5、解答：

（1）

，存在套利机会。

　　（3分）

（2）套利操作：

卖出1份CallOption，借入期限为3个月，利率为10%的资金29美元（

），买入PutOption和股票各1份。

到期CallOption空头、PutOption多头加股票多头的组合将获得30美元。

偿还债务本息和29.73美元，可获利润0.27美元。

　（5分）

6、解答：

（1）根据已知条件，算出该债券已知现金收益的现值为：

（3分）

因此，该远期合约多头的价值为：

（3分）

相应地，该合约空头的远期价值为-56.31美元。

　　　（2分）

7、解答：

（1）1年期英镑远期汇率的理论价格为：

　（3分）

（2）因为实际报价高于理论价格，所以存在套利机会。

投资者可以通过借入$1.60exp（-6.77%），在即期外汇市场换成₤exp（-6.77%），并在远期市场以₤1=$1.58将到期获得的₤1换成$1.58，归还债务本息和$1.56（=1.60exp（-6.77%+3.92%）），可获套利$0.02。

　（5分）

8、解答：

X公司在固定利率投资上的年利差为0.8％，在浮动利率投资上的年利差为0。

因此互换带来的总收益是0.8％。

其中有0.2％要支付给银行，剩下的X和Y每人各得0.3％。

换句话说，X公司可以获得8.3％的回报，Y公司可以获得LIBOR＋0.3％的回报。

互换流程如图所示。

8.3%8.5%

LIBORX金融中介Y8.8%

LIBORLIBOR

评分标准：

比较优势选择正确，2分；现金流方向正确，3分；利率数据正确，3分。

9、解答：

，违背了欧式看涨期权和看跌期权的平价关系，所以存在套利机会。

　　　　　　（3分）

套利操作：

卖出1份看涨期权，借入金额24（债务期限结构为：

2个月期0.5exp（-10%*2/12），5个月期0.5exp（-10%*5/12），其余为6个月期），买入看跌期权和股票个1份。

到期可获利润0.79（=25-[24-0.5exp（-10%*2/12）-0.5exp（-10%*5/12）]exp（10%*6/12））　（5分）

10、解答：

牛市差价组合可以通过购买执行价格为16美元的call，并卖出执行价格为21美元的call来构造。

该组合期初产生3.13美元的现金流出。

该组合的盈亏和回报如下表所示：

Stockprice

看涨期权多头的盈亏

X=16，c=3.25

看涨期权空头的盈亏

X=21，c=0.12

总盈亏

ST≤16

－3.25

0.12

－3.13

16＜ST≤21

ST－16－3.25

0.12

ST－19.13

ST＞21

ST－16－3.25

21－ST＋0.12

1.87

11、解答：

根据欧式看涨期权和看跌期权的平价关系，可以得到：

（1）

　　（4分）

（2）套利方法为：

买入Call，卖空PutOption和股票。

将净现金收入70.75（＝66.76＋5.15－1.16）元进行169天的无风险投资，到期时将获得70.83（＝70.75e0.25%×169/365）美元。

如果到期时股票价格高于70美元，将执行CallOption；如果低于70美元，PutOption将被执行，因此无论如何，投资者均将按照70美元购买股票，正好用于平仓卖空的股票，因此将获得净收益0.83美元。

　（4分）

12、解答：

熊市差价组合可以通过购买执行价格为27美元的call，并卖出执行协议价格为22美元的call来构造。

该组合期初产生2.91美元的现金流入。

该组合的盈亏和回报如下表所示：

Stockprice

看涨期权多头的盈亏

X=27，c=0.09

看涨期权空头的盈亏

X=22，c=3.00

总盈亏

ST≤22

－0.09

3.00

2.91

22＜ST≤27

－0.09

22－ST＋3.00

24.91－ST

ST＞27

ST－27－0.09

22－ST＋3.00

－2.09

评分标准：

（1）构造组合1分；

（2）profit表格5分，其中每2个单元格填写正确得1分；

（3）图形绘制正确2分。

13、解答：

（1）A公司的比较优势是固定利率贷款，B公司的比较优势是浮动利率贷款　　　　　　　　（2分）

（2）画出互换的现金流图（3分）

（3）准确计算出互换的现金流　　　　　　　　（3分）

14、解答：

（1）1年期欧元远期汇率的理论价格为：

　　　（4分）

（2）因为实际报价＜理论价格，所以存在套利机会。

投资者可以通过借欧元，买入美元，再买入欧元远期来套利。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2分）

借入€1，1年后需归还€1.0125；€1立即兑换成$1.4488存款1年，则1年后可得到$1.452422；同时在远期市场上用$1.452422买入€1.014828，获得的无风险欧元利润为€0.002328（2分）

15、解：

（1）按无套利定价原理，债券B与债券A有相同的损益或现金流，所以债券B的价格也应为98元。

（2分）

（2）若债券B的价格为97.5元，说明债券B的价值被市场低估。

那么债券B与债券A之间存在套利机会。

实现套利的方法很简单，买进价值低估的资产----债券B，卖出价值高估的资产----债券A。

（3分）

所以，套利的策略就是：

卖空债券A，获得98元，用其中的97.5元买进债券B，这样套利的盈利为0.5元。

（3分）

16、解答：

（1）最佳套期保值率

（2）购买期货合约的数量：

17、解答：

（1）1年期欧元远期汇率的理论价格为：

　　　（4分）

（2）因为实际报价＜理论价格，所以存在套利机会。

投资者可以通过借欧元，买入美元，再买入欧元远期来套利。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2分）

借入€1，1年后需归还€1.0125；€1立即兑换成$1.4488存款1年，则1年后可得到$1.452422；同时在远期市场上用$1.452422买入€1.014828，获得的无风险欧元利润为€0.002328（2分）

18、解答：

（1）根据已知条件，算出该债券已知现金收益的现值为：

（3分）

因此，该远期合约多头的价值为：

（3分）

相应地，该合约空头的远期价值为-56.31美元。

　　　（2分）

期中测试题目及答案（2013.5.13）

1、2012年5月22日，市场中美国和欧元的利率和即期汇率数据如下表所示，若欧元远期汇率为1EUR=1.2751USD，判断是否存在套利机会？

如果存在套利机会，该如何进行套利操作？

１年后1单位货币所获套利利润是多少？

（不考虑交易成本）

Currencies

1年期市场无风险利率

（连续复利）

即期汇率

EUR

1.25%

1.2683USD/EUR

USD

1.00%

解答：

（1）1年期欧元远期汇率的理论价格为：

（2）因为实际报价高于理论价格，所以存在套利机会。

投资者可以通过借入$1.2683exp（-1.25%×1），在即期外汇市场换成€exp（-1.25%×1），并在远期市场以€1=$1.2751将到期获得的€1换成$1.2751，归还债务本息和$1.2651（=1.2683exp（-1.25%+1%）），可获套利$0.0100。

2、2012年5月20日，美元6个月期与1年期的无风险年利率（连续复利）分别为4%与6%。

市场上一种10年期国债现金价格为1000美元，该证券一年期远期合约的交割价格为900美元，该债券在6个月和12个月后都将收到50美元的利息，且第二次付息日在远期合约交割日之前，求该合约多头及空头的价值各为多少？

解答：

（1）根据已知条件，算出该债券已知现金收益的现值为：

因此，该远期合约多头的价值为：

相应地，该合约空头的远期价值为-56.31美元。

3、假设在一笔互换合约中，某一金融机构每半年支付6个月期的LIBOR，收取固定利率，互换的期限1.5年。

已知6个月、12个月和18个月的LIBOR（连续复利利率）分别为10%、11%和12%。

试确定此互换中固定利率的合理水平。

解答：

设互换本金为

，固定利率为

（半年付息一次）。

因为互换之初浮动利率等于贴现利率，所以浮动利率债券的价值

为：

固定利率债券的价值

为：

合理的固定利率应使得互换价值为0，即

解得：

4、A公司和B公司均需要在市场上进行10年期500万美元的投资，且A公司希望以固定利率投资，B公司希望以浮动利率投资。

两个公司可获得的投资收益如下：

以固定利率投资A公司可获利率8.0%，B公司可获利率8.8%；以浮动利率投资均获得LIBOR。

试设计一利率互换，其中银行作为中介获得利差0.2%的报酬，而两个公司获相同收益。

解答：

B公司在固定利率投资上的年利差为0.8％，在浮动利率投资上的年利差为0。

因此互换带来的总收益是0.8％。

其中有0.2％要支付给银行，剩下的A和B每人各得0.3％。

换句话说，A公司可以获得8.3％的回报，B公司可以获得LIBOR＋0.3％的回报。

互换流程如图所示。

8.3%8.5%

LIBORA金融中介B8.8%

LIBORLIBOR